विषय

• कदम बढ़ाने के लिए

त्रिकोणमितीय समीकरण चर त्रिकोणमितीय वक्र x के एक या अधिक त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक समीकरण है। X के लिए हल करने का अर्थ है त्रिकोणमितीय वक्रों के मान ज्ञात करना जिनके त्रिकोणमितीय कार्य त्रिकोणमितीय समीकरण को सही बनाते हैं।

• समाधानों के उत्तर, या मान, डिग्री या रेडियन में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 डिग्री; x = 37.12 डिग्री; x = 178.37 डिग्री

• नोट: यूनिट सर्कल पर, किसी भी वक्र के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन संबंधित कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों के बराबर होते हैं। यूनिट सर्कल चर वक्र x के सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करता है। इसका उपयोग मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने में प्रमाण के रूप में भी किया जाता है।
• त्रिकोणमितीय समीकरणों के उदाहरण:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + खाट x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1।

1. इकाई चक्र।
   • यह त्रिज्या = 1 के साथ एक चक्र है, जहां ओ मूल है। यूनिट सर्कल चर वक्र x के 4 मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करता है, जो इसे वामावर्त बनाता है।
   • जब मान x वाला वक्र इकाई वृत्त पर भिन्न होता है, तब धारण करता है:
   • क्षैतिज अक्ष OAx त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन f (x) = cos x को परिभाषित करता है।
   • ऊर्ध्वाधर अक्ष OBy त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन f (x) = sin x को परिभाषित करता है।
   • ऊर्ध्वाधर अक्ष AT, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन f (x) = tan x को परिभाषित करता है।
   • क्षैतिज अक्ष BU, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन f (x) = cot x को परिभाषित करता है।

• यूनिट सर्कल का उपयोग सर्कल पर वक्र x के विभिन्न पदों पर विचार करके बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों और मानक त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

