विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• विधि 1 की 4: किसी दिए गए समीकरण के साथ फ़ंक्शन की श्रेणी का निर्धारण करना
• विधि 2 की 4: एक ग्राफ का उपयोग करके फ़ंक्शन की सीमा का निर्धारण करना
• विधि 3 की 4: किसी रिश्ते के कार्य का दायरा निर्धारित करना
• विधि 4 की 4: किसी समस्या में किसी कार्य का दायरा निर्धारित करें
• टिप्स

किसी फ़ंक्शन की श्रेणी, संख्याओं का समूह है जो फ़ंक्शन का उत्पादन कर सकता है।दूसरे शब्दों में, यह y मानों का समूह है जो आपको तब मिलता है जब आप फ़ंक्शन में सभी संभावित x मानों को संसाधित करते हैं। X मानों के इस सेट को डोमेन कहा जाता है। यदि आप जानना चाहते हैं कि किसी फ़ंक्शन की श्रेणी की गणना कैसे करें, तो नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

कदम बढ़ाने के लिए

विधि 1 की 4: किसी दिए गए समीकरण के साथ फ़ंक्शन की श्रेणी का निर्धारण करना

1. समीकरण लिखिए। मान लें कि आपके पास निम्नलिखित समीकरण हैं: f (x) = 3x + 6x -2। इसका मतलब है कि जब आप के लिए एक मूल्य दर्ज करते हैं एक्स समीकरण के अनुसार, आप तब ए यमान। यह एक परवलय का कार्य है।
2. फ़ंक्शन का शीर्ष ज्ञात करें, यदि यह द्विघात समीकरण है। यदि आपके पास एक सीधी रेखा या किसी बहुपद या विषम संख्या के साथ कोई कार्य है, जैसे कि f (x) = 6x + 2x + 7, तो आप इस चरण को छोड़ सकते हैं। लेकिन अगर आप एक पेराबोला या एक समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, जहां x निर्देशांक चुकता है या एक समान शक्ति से बढ़ता है, तो आपको परवलय के शीर्ष को खींचना होगा। इसके लिए समीकरण का उपयोग करें -बी / २ ए फ़ंक्शन के x निर्देशांक के लिए 3x + 6x -2, जहां 3 = a, 6 = b और -2 = c है। इस मामले में लागू होता है बी है -6 और २ अ 6 है, इसलिए x निर्देशांक है -6/6, या -1।
   • फिर y समन्वय प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शन में -1 की प्रक्रिया करें। f (-1) = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5।
   • परबोला का शीर्ष (-1, -5) है। X-निर्देशांक -1 और y-निर्देशांक -5 पर एक बिंदु खींचकर ग्राफ में इसे संसाधित करें। यह ग्राफ के तीसरे चतुर्थांश में होना चाहिए।
3. स्थिति के कुछ अन्य बिंदुओं को देखें। फ़ंक्शन के लिए एक महसूस करने के लिए, आपको एक्स के लिए कई अन्य मान दर्ज करने चाहिए ताकि आप इस बात का अंदाजा लगा सकें कि रेंज की खोज करने से पहले फ़ंक्शन कैसा दिखता है। चूँकि यह एक परवलय है और x धनात्मक है, परवलय ऊपर की ओर इंगित करेगा (घाटी परबोला)। लेकिन सिर्फ सुरक्षित पक्ष पर होने के लिए, हम यह पता लगाने के लिए x के लिए कई मान दर्ज करते हैं कि वे किस उपज का समन्वय करते हैं:
   • f (-2) = 3 (-2) + 6 (-2) -2 = -2। ग्राफ पर एक बिंदु है (-2, -2)
   • f (0) = 3 (0) + 6 (0) -2 = -2। ग्राफ पर एक और बिंदु है (0, -2)
   • f (1) = 3 (1) + 6 (1) -2 = 7. ग्राफ पर एक तीसरा बिंदु (1, 7) है।
4. चार्ट की सीमा ज्ञात कीजिए। अब ग्राफ पर y निर्देशांक देखें और सबसे निचला बिंदु ढूंढें जहां ग्राफ़ y निर्देशांक को स्पर्श करता है। इस मामले में, सबसे कम y निर्देशांक -5 परबोला के शीर्ष पर है, और ग्राफ इस बिंदु से परे अनिश्चित काल तक फैला हुआ है। इसका तात्पर्य फंक्शन के दायरे से है y = सभी वास्तविक संख्या ≥ -5.

