विषय

• संक्षिप्त सारांश
• कदम
• 3 का भाग 1 : मैट्रिसेस की विभाज्यता का परीक्षण
• 3 का भाग 2: व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना
• 3 का भाग 3: मैट्रिक्स गुणन
• टिप्स
• चेतावनी
• अतिरिक्त लेख

यदि आप दो आव्यूहों को गुणा करना जानते हैं, तो आप आव्यूहों को "विभाजित" करना शुरू कर सकते हैं। शब्द "विभाजन" उद्धरण चिह्नों में संलग्न है, क्योंकि वास्तव में मैट्रिक्स को विभाजित नहीं किया जा सकता है। डिवीजन ऑपरेशन को एक मैट्रिक्स को एक मैट्रिक्स से गुणा करने के ऑपरेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो दूसरे मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होता है। सरलता के लिए, पूर्णांकों के साथ एक उदाहरण पर विचार करें: 10 ÷ 5. 5: 5 या / का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।₅, और फिर भाग को गुणा से बदलें: 10 x 5; भाग और गुणा का परिणाम समान होगा। इसलिए, यह माना जाता है कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा विभाजन को गुणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। आमतौर पर, ऐसी गणनाओं का उपयोग रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए किया जाता है।

संक्षिप्त सारांश

1. आप मैट्रिक्स को विभाजित नहीं कर सकते। विभाजित करने के बजाय, एक मैट्रिक्स को दूसरे मैट्रिक्स के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। दो आव्यूहों का "विभाजन" [A] [B] इस प्रकार लिखा जाता है: [A] * [B] या [B] * [A]।
2. यदि मैट्रिक्स [बी] वर्गाकार नहीं है, या यदि इसका सारणिक 0 है, तो "कोई स्पष्ट समाधान नहीं" लिखें। अन्यथा, मैट्रिक्स [बी] के निर्धारक का पता लगाएं और अगले चरण पर जाएं।
3. उलटा खोजें: [बी]।
4. [ए] * [बी] या [बी] * [ए] खोजने के लिए मैट्रिक्स गुणा करें। ध्यान रखें कि जिस क्रम में मैट्रिक्स को गुणा किया जाता है वह अंतिम परिणाम को प्रभावित करता है (अर्थात परिणाम भिन्न हो सकते हैं)।