कदम बढ़ाने के लिए

1. समाधान विधि को समझें।
   • त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए आप इसे एक या अधिक मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में बदलते हैं। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से अंततः 4 मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में परिणाम होता है।
2. बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का तरीका जानें।
   • 4 मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; खाट x = ए
   • आप त्रिकोणमितीय सर्कल पर वक्र x के विभिन्न पदों का अध्ययन करके और त्रिकोणमितीय रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल कर सकते हैं। इन और इसी तरह के मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के बारे में पूरी तरह से समझने के लिए, निम्न पुस्तक पढ़ें: "त्रिकोणमिति: हल करने वाले त्रिकोणमितीय समीकरण और असमानताएं" (अमेज़ॅन ई-बुक 2010)।
   • उदाहरण 1. पाप x = 0.866 के लिए हल करें। रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) उत्तर देती है: x = Pi / 3। त्रिकोणमितीय सर्कल साइन के लिए एक ही मान (0.866) के साथ एक और वक्र (2Pi / 3) देता है। त्रिकोणमितीय सर्कल भी उत्तर के अनंत प्रदान करता है जिसे विस्तारित उत्तर कहा जाता है।
   • X1 = Pi / 3 + 2k.Pi, और x2 = 2Pi / 3। (एक अवधि के भीतर जवाब (0, 2Pi))
   • X1 = Pi / 3 + 2k Pi, और x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi। (विस्तृत जवाब)।
   • उदाहरण 2. हल: cos x = -1/2। कैलकुलेटर एक्स = 2 पाई / 3 देते हैं। त्रिकोणमितीय वृत्त भी x = -2Pi / 3 देता है।
   • X1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, और x2 = - 2Pi / 3। (अवधि के लिए उत्तर (0, 2Pi))
   • X1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, और x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (विस्तारित उत्तर)
   • उदाहरण 3. हल: तन (एक्स - पाई / 4) = 0।
   • x = Pi / 4; (उत्तर)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (विस्तारित उत्तर)
   • उदाहरण 4. हल: खाट 2x = 1.732। कैलकुलेटर और त्रिकोणमितीय वृत्त देते हैं:
   • x = Pi / 12; (उत्तर)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (विस्तारित उत्तर)
3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में उपयोग किए गए परिवर्तनों को जानें।
   • किसी दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों में बदलने के लिए, मानक बीजगणितीय रूपांतरणों (गुणन, सामान्य कारक, बहुपद ...), परिभाषाओं और त्रिकोणमितीय कार्यों और त्रिकोणमितीय पहचान के गुणों का उपयोग करें। लगभग 31, 14 हैं, जो त्रिकोणमितीय पहचान हैं, 19 से 31 तक, रूपांतरण पहचान भी कहलाती हैं, क्योंकि उनका उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों के रूपांतरण में किया जाता है। उपरोक्त पुस्तक देखें।
   • उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय समीकरण: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 को त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. हल करने के लिए मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; और cos (x / 2) = 0
4. उन वक्रों का पता लगाएं, जिनके लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन ज्ञात हैं।
   • इससे पहले कि आप सीखें कि त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, आपको यह जानना होगा कि कैसे जल्दी से उन वक्रों को खोजना है जिनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को जाना जाता है। ट्रिगोनोमेट्रिक टेबल या कैलकुलेटर के साथ घटता (या कोण) के रूपांतरण मान निर्धारित किए जा सकते हैं।
   • उदाहरण: cos x = 0.732 के लिए हल करें। कैलकुलेटर समाधान x = 42.95 डिग्री देता है। यूनिट सर्कल कॉशन के लिए समान मूल्य के साथ अन्य घटता देता है।
5. यूनिट सर्कल पर उत्तर के आर्क को ड्रा करें।
   • आप यूनिट सर्कल पर समाधान को चित्रित करने के लिए एक ग्राफ बना सकते हैं। इन वक्रों के अंतिम बिंदु त्रिकोणमितीय सर्कल पर नियमित बहुभुज हैं। कुछ उदाहरण:
   • वक्र x का अंतबिंदु = Pi / 3 + k। Pi / 2 इकाई वृत्त पर एक वर्ग है।
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 के घटता को इकाई वृत्त पर एक षट्भुज के निर्देशांक द्वारा दर्शाया जाता है।
6. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना सीखें।
   • यदि दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में केवल एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन होता है, तो इसे मानक त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि दिए गए समीकरण में दो या अधिक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन हैं, तो समीकरण को परिवर्तित करने के विकल्पों के आधार पर, 2 समाधान विधियां हैं।
     • A. विधि 1।
   • त्रिकोणमितीय समीकरण को रूप के उत्पाद में परिवर्तित करें: f (x) .g (x) = 0 या f (x) .g (x) .h (x) = 0, जहाँ f (x), g (x)। और h (x) मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं।
   • उदाहरण 6. हल: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • समाधान। पाप 2x को पहचान का उपयोग करते हुए समीकरण में बदलें: sin 2x = 2 * sin x * cos x।
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. फिर 2 मानक त्रिकोणमितीय कार्यों को हल करें: cos x = 0, और (sin x + 1) = 0।
   • उदाहरण 7. हल: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • समाधान: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए इसे एक उत्पाद में बदलें: cos 2x (2cos x + 1) = 0. अब 2 मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0, और (2cos x + 1) = 0।
   • उदाहरण 8. हल: पाप x - पाप 3x = cos 2x। (0 x 2Pi)
   • समाधान: इसे त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके एक उत्पाद में परिवर्तित करें: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. अब 2 मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0, और (2sin x + 1) - 0।
     • B. दृष्टिकोण 2।
   • एक चर के रूप में केवल एक अद्वितीय ट्रिगर फ़ंक्शन के साथ ट्रिगर समीकरण को ट्रिगर समीकरण को कनवर्ट करता है। एक उपयुक्त चर का चयन करने के तरीके के बारे में कुछ सुझाव दिए गए हैं। सामान्य चर हैं: पाप x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t और tan (x / 2) = t।
   • उदाहरण 9. हल: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi)।
   • समाधान। समीकरण में, (cos ^ 2x) को (1 - sin ^ 2x) से बदलें, और समीकरण को सरल बनाएं:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. अब sin x = t का उपयोग करें। समीकरण बन जाता है: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. यह 2 जड़ों के साथ द्विघात समीकरण है: t1 = -1 और t2 = 9/5। हम दूसरे t2 को अस्वीकार कर सकते हैं, क्योंकि> 1. अब के लिए हल करें: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2।
   • उदाहरण 10. हल: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2।
   • समाधान। टैन एक्स = टी का उपयोग करें। दिए गए समीकरण को एक चर के रूप में t के साथ एक समीकरण में परिवर्तित करें: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. इस उत्पाद से t के लिए हल करें, फिर x के लिए मानक त्रिकोणमितीय समीकरण tan x = t को हल करें।
7. विशेष त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें।
   • कुछ विशेष त्रिकोणमितीय समीकरण हैं जिनके लिए कुछ विशिष्ट रूपांतरणों की आवश्यकता होती है। उदाहरण:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. त्रिकोणमितीय कार्यों के आवधिक गुणों को जानें।
   • सभी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन आवधिक होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक अवधि के बाद रोटेशन के बाद उसी मूल्य पर लौटते हैं। उदाहरण:
     • फ़ंक्शन f (x) = sin x में 2Pi एक अवधि के रूप में है।
     • फ़ंक्शन f (x) = tan x में एक अवधि के रूप में Pi है।
     • फ़ंक्शन च (x) = पाप 2x में एक अवधि के रूप में पाई है।
     • फ़ंक्शन f (x) = cos (x / 2) की अवधि 4Pi है।
   • यदि अवधि अभ्यास / परीक्षण में निर्दिष्ट है, तो आपको इस अवधि के भीतर केवल वक्र (ओं) को खोजने की आवश्यकता है।
   • नोट: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना मुश्किल है और अक्सर त्रुटियों और गलतियों की ओर जाता है। इसलिए, उत्तरों को सावधानीपूर्वक जांचना चाहिए। हल करने के बाद, आप दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण R (x) = 0. के प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व के लिए, रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करके उत्तरों की जांच कर सकते हैं। उत्तर (वर्गमूल के रूप में) दशमलव स्थानों में दिए गए हैं। एक उदाहरण के रूप में, पाई का मूल्य 3.14 है