विषय

• कदम
• विधि 1 का 3 : एकल यादृच्छिक घटना की प्रायिकता
• विधि 2 का 3: एकाधिक यादृच्छिक घटनाओं की संभावना
• विधि 3 का 3 : संभावना को प्रायिकता में बदलना
• टिप्स

प्रायिकता एक निश्चित संख्या में दोहराव के साथ एक घटना की संभावना को दर्शाती है। यह एक या अधिक परिणामों वाले संभावित परिणामों की संख्या को संभावित घटनाओं की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। कई घटनाओं की संभावना की गणना समस्या को अलग-अलग संभावनाओं में विभाजित करके और फिर इन संभावनाओं को गुणा करके की जाती है।

कदम

विधि 1 का 3 : एकल यादृच्छिक घटना की प्रायिकता

1. 1 पारस्परिक रूप से अनन्य परिणामों के साथ एक घटना का चयन करें। संभाव्यता की गणना केवल तभी की जा सकती है जब विचाराधीन घटना घटित होती है या नहीं होती है। किसी भी घटना और विपरीत परिणाम को एक साथ प्राप्त करना असंभव है। इस तरह की घटनाओं के उदाहरण गेम डाई पर 5 का रोल या किसी दौड़ में किसी विशेष घोड़े की जीत हैं। या तो पाँच लुढ़के हैं या नहीं; एक निश्चित घोड़ा या तो पहले आएगा या नहीं।

   उदाहरण के लिए: "ऐसी घटना की संभावना की गणना करना असंभव है: पासे के एक रोल के साथ, 5 और 6 को एक साथ रोल किया जाएगा।

   
   
2. 2 सभी संभावित घटनाओं और परिणामों की पहचान करें जो हो सकते हैं। मान लीजिए कि आप प्रायिकता निर्धारित करना चाहते हैं कि 6-अंकीय गेम पास पर एक 3 लुढ़क जाएगा। एक तरह का तीन एक घटना है, और चूंकि हम जानते हैं कि 6 संख्याओं में से कोई भी आ सकता है, संभावित परिणामों की संख्या छह है। इस प्रकार, हम जानते हैं कि इस मामले में 6 संभावित परिणाम और एक घटना है, जिसकी संभावना हम निर्धारित करना चाहते हैं। नीचे दो और उदाहरण दिए गए हैं।
   • उदाहरण 1. क्या संभावना है कि आप सप्ताहांत पर पड़ने वाले दिन को बेतरतीब ढंग से चुनते हैं? इस मामले में, घटना "सप्ताहांत पर पड़ने वाले दिन की पसंद" है, और संभावित परिणामों की संख्या सप्ताह के दिनों की संख्या के बराबर है, यानी सात।
   • उदाहरण 2. बॉक्स में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि आप बॉक्स में से एक यादृच्छिक गेंद निकालते हैं, तो इसके लाल होने की क्या प्रायिकता है? घटना "लाल गेंद को बाहर निकालना" है, और संभावित परिणामों की संख्या गेंदों की कुल संख्या के बराबर है, यानी बीस।
3. 3 संभावित परिणामों की संख्या से घटनाओं की संख्या को विभाजित करें। यह एक ही घटना की संभावना को निर्धारित करेगा। यदि हम एक पासे रोल पर एक 3 पर विचार करते हैं, तो घटनाओं की संख्या 1 है (3 पासे के केवल एक चेहरे पर है), और परिणामों की कुल संख्या 6 है। परिणाम 1/6, 0.166 का अनुपात है, या 16.6%। उपरोक्त दो उदाहरणों के लिए किसी घटना की प्रायिकता निम्नानुसार पाई जाती है:
   • उदाहरण 1. क्या संभावना है कि आप सप्ताहांत पर पड़ने वाले दिन को बेतरतीब ढंग से चुनते हैं? घटनाओं की संख्या 2 है, क्योंकि एक सप्ताह में दो दिन की छुट्टी होती है, और परिणामों की कुल संख्या 7 होती है। इस प्रकार, संभावना 2/7 है। प्राप्त परिणाम को 0.285 या 28.5% के रूप में भी लिखा जा सकता है।
   • उदाहरण 2. बॉक्स में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि आप बॉक्स में से एक यादृच्छिक गेंद निकालते हैं, तो इसके लाल होने की क्या प्रायिकता है? घटनाओं की संख्या 5 है, क्योंकि बॉक्स में 5 लाल गेंदें हैं, और परिणामों की कुल संख्या 20 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए: 5/20 = 1/4। प्राप्त परिणाम 0.25 या 25% के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।
4. 4 सभी संभावित घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ें और जांचें कि क्या योग 1 के बराबर है। सभी संभावित घटनाओं की कुल संभावना 1 या 100% होनी चाहिए।यदि आप 100% असफल होते हैं, तो संभावना है कि आपने गलती की है और एक या अधिक संभावित घटनाओं से चूक गए हैं। अपनी गणनाओं की जांच करें और सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित परिणामों में कारक हैं।
   • उदाहरण के लिए, एक पासे के रोल पर 3 के लुढ़कने की प्रायिकता 1/6 है। इस मामले में, शेष पांच में से किसी अन्य अंक के गिरने की संभावना भी 1/6 है। नतीजतन, हमें 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, यानी 100% मिलता है।
   • उदाहरण के लिए, यदि आप पासे पर संख्या 4 के बारे में भूल जाते हैं, तो संभावनाओं को जोड़ने पर आपको केवल 5/6, या 83% मिलेगा, जो एक के बराबर नहीं है और एक त्रुटि का संकेत देता है।
5. 5 एक असंभव परिणाम की प्रायिकता की कल्पना 0 के रूप में करें। इसका मतलब है कि यह घटना नहीं हो सकती है, और इसकी संभावना 0 है। इस प्रकार, आप असंभव घटनाओं को ध्यान में रख सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए, यदि आप इस संभावना की गणना करते हैं कि ईस्टर 2020 में सोमवार को पड़ता है, तो आपको 0 मिलेगा क्योंकि ईस्टर हमेशा रविवार को मनाया जाता है।

