विषय

• कदम
• विधि 1 का 3: अज्ञात पक्ष कैसे खोजें
• विधि 2 का 3: अज्ञात कोण ढूँढना
• विधि 3 का 3: नमूना समस्याएं
• टिप्स

त्रिकोणमिति में कोसाइन प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग अनियमित त्रिभुजों के साथ काम करते समय अज्ञात मात्राओं जैसे कि भुजाओं और कोणों को खोजने के लिए किया जाता है। प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय के समान है और याद रखने में काफी आसान है। कोज्या प्रमेय कहता है कि किसी भी त्रिभुज में ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = ए ^ {2} + बी ^ {2} -2ab cos {सी}}$.

कदम

विधि 1 का 3: अज्ञात पक्ष कैसे खोजें

1. 1 ज्ञात मान लिखिए। किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजा ज्ञात करने के लिए, आपको अन्य दो भुजाओं और उनके बीच के कोण को जानना होगा।
   • उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज XYZ दिया गया है। YX भुजा 5 सेमी, YZ भुजा 9 सेमी और Y कोण 89 ° है। एक्सजेड पक्ष क्या है?
2. 2 कोज्या प्रमेय सूत्र लिखिए। सूत्र: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = ए ^ {2} + बी ^ {2} -2ab cos {सी}}$, कहाँ पे ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ - अज्ञात पार्टी, ${ डिस्प्लेस्टाइल क्योंकि {सी}}$ - अज्ञात पक्ष के विपरीत कोण की कोज्या, ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ - दो प्रसिद्ध पक्ष।
3. 3 ज्ञात मानों को सूत्र में प्लग करें। चर ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ दो ज्ञात पक्षों को निरूपित करें। चर ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ ज्ञात कोण है जो भुजाओं के बीच स्थित है ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$.
   • हमारे उदाहरण में, XZ पक्ष अज्ञात है, इसलिए सूत्र में इसे इस प्रकार दर्शाया गया है ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$... चूँकि भुजाएँ YX और YZ ज्ञात हैं, वे चरों द्वारा निरूपित की जाती हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$... चर ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ कोण Y है। तो, सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 ज्ञात कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए। इसे कैलकुलेटर से करें। कोण मान दर्ज करें, और फिर क्लिक करें ${ डिस्प्लेस्टाइल सीओएस}$... यदि आपके पास वैज्ञानिक कैलकुलेटर नहीं है, तो एक ऑनलाइन कोसाइन तालिका खोजें, उदाहरण के लिए, यहां। इसके अलावा यांडेक्स में, आप "एक्स डिग्री के कोसाइन" (एक्स के लिए कोण मान को प्रतिस्थापित करें) दर्ज कर सकते हैं, और खोज इंजन कोण के कोसाइन को प्रदर्शित करेगा।
   • उदाहरण के लिए, कोसाइन 89 ° 0.01745 है। इसलिए: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 संख्याओं को गुणा करें। गुणा ${ डिस्प्लेस्टाइल 2ab}$ ज्ञात कोण की कोज्या द्वारा।
   • उदाहरण के लिए:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 ज्ञात पक्षों के वर्गों को मोड़ो। याद रखें, किसी संख्या का वर्ग करने के लिए, उसे अपने आप से गुणा करना होगा। सबसे पहले, संबंधित संख्याओं का वर्ग करें, और फिर परिणामी मान जोड़ें।
   • उदाहरण के लिए:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 दो नंबर घटाएं। आप पाएंगे ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2}}$.
   • उदाहरण के लिए:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 इस मान का वर्गमूल लें। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करें। इस तरह आप अज्ञात पक्ष को खोजते हैं।
   • उदाहरण के लिए:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 104.4293}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी = 10.2191}$
     तो, अज्ञात पक्ष 10.2191 सेमी है।

