विषय

• कदम
• विधि 1 का 3: समस्या कथन को समझें
• विधि 2 का 3: प्रमाण तैयार करें
• विधि 3 का 3: सबूत लिखिए
• टिप्स

गणितीय प्रमाण ढूँढ़ना एक कठिन काम हो सकता है, लेकिन गणित जानने और प्रमाण लिखने से आपको मदद मिलेगी। दुर्भाग्य से, गणित की समस्याओं को हल करने का तरीका सीखने के लिए कोई त्वरित और आसान तरीका नहीं है। विषय का ठीक से अध्ययन करना और मूल प्रमेयों और परिभाषाओं को याद रखना आवश्यक है जो किसी विशेष गणितीय अभिधारणा को सिद्ध करते समय आपके लिए उपयोगी होंगे। गणितीय प्रमाणों के उदाहरणों का अध्ययन करें और अपने कौशल में सुधार करने में मदद करने के लिए स्वयं अभ्यास करें।

कदम

विधि 1 का 3: समस्या कथन को समझें

1. 1 निर्धारित करें कि आप क्या खोजना चाहते हैं। पहला कदम यह पता लगाना है कि वास्तव में क्या साबित करने की आवश्यकता है। अन्य बातों के अलावा, यह आपके प्रमाण में अंतिम कथन का निर्धारण करेगा। इस स्तर पर, आपको कुछ निश्चित धारणाएँ भी बना लेनी चाहिए जिनके भीतर आप काम करेंगे। समस्या को बेहतर ढंग से समझने और इसे हल करना शुरू करने के लिए, पता लगाएं कि आपको क्या साबित करना है और आवश्यक धारणाएं बनाना है।
2. 2 एक ड्राइंग बनाएं। गणितीय समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी उन्हें चित्र या आरेख के रूप में चित्रित करना उपयोगी होता है। ज्यामितीय समस्याओं के मामले में यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है - चित्र स्थिति की कल्पना करने में मदद करता है और समाधान की खोज को बहुत सुविधाजनक बनाता है।
   • चित्र या आरेख बनाते समय, स्थिति में दिए गए डेटा का उपयोग करें। ज्ञात और अज्ञात मात्राओं को चित्र में अंकित कीजिए।
   • ड्राइंग से आपके लिए सबूत ढूंढना आसान हो जाएगा।
3. 3 समान प्रमेयों के अध्ययन प्रमाण। यदि आपको तुरंत समाधान नहीं मिल रहा है, तो समान प्रमेय खोजें और देखें कि वे कैसे सिद्ध होते हैं।
   • ध्यान दें कि आपको उपपत्ति के प्रत्येक चरण के लिए कारण देने होंगे। देखें कि इंटरनेट पर या गणित की पाठ्यपुस्तकों में विभिन्न प्रमेय कैसे सिद्ध होते हैं।
4. 4 प्रश्न पूछें। यह ठीक है अगर आप तुरंत सबूत नहीं ढूंढ पाते हैं।यदि आप किसी चीज़ के बारे में अस्पष्ट हैं, तो अपने शिक्षक या सहपाठियों से इसके बारे में पूछें। शायद आपके साथियों के भी वही सवाल हों और आप उन्हें एक साथ सुलझा सकते हैं। बार-बार सबूत खोजने की कोशिश करने और असफल होने की तुलना में कुछ सवाल पूछना बेहतर है।
   • पाठ के बाद शिक्षक के पास जाएं और अस्पष्ट प्रश्नों का पता लगाएं।