कदम

3 का भाग 1 : मैट्रिसेस की विभाज्यता का परीक्षण

1. 1 मैट्रिक्स के "विभाजन" को समझें। वास्तव में, मैट्रिक्स को विभाजित नहीं किया जा सकता है। "एक मैट्रिक्स को दूसरे से विभाजित करना" जैसी कोई गणितीय संक्रिया नहीं है। एक मैट्रिक्स को दूसरे मैट्रिक्स के व्युत्क्रम से गुणा करके डिवीजन को बदल दिया जाता है। अर्थात्, संकेतन [ए] [बी] सही नहीं है, इसलिए इसे निम्नलिखित संकेतन से बदल दिया जाता है: [ए] * [बी]। चूँकि दोनों प्रविष्टियाँ अदिश मानों के मामले में समान हैं, सैद्धांतिक रूप से हम मैट्रिक्स के "विभाजन" के बारे में बात कर सकते हैं, लेकिन सही शब्दावली का उपयोग करना अभी भी बेहतर है।
   • ध्यान दें कि [ए] * [बी] और [बी] * [ए] अलग-अलग ऑपरेशन हैं। सभी संभावित समाधान खोजने के लिए दोनों ऑपरेशन करना आवश्यक हो सकता है।
   • उदाहरण के लिए, के बजाय ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 13 & 26 39 और 13 end {pmatrix}} div { start {pmatrix} 7 & 4 2 और 3 end {pmatrix}}}$ लिखो ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     आपको गणना करनी पड़ सकती है ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { start {pmatrix} 13 & 26 39 और 13 end {pmatrix}} }$एक अलग परिणाम प्राप्त करने के लिए।
2. 2 सुनिश्चित करें कि जिस मैट्रिक्स से आप दूसरे मैट्रिक्स को "विभाजित" कर रहे हैं वह वर्गाकार है। एक मैट्रिक्स को उल्टा करने के लिए (एक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करें), यह वर्गाकार होना चाहिए, अर्थात समान पंक्तियों और स्तंभों के साथ। यदि उलटा मैट्रिक्स उलटा नहीं है, तो कोई निश्चित समाधान नहीं है।
   • फिर, मैट्रिसेस यहां "विभाज्य" नहीं हैं। ऑपरेशन [ए] * [बी] में, वर्णित स्थिति मैट्रिक्स [बी] को संदर्भित करती है। हमारे उदाहरण में, यह स्थिति मैट्रिक्स को संदर्भित करती है ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 7 और 4 2 और 3 अंत {pmatrix}}}$
   • एक मैट्रिक्स जिसे उलटा किया जा सकता है उसे गैर-पतित या नियमित कहा जाता है। एक मैट्रिक्स जिसे उलटा नहीं किया जा सकता है उसे पतित या एकवचन कहा जाता है।
3. 3 जांचें कि क्या दो मैट्रिक्स को गुणा किया जा सकता है। दो मैट्रिक्स को गुणा करने के लिए, पहले मैट्रिक्स में कॉलम की संख्या दूसरे मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। यदि प्रविष्टि [ए] * [बी] या [बी] * [ए] में यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो कोई समाधान नहीं है।
   • उदाहरण के लिए, यदि मैट्रिक्स का आकार [ए] 4 x 3 है और मैट्रिक्स का आकार [बी] 2 x 2 है, तो कोई समाधान नहीं है। आप [ए] * [बी] गुणा नहीं कर सकते क्योंकि ४ २, और आप गुणा नहीं कर सकते [बी] * [ए] क्योंकि २ ३।
   • ध्यान दें कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स [बी] में हमेशा मूल मैट्रिक्स [बी] के समान पंक्तियों और स्तंभों की संख्या होती है। यह जाँचने के लिए कि दो आव्यूहों को गुणा किया जा सकता है, प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करना आवश्यक नहीं है।
   • हमारे उदाहरण में, दोनों आव्यूहों का आकार 2 x 2 है, इसलिए उन्हें किसी भी क्रम में गुणा किया जा सकता है।
4. 4 2 × 2 मैट्रिक्स का सारणिक ज्ञात कीजिए। याद रखें: आप एक मैट्रिक्स को केवल तभी उल्टा कर सकते हैं जब उसका सारणिक शून्य न हो (अन्यथा, आप मैट्रिक्स को उल्टा नहीं कर सकते)। यहां 2 x 2 मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने का तरीका बताया गया है:
   • 2 एक्स 2 मैट्रिक्स: एक मैट्रिक्स का निर्धारक ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ विज्ञापन के बराबर है - बीसी। यही है, मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद से (ऊपरी बाएं और निचले दाएं कोनों से गुजरता है), दूसरे विकर्ण के तत्वों के उत्पादों को घटाएं (ऊपरी दाएं और निचले बाएं कोनों से गुजरता है)।
   • उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स का निर्धारक ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 7 और 4 2 और 3 अंत {pmatrix}}}$ (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13 के बराबर है। सारणिक गैर-शून्य है, इसलिए इस मैट्रिक्स को उलटा किया जा सकता है।
5. 5 बड़े मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। यदि मैट्रिक्स का आकार 3 x 3 या अधिक है, तो निर्धारक की गणना करना थोड़ा अधिक कठिन है।
   • 3 x 3 मैट्रिक्स: किसी भी आइटम का चयन करें और उस पंक्ति और कॉलम को काट दें जिसमें वह है।परिणामी 2 × 2 मैट्रिक्स के सारणिक का पता लगाएं, और फिर इसे चयनित तत्व से गुणा करें; एक विशेष तालिका में सारणिक का चिन्ह निर्दिष्ट करें। अन्य दो मदों के लिए इस प्रक्रिया को दोहराएं जो आपके द्वारा चयनित आइटम के समान पंक्ति या स्तंभ में हैं। फिर प्राप्त (तीन) सारणिकों का योग ज्ञात कीजिए। 3 x 3 मैट्रिक्स के सारणिक को कैसे खोजें, इस बारे में अधिक जानकारी के लिए इस लेख को पढ़ें।
   • बड़े मैट्रिसेस: ऐसे मैट्रिक्स के निर्धारक को रेखांकन कैलकुलेटर या सॉफ्टवेयर के साथ सबसे अच्छी तरह से खोजा जाता है। यह विधि 3 × 3 मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने की विधि के समान है, लेकिन इसे मैन्युअल रूप से लागू करना काफी कठिन है। उदाहरण के लिए, 4 x 4 मैट्रिक्स के सारणिक को खोजने के लिए, आपको चार 3 x 3 मैट्रिक्स के सारणिक खोजने होंगे।
6. 6 गणना जारी रखें। यदि मैट्रिक्स वर्गाकार नहीं है या यदि इसका निर्धारक शून्य के बराबर है, तो "कोई स्पष्ट समाधान नहीं" लिखें, अर्थात गणना प्रक्रिया पूरी हो गई है। यदि मैट्रिक्स वर्गाकार है और इसमें शून्येतर निर्धारक है, तो अगले भाग पर जाएं।