विधि 2 की 4: एक ग्राफ का उपयोग करके फ़ंक्शन की सीमा का निर्धारण करना

1. न्यूनतम स्थिति ज्ञात कीजिए। फ़ंक्शन के निम्नतम y निर्देशांक का पता लगाएं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन -3 पर अपने निम्नतम बिंदु पर पहुंच जाता है। यह फ़ंक्शन छोटे और छोटे, अनंत तक प्राप्त कर सकता है, इसलिए इसका कोई निश्चित निम्नतम बिंदु नहीं है - सिर्फ अनंत।
2. फ़ंक्शन का अधिकतम पता लगाएं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन का उच्चतम y-निर्देशांक 10 है। यह फ़ंक्शन अनंत रूप से बड़ा हो सकता है, इसलिए इसका कोई निश्चित उच्चतम बिंदु नहीं है - केवल अनन्तता।
3. इंगित करें कि सीमा क्या है। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन की श्रेणी, या y निर्देशांक की सीमा -3 से 10. है, इसलिए, -3 ≤ f (x) x 10. यह फ़ंक्शन की श्रेणी है।
   • लेकिन मान लीजिए कि y = -3 ग्राफ पर सबसे कम बिंदु है, लेकिन यह हमेशा के लिए बढ़ जाता है। फिर रेंज f (x), -3 है, और इससे अधिक नहीं।
   • मान लीजिए कि ग्राफ y = 10 पर अपने उच्चतम बिंदु पर पहुंच जाता है, लेकिन फिर हमेशा के लिए गिरता रहता है। फिर रेंज f (x) (10 है।

विधि 3 की 4: किसी रिश्ते के कार्य का दायरा निर्धारित करना

1. संबंध लिखो। एक रिश्ता एक्स और वाई निर्देशांक के आदेशित जोड़े का एक संग्रह है। आप एक रिश्ते को देख सकते हैं और उसके डोमेन और दायरे को निर्धारित कर सकते हैं। मान लें कि आप निम्नलिखित संबंधों से निपट रहे हैं: {(2, –3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)}।
2. रिश्ते के y निर्देशांक को सूचीबद्ध करें। रिश्ते की सीमा निर्धारित करने के लिए, हम नीचे दिए गए प्रत्येक जोड़े के सभी y निर्देशांक लिखते हैं: {-3, 6, -1, 6, 3}।
3. सभी डुप्लिकेट निर्देशांक निकालें ताकि आपके पास प्रत्येक y समन्वय में से केवल एक हो। आपने देखा होगा कि आपके पास सूची में "6" दो बार है। इसे हटा दें ताकि आप {-3, -1, 6, 3} से बचे रहें।
4. आरोही क्रम में संबंध का दायरा लिखिए। फिर सेट में संख्याओं को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक व्यवस्थित करें, और आपको सीमा मिल गई है। रिश्ते की सीमा {(2, –3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)} {-3, -1, 3, 6} है । तुम सभी पक्के हो।
5. रिश्ते को एक फंक्शन बनाएं है. एक रिश्ते के लिए एक फ़ंक्शन होने के लिए, हर बार जब आप एक एक्स समन्वित की संख्या दर्ज करते हैं, तो y समन्वय को समान होना चाहिए। उदाहरण के लिए, संबंध {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} है नहीं न फ़ंक्शन, क्योंकि यदि आप पहली बार x के रूप में 2 दर्ज करते हैं, तो आपको मान के रूप में 3 मिलता है, लेकिन दूसरी बार जब आप 2 में प्रवेश करते हैं, तो आपको चार मिलते हैं। एक रिश्ता केवल एक फ़ंक्शन है यदि आपको हमेशा एक निश्चित इनपुट के लिए समान आउटपुट मिलता है। यदि आप -7 दर्ज करते हैं, तो आपको हर बार समान y समन्वय करना चाहिए (जो कुछ भी हो सकता है)।