विधि 2 का 3: एकाधिक यादृच्छिक घटनाओं की संभावना

1. 1 स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करते समय, प्रत्येक संभावना की अलग से गणना करें। एक बार जब आप यह निर्धारित कर लें कि घटनाओं की संभावनाएं क्या हैं, तो उनकी गणना अलग से की जा सकती है। मान लीजिए आप प्रायिकता जानना चाहते हैं कि जब आप एक पंक्ति में दो बार पासे को उछालते हैं, तो 5. हम जानते हैं कि एक पांच प्राप्त करने की प्रायिकता 1/6 है, और दूसरा पांच प्राप्त करने की प्रायिकता भी 1/6 है। पहला परिणाम दूसरे से संबंधित नहीं है।
   • फाइव के कई हिट कहे जाते हैं स्वतंत्र कार्यक्रम, क्योंकि जो पहली बार रोल किया जाता है वह दूसरी घटना को प्रभावित नहीं करता है।
2. 2 आश्रित घटनाओं की संभावना की गणना करते समय पिछले परिणामों के प्रभाव पर विचार करें। यदि पहली घटना दूसरे परिणाम की प्रायिकता को प्रभावित करती है, तो वे प्रायिकता की गणना करने की बात करते हैं आश्रित घटनाएं... उदाहरण के लिए, यदि आप 52 कार्डों के डेक से दो कार्ड चुनते हैं, तो पहला कार्ड बनाने के बाद, डेक की संरचना बदल जाती है, जो दूसरे कार्ड की पसंद को प्रभावित करती है। दो आश्रित घटनाओं में से दूसरे की संभावना की गणना करने के लिए, दूसरी घटना की संभावना की गणना करते समय संभावित परिणामों की संख्या से 1 घटाएं।
   • उदाहरण 1... निम्नलिखित घटना पर विचार करें: डेक से यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक दो कार्ड निकाले जाते हैं। क्या प्रायिकता है कि दोनों कार्ड क्लब के होंगे? पहले कार्ड में क्लब सूट होने की प्रायिकता 13/52 या 1/4 है, क्योंकि डेक में एक ही सूट के 13 पत्ते हैं।
     • उसके बाद, दूसरा कार्ड क्लबों के होने की प्रायिकता 12/51 है, क्योंकि क्लबों का एक कार्ड अब नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहली घटना दूसरे को प्रभावित करती है। यदि आप तीन क्लब बनाते हैं और इसे वापस नहीं रखते हैं, तो डेक में एक कम कार्ड होगा (52 के बजाय 51)।
   • उदाहरण 2. बॉक्स में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि आप यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें चुनते हैं, तो पहली गेंद लाल, दूसरी नीली और तीसरी सफेद होने की क्या प्रायिकता है?
     • पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता 5/20 या 1/4 है। दूसरी गेंद के नीले होने की प्रायिकता 4/19 है, क्योंकि बॉक्स में एक गेंद कम बची है, लेकिन फिर भी 4 नीला गेंद। अंत में, तीसरी गेंद के सफेद होने की प्रायिकता 11/18 है, क्योंकि हम पहले ही दो गेंदें निकाल चुके हैं।
3. 3 प्रत्येक व्यक्तिगत घटना की संभावनाओं को गुणा करें। भले ही आप स्वतंत्र या आश्रित घटनाओं के साथ काम कर रहे हों, साथ ही परिणामों की संख्या (2, 3, या 10 भी हो सकती है), आप सभी घटनाओं की संभावनाओं को प्रत्येक से गुणा करके समग्र संभावना की गणना कर सकते हैं। अन्य। नतीजतन, आपको निम्नलिखित कई घटनाओं की संभावना मिल जाएगी एक के बाद एक... उदाहरण के लिए, कार्य है प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पाँसे को एक पंक्ति में दो बार उछालने पर, 5... ये दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता 1/6 है। इस प्रकार, दोनों घटनाओं की संभावना 1/6 x 1/6 = 1/36, यानी 0.027 या 2.7% है।
   • उदाहरण 1. डेक से यादृच्छिक रूप से एक के बाद एक दो कार्ड निकाले जाते हैं।क्या प्रायिकता है कि दोनों कार्ड क्लब के होंगे? पहली घटना की संभावना 13/52 है। दूसरी घटना की संभावना 12/51 है। समग्र प्रायिकता ज्ञात कीजिए: १३/५२ x १२/५१ = १२/२०४ = १/१७, जो ०.०५८, या ५.८% है।
   • उदाहरण 2. बॉक्स में 4 नीली, 5 लाल और 11 सफेद गेंदें हैं। यदि आप एक के बाद एक बॉक्स से यादृच्छिक रूप से तीन गेंदें निकालते हैं, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि पहली गेंद लाल, दूसरी नीली और तीसरी सफेद निकलेगी? पहली घटना की संभावना 5/20 है। दूसरी घटना की संभावना 4/19 है। तीसरी घटना की संभावना 11/18 है। तो कुल संभावना 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032, या 3.2% है।