3 का भाग 2: व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना

1. 1 2 x 2 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के तत्वों को स्वैप करें। 2 × 2 मैट्रिक्स को देखते हुए, त्वरित उलटा विधि का उपयोग करें। सबसे पहले, ऊपरी-बाएँ तत्व और नीचे-दाएँ तत्व को स्वैप करें। उदाहरण के लिए:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 7 और 4 2 और 3 अंत {pmatrix}}}$ → ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 3 और 4 2 और 7 अंत {pmatrix}}}$
   • ध्यान दें: अधिकांश लोग कैलकुलेटर का उपयोग 3 x 3 (या बड़े) मैट्रिक्स को उलटने के लिए करते हैं। यदि आपको इसे मैन्युअल रूप से करने की आवश्यकता है, तो इस अनुभाग के अंत में जाएं।
2. 2 शेष दो तत्वों की अदला-बदली न करें, बल्कि उनका चिन्ह बदलें। अर्थात्, ऊपर-दाएँ तत्व और निचले-बाएँ तत्व को -1 से गुणा करें:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 3 और 4 2 और 7 अंत {pmatrix}}}$ → ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 सारणिक का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। इस मैट्रिक्स का निर्धारक पिछले खंड में पाया गया था, इसलिए हम इसकी फिर से गणना नहीं करेंगे। सारणिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जाता है: 1 / (निर्धारक):
   • हमारे उदाहरण में, सारणिक 13 है। विपरीत मान: ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {1} {13}}}$.
4. 4 परिणामी मैट्रिक्स को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करें। नए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा करें। अंतिम मैट्रिक्स मूल 2 x 2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होगा:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { frac {1} {13}} * { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} { frac {3} {13}} और { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} और { frac {7 } {13}} अंत {pmatrix}}}$
5. 5 जांचें कि गणना सही है। ऐसा करने के लिए, मूल मैट्रिक्स को इसके व्युत्क्रम से गुणा करें। यदि गणना सही है, तो व्युत्क्रम द्वारा मूल मैट्रिक्स का गुणनफल पहचान मैट्रिक्स देगा: ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$... यदि परीक्षण सफल रहा, तो अगले भाग पर आगे बढ़ें।
   • हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} { frac {3} {13}} और { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} और { frac {7 } {13}} अंत {pmatrix}} * { start {pmatrix} 7 & 4 2 और 3 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} 1 और 0 0 और 1 अंत {pmatrix}}}$.
   • आव्यूहों को गुणा करने के तरीके के बारे में अधिक जानकारी के लिए, इस लेख को पढ़ें।
   • नोट: आव्यूह गुणन का संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, अर्थात आव्यूहों का क्रम महत्वपूर्ण है। लेकिन जब मूल मैट्रिक्स को इसके व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है, तो कोई भी क्रम पहचान मैट्रिक्स की ओर जाता है।
6. 6 3 x 3 आव्यूह का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए (या बड़ा)। यदि आप पहले से ही इस प्रक्रिया से परिचित हैं, तो ग्राफिंग कैलकुलेटर या विशेष सॉफ्टवेयर का उपयोग करना बेहतर है। यदि आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स को मैन्युअल रूप से खोजने की आवश्यकता है, तो प्रक्रिया को संक्षेप में नीचे वर्णित किया गया है:
   • मूल मैट्रिक्स के दाईं ओर पहचान मैट्रिक्स I को मिलाएं। उदाहरण के लिए, [बी] → [बी | मैं]। पहचान मैट्रिक्स के लिए, मुख्य विकर्ण के सभी तत्व 1 के बराबर होते हैं, और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर होते हैं।
   • मैट्रिक्स को सरल बनाएं ताकि इसका बायां पक्ष चरणबद्ध हो जाए; सरलीकरण जारी रखें ताकि बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स बन जाए।
   • सरलीकरण के बाद, मैट्रिक्स निम्नलिखित रूप लेगा: [I | बी]। अर्थात् इसका दाहिना भाग मूल आव्यूह का व्युत्क्रम है।