विधि 2 का 3: प्रमाण तैयार करें

1. 1 गणितीय प्रमाण तैयार करें। एक गणितीय प्रमाण प्रमेयों और परिभाषाओं द्वारा समर्थित कथनों का एक क्रम है जो गणितीय अभिधारणा को सिद्ध करता है। प्रमाण यह निर्धारित करने का एकमात्र तरीका है कि कोई कथन गणितीय रूप से सही है या नहीं।
   • गणितीय प्रमाणों को लिखने की क्षमता समस्या की गहरी समझ और आवश्यक उपकरणों (लेम्मा, प्रमेय और परिभाषा) की महारत की गवाही देती है।
   • कठोर प्रमाण आपको गणित पर नए सिरे से विचार करने और इसके आकर्षण का अनुभव प्राप्त करने में मदद कर सकते हैं। गणितीय विधियों का अंदाजा लगाने के लिए बस एक कथन को सिद्ध करने का प्रयास करें।
2. 2 अपने दर्शकों पर विचार करें। इससे पहले कि आप सबूत रिकॉर्ड करना शुरू करें, आपको इस बारे में सोचना चाहिए कि यह किसके लिए है और इन लोगों के ज्ञान के स्तर को ध्यान में रखना चाहिए। यदि आप किसी वैज्ञानिक पत्रिका में आगे के प्रकाशन के लिए साक्ष्य लिखते हैं, तो यह उस समय से भिन्न होगा जब आप स्कूल का सत्रीय कार्य कर रहे हों।
   • अपने लक्षित दर्शकों को जानने से आप अपने पाठकों को इसे समझने के लिए प्रशिक्षण देते समय साक्ष्य लिखने की अनुमति देंगे।
3. 3 प्रमाण के प्रकार का निर्धारण करें। कई प्रकार के गणितीय प्रमाण हैं, और एक विशिष्ट रूप का चुनाव लक्षित दर्शकों और हल की जा रही समस्या पर निर्भर करता है। यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि किस प्रजाति को चुनना है, तो अपने शिक्षक से संपर्क करें। हाई स्कूल में, दो-स्तंभ प्रमाण की आवश्यकता होती है।
   • दो कॉलम में साक्ष्य लिखते समय, एक प्रारंभिक डेटा और बयान दर्ज करता है, और दूसरा - इन बयानों के संबंधित साक्ष्य। अंकन के इस रूप का उपयोग अक्सर ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय किया जाता है।
   • साक्ष्य लिखने के कम औपचारिक तरीके से, व्याकरणिक रूप से सही निर्माण और कम प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। उच्च स्तरों पर, यह वह संकेतन है जिसका उपयोग किया जाना चाहिए।
4. 4 सबूत को दो कॉलम में स्केच करें। यह रूप विचारों को व्यवस्थित करने और समस्या को लगातार हल करने में मदद करता है। पृष्ठ को एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ आधे में विभाजित करें, और अपना मूल डेटा और उसके बाद आने वाले बयानों को बाईं ओर लिखें। प्रत्येक कथन के दाईं ओर संगत परिभाषाएँ और प्रमेय लिखिए।
   • उदाहरण के लिए:
   • कोने ए और बी आसन्न हैं - दिए गए हैं;
   • कोण एबीसी चपटा है - एक चपटा कोने को परिभाषित करता है;
   • कोण ABC 180 ° है - एक सीधी रेखा को परिभाषित करना;
   • कोण ए + कोण बी = कोण एबीसी - कोण जोड़ने का नियम;
   • कोण ए + कोण बी = 180 डिग्री - प्रतिस्थापन;
   • कोण ए कोण बी का पूरक है - अतिरिक्त कोणों की परिभाषा;
   • क्यू.ई.डी.
5. 5 दो-स्तंभ प्रमाण को अनौपचारिक प्रमाण के रूप में लिखिए। आधार के रूप में दो-स्तंभ प्रविष्टि का उपयोग करें और कम प्रतीकों और संक्षिप्त रूपों के साथ प्रमाण को छोटे रूप में लिखें।
   • उदाहरण के लिए: मान लीजिए कि कोने A और B आसन्न हैं। परिकल्पना के अनुसार, ये कोण एक दूसरे के पूरक हैं। जब आसन्न कोण A और कोण B एक सीधी रेखा बनाते हैं। यदि कोने की भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं, तो कोण 180° होता है। एक सीधी रेखा ABC बनाने के लिए कोण A और B जोड़ें। अत: कोणों A और B का योग 180° होता है, अर्थात ये कोण पूरक होते हैं। क्यू.ई.डी.