विधि 3 का 3 : संभावना को प्रायिकता में बदलना

1. 1 अवसर को अंश में एक धनात्मक भिन्न के रूप में सोचें। आइए रंगीन गेंदों के साथ अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मान लीजिए आप प्रायिकता जानना चाहते हैं कि आपको गेंदों के पूरे सेट (20) से एक सफेद गेंद (कुल 11 हैं) मिलेगी। किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता उस प्रायिकता के अनुपात के बराबर होती है जिसके क्या होगा, इस संभावना के लिए कि यह नहीं क्या होगा। चूंकि बॉक्स में 11 सफेद गेंदें हैं और एक अलग रंग की 9 गेंदें हैं, सफेद गेंद को खींचने की क्षमता 11:9 के अनुपात के बराबर है।
   • संख्या 11 एक सफेद गेंद से टकराने की संभावना का प्रतिनिधित्व करती है, और संख्या 9 एक अलग रंग की गेंद को खींचने की संभावना है।
   • इस प्रकार, यह अधिक संभावना है कि आपको सफेद गेंद मिलेगी।
2. 2 संभावना को प्रायिकता में बदलने के लिए इन मानों को एक साथ जोड़ें। एक अवसर को परिवर्तित करना बहुत सीधा है। सबसे पहले, इसे दो अलग-अलग घटनाओं में विभाजित किया जाना चाहिए: एक सफेद गेंद को खींचने का मौका (11) और एक अलग रंग की गेंद को खींचने का मौका (9)। संभावित घटनाओं की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए संख्याओं को एक साथ जोड़ें। हर में संभावित परिणामों की कुल संख्या के साथ सब कुछ एक संभावना के रूप में लिखें।
   • आप एक सफेद गेंद को 11 तरीकों से और एक अलग रंग की गेंद को 9 तरीकों से निकाल सकते हैं। इस प्रकार, घटनाओं की कुल संख्या 11 + 9, अर्थात् 20 है।
3. 3 अवसर का पता लगाएं जैसे कि आप एक घटना की संभावना की गणना कर रहे थे। जैसा कि हमने पहले ही निर्धारित किया है, कुल मिलाकर 20 संभावनाएं हैं, और 11 मामलों में आप एक सफेद गेंद प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, एक सफेद गेंद निकालने की संभावना की गणना उसी तरह की जा सकती है जैसे किसी अन्य एकल घटना की संभावना। 11 (सकारात्मक परिणामों की संख्या) को 20 (सभी संभावित घटनाओं की संख्या) से विभाजित करें और आप संभावना निर्धारित करेंगे।
   • हमारे उदाहरण में, सफेद गेंद से टकराने की प्रायिकता 11/20 है। नतीजतन, हमें 11/20 = 0.55, या 55% मिलता है।

टिप्स

• गणितज्ञ आमतौर पर किसी घटना के घटित होने की संभावना का वर्णन करने के लिए "सापेक्ष संभाव्यता" शब्द का उपयोग करते हैं। परिभाषा "रिश्तेदार" का अर्थ है कि परिणाम 100% गारंटीकृत नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्के को 100 बार उछालते हैं, तो, संभवत, ठीक 50 चित और 50 पट नहीं गिराए जाएंगे। सापेक्ष संभावना इसे ध्यान में रखती है।
• किसी भी घटना की प्रायिकता ऋणात्मक नहीं हो सकती। यदि आपको ऋणात्मक मान मिलता है, तो अपनी गणना जांचें।
• अक्सर, प्रायिकताओं को भिन्न, दशमलव, प्रतिशत या 1-10 के पैमाने पर लिखा जाता है।
• आपको यह जानना उपयोगी हो सकता है कि खेल और बुकमेकिंग में सट्टेबाजी के ऑड्स को ऑड्स के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि रिपोर्ट की गई घटना की संभावना को पहले स्थान पर रखा जाता है और एक ऐसी घटना की संभावना को दूसरे स्थान पर रखा जाता है जिसकी अपेक्षा नहीं की जाती है। हालांकि यह भ्रमित करने वाला हो सकता है, लेकिन अगर आप किसी खेल आयोजन पर दांव लगाने जा रहे हैं तो इसे ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।