विधि 2 का 3: अज्ञात कोण ढूँढना

1. 1 ज्ञात मान लिखिए। किसी त्रिभुज का अज्ञात कोण ज्ञात करने के लिए, आपको त्रिभुज की तीनों भुजाओं को जानना होगा।
   • उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज RST दिया गया है। भुजा CP = 8 सेमी, ST = 10 सेमी, PT = 12 सेमी। कोण S का मान ज्ञात कीजिए।
2. 2 कोज्या प्रमेय सूत्र लिखिए। सूत्र: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = ए ^ {2} + बी ^ {2} -2ab cos {सी}}$, कहाँ पे ${ डिस्प्लेस्टाइल क्योंकि {सी}}$ - अज्ञात कोण की कोज्या, ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ - एक अज्ञात कोने के सामने एक ज्ञात पक्ष, ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ - दो अन्य प्रसिद्ध पार्टियां।
3. 3 मूल्यों का पता लगाएं ए{ डिस्प्लेस्टाइल ए}, बी{ डिस्प्लेस्टाइल बी} तथा सी{ डिस्प्लेस्टाइल सी}. फिर उन्हें सूत्र में प्लग करें।
   • उदाहरण के लिए, RT पक्ष अज्ञात कोण S के विपरीत है, इसलिए RT पक्ष है ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ सूत्र में। अन्य दल करेंगे ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$... तो, सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: ${ डिस्प्लेस्टाइल 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 संख्याओं को गुणा करें। गुणा ${ डिस्प्लेस्टाइल 2ab}$ अज्ञात कोण की कोज्या द्वारा।
   • उदाहरण के लिए, ${ डिस्प्लेस्टाइल 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 खड़ा करना सी{ डिस्प्लेस्टाइल सी} एक चौक में। यानी संख्या को ही गुणा करें।
   • उदाहरण के लिए, ${ डिस्प्लेस्टाइल 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 चौकों को मोड़ो ए{ डिस्प्लेस्टाइल ए} तथा बी{ डिस्प्लेस्टाइल बी}. लेकिन पहले, संबंधित संख्याओं का वर्ग करें।
   • उदाहरण के लिए:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल १४४ = ६४ + १००-१६० cos {सी}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल १४४ = १६४-१६० cos {सी}}$
7. 7 अज्ञात कोण की कोज्या को अलग करें। ऐसा करने के लिए, राशि घटाएं ${ डिस्प्लेस्टाइल ए ^ {2}}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी ^ {2}}$ समीकरण के दोनों ओर से। फिर समीकरण के प्रत्येक पक्ष को अज्ञात कोण के कोज्या पर गुणनखंड द्वारा विभाजित करें।
   • उदाहरण के लिए, किसी अज्ञात कोण की कोज्या को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों से 164 घटाएं और फिर प्रत्येक पक्ष को -160 से विभाजित करें:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल १४४-१६४ = १६४-१६४-१६० cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल -20 = -160 cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {-20} {- 160}} = { फ़्रेक {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 0.125 = cos {C}}$
8. 8 प्रतिलोम कोज्या की गणना कीजिए। इससे अज्ञात कोण का मान ज्ञात हो जाएगा। कैलकुलेटर पर, व्युत्क्रम कोसाइन फ़ंक्शन निरूपित किया जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल सीओएस ^ {- 1}}$.
   • उदाहरण के लिए, 0.0125 का आर्ककोसाइन 82.8192 है। अतः कोण S 82.8192° है।

विधि 3 का 3: नमूना समस्याएं

1. 1 त्रिभुज की अज्ञात भुजा ज्ञात कीजिए। ज्ञात भुजाएँ 20 सेमी और 17 सेमी हैं, और उनके बीच का कोण 68 ° है।
   • चूँकि आपको दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया है, आप कोज्या प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। सूत्र लिखिए: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = ए ^ {2} + बी ^ {2} -2ab cos {सी}}$.
   • अज्ञात पक्ष है ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$... ज्ञात मानों को सूत्र में प्लग करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • गणना ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2}}$, गणितीय संक्रियाओं के क्रम को देखते हुए:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 434.2675}$
   • समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इस तरह आप अज्ञात पक्ष को खोजते हैं:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी = 20.8391}$
     तो, अज्ञात पक्ष 20.8391 सेमी है।
2. 2 त्रिभुज GHI में कोण H ज्ञात कीजिए। कोने H की दो भुजाएँ 22 और 16 सेमी हैं। कोने H के विपरीत भुजा 13 सेमी है।
   • चूँकि तीनों भुजाएँ दी गई हैं, इसलिए कोज्या प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है। सूत्र लिखिए: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = ए ^ {2} + बी ^ {2} -2ab cos {सी}}$.
   • अज्ञात कोने के विपरीत भुजा है ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$... ज्ञात मानों को सूत्र में प्लग करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 169 = 740-704 cos {C}}$
   • कोसाइन को अलग करें:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल -571 = -704 cos {C}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {-571} {- 704}} = { फ़्रेक {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल ०.८१११ = cos {सी}}$
   • प्रतिलोम कोज्या ज्ञात कीजिए। इस प्रकार आप अज्ञात कोण की गणना करते हैं:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल ०.८१११ = cos {सी}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल 35.7985 = सीओएस ^ {- 1}}$.
     अत: कोण H 35.7985° है।
3. 3 पगडंडी की लंबाई ज्ञात कीजिए। नदी, पहाड़ी और मार्श पथ एक त्रिभुज बनाते हैं। रिवर ट्रेल की लंबाई 3 किमी, हिली ट्रेल की लंबाई 5 किमी है; ये मार्ग एक दूसरे को 135° के कोण पर काटते हैं। दलदली पगडंडी अन्य पगडंडियों के दो सिरों को जोड़ती है। दलदली पगडंडी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
   • ट्रेल्स एक त्रिकोण बनाते हैं। आपको अज्ञात पथ की लंबाई ज्ञात करनी है, जो त्रिभुज की भुजा है। चूंकि अन्य दो पथों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया गया है, कोसाइन प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
   • सूत्र लिखिए: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = ए ^ {2} + बी ^ {2} -2ab cos {सी}}$.
   • अज्ञात पथ (दलदल) के रूप में निरूपित किया जाएगा ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$... ज्ञात मानों को सूत्र में प्लग करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • गणना ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2}}$:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी ^ {2} = 55.2132}$
   • समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इस प्रकार आप अज्ञात पथ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल सी = 7.4306}$
     तो, स्वैम्प ट्रेल की लंबाई 7.4306 किमी है।

टिप्स

• साइन प्रमेय का उपयोग करना आसान है। इसलिए, पहले यह पता करें कि क्या इसे दी गई समस्या पर लागू किया जा सकता है।