विधि 3 का 3: सबूत लिखिए

1. 1 सबूत की भाषा सीखें। गणितीय प्रमाण लिखने के लिए मानक कथनों और वाक्यांशों का उपयोग किया जाता है। आपको इन वाक्यांशों को सीखने और उनका उपयोग करने का तरीका जानने की जरूरत है।
   • वाक्यांश "यदि ए, तो बी" का अर्थ है कि यदि कथन ए सत्य है, तो कथन बी भी सत्य होना चाहिए।
   • "ए अगर और केवल अगर बी" का अर्थ है कि कथन ए और बी एक ही समय में सत्य या गलत हैं। यह निर्माण दो युगपत कथनों के समतुल्य है: "यदि A, तो B" और "यदि A विफल हो जाता है, तो B धारण नहीं करता है"।
   • "ए केवल अगर बी" "अगर बी, तो ए" के बराबर है, इसलिए यह निर्माण आम नहीं है। फिर भी, इसके बारे में याद रखना जरूरी है।
   • साक्ष्य रिकॉर्ड करते समय, व्यक्तिगत सर्वनाम "I" के बजाय "हम" का उपयोग करने का प्रयास करें।
2. 2 सभी मूल डेटा लिखें। किसी प्रमाण को संकलित करते समय, पहली बात यह है कि समस्या में दी गई हर चीज को परिभाषित और लिखना है। इस मामले में, आपकी आंखों के सामने सभी प्रारंभिक डेटा होंगे, जिसके आधार पर निर्णय लेना आवश्यक है। समस्या कथन को ध्यान से पढ़ें और उसमें दी गई सभी बातों को लिख लें।
   • उदाहरण के लिए: सिद्ध करें कि दो आसन्न कोण (कोण A और कोण B) एक दूसरे के पूरक हैं।
   • दिया गया है: आसन्न कोने A और B।
   • सिद्ध कीजिए: कोण A, कोण B का पूरक है।
3. 3 सभी चर को परिभाषित करें। मूल डेटा रिकॉर्ड करने के अलावा, बाकी चरों को लिखना भी उपयोगी है। पाठक के लिए इसे आसान बनाने के लिए, प्रूफ़ की शुरुआत में ही वेरिएबल्स को लिख लें। यदि कोई चर परिभाषित नहीं किया गया है, तो पाठक भ्रमित हो सकता है और आपके प्रमाण को नहीं समझ सकता है।
   • सबूत के दौरान पहले से अपरिभाषित चर का उपयोग न करें।
   • उदाहरण के लिए: ऊपर दी गई समस्या में, चर ए और बी कोणों के मान हैं।
4. 4 प्रमाण को उल्टे क्रम में खोजने का प्रयास करें। कई समस्याओं को उल्टे क्रम में हल करना आसान होता है। आपको जो साबित करने की आवश्यकता है उससे शुरू करें और सोचें कि आप निष्कर्षों को प्रारंभिक स्थिति से कैसे जोड़ सकते हैं।
   • आरंभ और समाप्ति चरणों को फिर से पढ़ें और देखें कि क्या वे एक दूसरे के समान हैं। ऐसा करते समय, प्रारंभिक स्थितियों, परिभाषाओं और अन्य समस्याओं से मिलते-जुलते प्रमाणों का उपयोग करें।
   • अपने आप से सवाल पूछें और आगे बढ़ें। व्यक्तिगत कथनों को सिद्ध करने के लिए, स्वयं से पूछें, "ऐसा क्यों है?" - और: "क्या यह गलत हो सकता है?"
   • अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक अलग-अलग चरणों को क्रमिक रूप से लिखना याद रखें।
   • उदाहरण के लिए: यदि कोण A और B पूरक हैं, तो उनका योग 180° होना चाहिए। आसन्न कोणों की परिभाषा के अनुसार, कोण A और B एक सीधी रेखा ABC बनाते हैं। चूंकि रेखा 180 ° का कोण बनाती है, कोण A और B 180 ° तक जुड़ते हैं।
