विषय

• कदम
• 2 का भाग 1 : मूल बातें
• 2 का भाग 2: SLAE को हल करने के लिए विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन
• टिप्स

समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह है जिसमें अज्ञात का एक सामान्य सेट होता है और इसलिए, एक सामान्य समाधान होता है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ग्राफ दो सीधी रेखाएं हैं, और सिस्टम का समाधान इन सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। रैखिक समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए, मैट्रिक्स का उपयोग करना उपयोगी और सुविधाजनक है।

कदम

2 का भाग 1 : मूल बातें

1. 1 शब्दावली। रैखिक समीकरणों की प्रणाली विभिन्न घटकों से बनी होती है। एक चर को एक वर्णमाला वर्ण (आमतौर पर x या y) द्वारा दर्शाया जाता है और इसका अर्थ एक ऐसी संख्या है जिसे आप अभी तक नहीं जानते हैं और जिसे खोजने की आवश्यकता है। एक स्थिरांक एक निश्चित संख्या है जो अपना मान नहीं बदलता है।गुणांक चर के सामने की संख्या है, अर्थात वह संख्या जिससे चर को गुणा किया जाता है।
   • उदाहरण के लिए, एक रैखिक समीकरण के लिए, 2x + 4y = 8, x और y चर हैं, 8 स्थिर है, और संख्या 2 और 4 गुणांक हैं।
2. 2 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए प्रपत्र। दो चर वाले रैखिक बीजीय समीकरणों (SLAE) की एक प्रणाली को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: ax + by = p, cx + dy = q। कोई भी स्थिरांक (p, q) शून्य हो सकता है, लेकिन प्रत्येक समीकरण में कम से कम एक चर (x, y) होना चाहिए।
3. 3 मैट्रिक्स अभिव्यक्ति। किसी भी SLAE को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है, और फिर, मैट्रिक्स के बीजीय गुणों का उपयोग करके इसे हल करें। मैट्रिक्स के रूप में समीकरणों की एक प्रणाली लिखते समय, ए मैट्रिक्स के गुणांक का प्रतिनिधित्व करता है, सी निरंतर मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है, और एक्स एक अज्ञात मैट्रिक्स को दर्शाता है।
   • उदाहरण के लिए, उपरोक्त SLAE को निम्नलिखित मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है: A x X = C।
4. 4 विस्तारित मैट्रिक्स। मुक्त पदों (स्थिरांक) के मैट्रिक्स को बाईं ओर स्थानांतरित करके विस्तारित मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है। यदि आपके पास दो मैट्रिक्स, ए और सी हैं, तो विस्तारित मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:
   • उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली के लिए:
     2x + 4y = 8
     एक्स + वाई = 2
     विस्तारित मैट्रिक्स 2x3 होगा और इस तरह दिखेगा:

2 का भाग 2: SLAE को हल करने के लिए विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन

1. 1 प्राथमिक संचालन। आप मैट्रिक्स पर कुछ ऑपरेशन कर सकते हैं, इस प्रकार मूल के बराबर मैट्रिक्स प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे कार्यों को प्राथमिक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 2x3 मैट्रिक्स को हल करने के लिए, आपको मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाने के लिए पंक्ति संचालन करने की आवश्यकता है। इस तरह के ऑपरेशन हो सकते हैं:
   • दो पंक्तियों का क्रमपरिवर्तन।
   • एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।
   • एक स्ट्रिंग को गुणा करना और इसे दूसरे में जोड़ना।
2. 2 दूसरी पंक्ति का एक गैर-शून्य संख्या से गुणा। यदि आप दूसरी पंक्ति पर शून्य चाहते हैं, तो आप इसे संभव बनाने के लिए रेखा को गुणा कर सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए, यदि आपके पास इस तरह का मैट्रिक्स है:
     
     
     आप पहली पंक्ति को रख सकते हैं और दूसरी पंक्ति पर शून्य प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको पहले दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करना होगा:
3. 3 फिर से गुणा करें। पहली पंक्ति के लिए शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको समान जोड़तोड़ का उपयोग करके फिर से गुणा करने की आवश्यकता हो सकती है।
   • उपरोक्त उदाहरण में, आपको दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करना होगा:
     
     
     गुणा के बाद, मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:
4. 4 पहली पंक्ति को दूसरी में जोड़ें। पहले कॉलम और दूसरी पंक्ति के स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए पंक्तियों को जोड़ें।
   • हमारे उदाहरण में, निम्नलिखित प्राप्त करने के लिए दोनों पंक्तियों को जोड़ें:
5. 5 त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए रैखिक समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखें। एक बार जब आप त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त कर लेते हैं, तो आप SLAE पर वापस जा सकते हैं। मैट्रिक्स का पहला कॉलम अज्ञात चर x से मेल खाता है, और दूसरा अज्ञात चर y से मेल खाता है। तीसरा स्तंभ समीकरण के अवरोधन से मेल खाता है।
   • हमारे उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की नई प्रणाली का रूप लेगी:
6. 6 किसी एक चर के समीकरण को हल करें। नए SLAE में, निर्धारित करें कि समीकरण को खोजने और हल करने के लिए कौन सा चर सबसे आसान है।
   • हमारे उदाहरण में, अंत से हल करना अधिक सुविधाजनक है, अर्थात अंतिम समीकरण से पहले तक, नीचे से ऊपर की ओर बढ़ना। दूसरे समीकरण से, हम आसानी से y का हल ढूंढ सकते हैं, क्योंकि हमें x से छुटकारा मिल गया है, इसलिए y = 2।
7. 7 प्रतिस्थापन विधि द्वारा दूसरा अज्ञात ज्ञात कीजिए। एक बार जब आपको कोई एक चर मिल जाए, तो आप दूसरे चर को खोजने के लिए इसे दूसरे समीकरण में जोड़ सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, अज्ञात x को खोजने के लिए पहले समीकरण में y को 2 से बदलें:

टिप्स

• मैट्रिक्स तत्वों को आमतौर पर स्केलर के रूप में जाना जाता है।
• 2x3 मैट्रिक्स को हल करने के लिए, आपको प्राथमिक पंक्ति संचालन करना होगा। आप ये ऑपरेशन कॉलम पर नहीं कर सकते हैं।