विधि 4 की 4: किसी समस्या में किसी कार्य का दायरा निर्धारित करें

1. मुद्दा पढ़ें। मान लीजिए आप निम्नलिखित असाइनमेंट पर काम कर रहे हैं: "बेकी अपने स्कूल के टैलेंट शो में $ 5 प्रत्येक के लिए टिकट बेचती है। वह जो राशि उठाती है वह टिकटों की संख्या का एक फ़ंक्शन है जो वह बेचती है। फीचर का दायरा क्या है?"
2. समस्या को फ़ंक्शन के रूप में लिखें। इस मामले में म। राशि बढ़ी और टी जितने टिकट बिके। चूंकि प्रत्येक टिकट की कीमत 5 यूरो है, इसलिए आपको कुल राशि प्राप्त करने के लिए टिकटों की संख्या 5 से बेचनी होगी। इसलिए, फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है एम (टी) = 5 टी।
   • उदाहरण के लिए: यदि वह 2 टिकट बेचती है, तो आपको 10 का जवाब देने के लिए 2 को 5 से गुणा करना होगा, और इस तरह कुल राशि बढ़ जाएगी।
3. निर्धारित करें कि डोमेन क्या है। रेंज खोजने के लिए आपको सबसे पहले डोमेन की आवश्यकता होती है। डोमेन में समीकरण में भाग लेने वाले टी के सभी संभावित मूल्य शामिल हैं। इस मामले में, बेकी 0 या अधिक टिकट बेच सकती है - वह नकारात्मक संख्या में टिकट नहीं बेच सकती है। चूंकि हम स्कूल के सभागार में सीटों की संख्या नहीं जानते हैं, इसलिए हम यह मान सकते हैं कि सिद्धांत रूप में यह अनंत संख्या में टिकट बेच सकता है। और वह केवल पूरे कार्ड बेच सकती है, उनका हिस्सा नहीं। इसलिए, यह फ़ंक्शन का डोमेन है टी = कोई भी सकारात्मक पूर्णांक।
4. सीमा निर्धारित करें। रेंज संभव राशि है जो बेकी बिक्री के साथ बढ़ा सकती है। रेंज खोजने के लिए आपको डोमेन के साथ काम करना होगा। यदि आप जानते हैं कि डोमेन एक सकारात्मक पूर्णांक है और वह समीकरण है एम (टी) = 5 टी तब आप यह भी जानते हैं कि आप उत्तर या रेंज के लिए इस फ़ंक्शन में कोई भी सकारात्मक पूर्णांक दर्ज कर सकते हैं। उदाहरण के लिए: यदि वह 5 टिकट बेचता है, तो M (5) = 5 x 5, या $ 25। यदि वह 100 बेचती है, तो एम (100) = 5 x 100, या 500 यूरो। इसलिए, फ़ंक्शन का दायरा कोई भी पॉजिटिव पूर्णांक जो पांच का एक बहु है।
   • अर्थात्, कोई भी धनात्मक पूर्णांक जो कि पांच से अधिक है, फ़ंक्शन का एक संभावित परिणाम है।

टिप्स

• देखें कि क्या आप फ़ंक्शन का उलटा पता लगा सकते हैं। किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम का डोमेन उस फ़ंक्शन की श्रेणी के बराबर है।
• अधिक कठिन मामलों में, पहले डोमेन (यदि आवश्यक हो) का उपयोग करके ग्राफ को खींचना आसान हो सकता है और फिर ग्राफ़ से सीमा को पढ़ सकते हैं।
• जांचें कि क्या फ़ंक्शन दोहराता है। कोई भी फ़ंक्शन जो एक्स अक्ष के साथ दोहराता है, पूरे फ़ंक्शन के लिए समान सीमा होगी। उदाहरण के लिए: f (x) = sin (x) की श्रेणी -1 और 1 के बीच है।