5. 5 सबूत के अलग-अलग चरणों को व्यवस्थित करें ताकि यह सुसंगत और तार्किक हो। शुरुआत से शुरू करें और एक सिद्ध थीसिस तक अपना काम करें। हालांकि कभी-कभी साक्ष्य के लिए आपकी खोज के अंत में शुरू करना मददगार होता है, आपको इसे लिखते समय सही क्रम का पालन करना चाहिए। अलग-अलग थीसिस को एक के बाद एक का पालन करना चाहिए ताकि सबूत तार्किक हो और संदेह पैदा न करें।
   • सबसे पहले, किए गए अनुमानों पर विचार करें।
   • सरल और सरल चरणों के साथ दिए गए कथनों की पुष्टि करें ताकि पाठक को उनकी शुद्धता के बारे में कोई संदेह न हो।
   • कभी-कभी आपको प्रमाण को एक से अधिक बार फिर से लिखना पड़ता है। जब तक आप सबसे तार्किक संरचना पर नहीं पहुंच जाते, तब तक बयानों और उनके सबूतों को समूहबद्ध करना जारी रखें।
   • उदाहरण के लिए: चलिए शुरू से शुरू करते हैं।
     • कोण A और B आसन्न हैं।
     • कोने ABC की भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं।
     • कोण ABC 180° है।
     • कोण ए + कोण बी = कोण एबीसी।
     • कोण A + कोण B = कोण 180°।
     • कोण A कोण B का पूरक है।
6. 6 प्रमाण में तीरों और संक्षिप्ताक्षरों का प्रयोग न करें। मसौदे में विभिन्न संक्षिप्ताक्षरों और प्रतीकों का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन उन्हें अंतिम मसौदे में शामिल न करें क्योंकि इससे पाठक भ्रमित हो सकते हैं। इसके बजाय "इसलिए" और "फिर" जैसे शब्दों का प्रयोग करें।
   • अपवाद के रूप में, समझने योग्य संक्षिप्ताक्षरों की अनुमति है, उदाहरण के लिए, "अर्थात। इ। " (अर्थात), हालांकि उनका उचित उपयोग करें।
7. 7 एक प्रमेय, कानून, या परिभाषा के साथ प्रत्येक थीसिस का समर्थन करें। प्रमाण निर्दोष होना चाहिए। आप निराधार बयान नहीं दे सकते। देखें कि आपकी जैसी समस्याओं के लिए प्रूफ़ कैसे बनाए जाते हैं।
   • उन मामलों में जो सबूत मिलते हैं उन्हें लागू करने का प्रयास करें जहां यह सच नहीं होना चाहिए और देखें कि यह है या नहीं। अगर सबूत ऐसे मामलों में मान्य है, तो जांच लें कि आपने कहां गलती की है।
   • ज्यामितीय समस्याओं के प्रमाण प्रायः दो स्तंभों में लिखे जाते हैं। दावे दाईं ओर लिखे गए हैं, और उनके प्रमाण बाईं ओर दिए गए हैं। उसी समय, प्रकाशनों में, उपयुक्त व्याकरण के साथ पैराग्राफ के रूप में गणितीय प्रमाण तैयार किए जाते हैं।
8. 8 सबूतों को "साबित करने के लिए आवश्यक" वाक्यांश के साथ समाप्त करें। सबूत के अंत में एक सिद्ध थीसिस होना चाहिए। इसके बाद, आपको "क्या साबित करना आवश्यक था" (संक्षिप्त रूप में "एच। आदि" या एक भरे हुए वर्ग के रूप में एक प्रतीक) लिखना चाहिए - इसका मतलब है कि सबूत पूरा हो गया है।
   • लैटिन में, वाक्यांश "क्या साबित करने के लिए आवश्यक था" संक्षिप्त नाम Q.E.D से मेल खाता है। (क्वॉड इरेट डेमोस्ट्रैंडम, अर्थात्, "क्या दिखाना आवश्यक था")।
   • यदि आप प्रमाण की शुद्धता के बारे में संदेह में हैं, तो बस कुछ वाक्यांश लिखें कि आप किस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं और यह क्यों महत्वपूर्ण है।

टिप्स

• साक्ष्य में प्रदान की गई सभी जानकारी को निर्दिष्ट लक्ष्य की उपलब्धि को पूरा करना चाहिए। आप अपने प्रमाण में जो कुछ भी कर सकते हैं उसे शामिल न करें।