3 का भाग 3: मैट्रिक्स गुणन

1. 1 दो संभावित भाव लिखिए। दो अदिशों को गुणा करने की क्रिया क्रमविनिमेय होती है, अर्थात् 2 x 6 = 6 x 2।मैट्रिक्स गुणन के मामले में ऐसा नहीं है, इसलिए आपको दो व्यंजकों को हल करना पड़ सकता है:
   • एक्स = [ए] * [बी] समीकरण का हल है एक्स[बी] = [ए]।
   • एक्स = [बी] * [ए] समीकरण का समाधान है [बी]एक्स = [ए]।
   • समीकरण के दोनों ओर प्रत्येक गणित संक्रिया करें। अगर [ए] = [सी] तो [बी] [ए] ≠ [सी] [बी] क्योंकि [बी] [ए] के बाईं ओर है लेकिन [सी] के दाईं ओर है।
2. 2 अंतिम मैट्रिक्स का आकार निर्धारित करें। अंतिम मैट्रिक्स का आकार गुणा किए गए मैट्रिक्स के आकार पर निर्भर करता है। अंतिम मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या पहले मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है, और अंतिम मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।
   • हमारे उदाहरण में, दोनों आव्यूहों का आकार ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 13 और 26 39 और 13 अंत {pmatrix}}}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} { frac {3} {13}} और { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} और { frac {7 } {13}} अंत {pmatrix}}}$ 2 x 2 है, इसलिए मूल मैट्रिक्स का आकार 2 x 2 होगा।
   • अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें: यदि मैट्रिक्स का आकार [ए] है 4 x ३, और मैट्रिक्स का आकार [बी] ३ x . है 3, तो अंतिम मैट्रिक्स [ए] * [बी] ४ x ३ होगा।
3. 3 पहले तत्व का मान ज्ञात कीजिए। इस लेख को पढ़ें या निम्नलिखित बुनियादी चरणों को याद रखें:
   • अंतिम मैट्रिक्स [ए] [बी] के पहले तत्व (पहली पंक्ति, पहला कॉलम) को खोजने के लिए, मैट्रिक्स [ए] की पहली पंक्ति के तत्वों और मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों के डॉट उत्पाद की गणना करें [बी] ]. 2 x 2 मैट्रिक्स के मामले में, डॉट उत्पाद की गणना निम्नानुसार की जाती है: ${ डिस्प्लेस्टाइल ए_ {1,1} * बी_ {1,1} + ए_ {1,2} * बी_ {2,1}}$.
   • हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} और { frac {-4} { 13}} { फ़्रेक {-2} {13}} और { फ़्रेक {7} {13}} अंत {pmatrix}}}$... इस प्रकार, अंतिम मैट्रिक्स का पहला तत्व तत्व होगा:
     ${ डिस्प्लेस्टाइल (13 * { फ्रैक {3} {13}}) + (26 * { फ्रैक {-2} {13}})}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल = 3 + -4}$
     ${ डिस्प्लेस्टाइल = -1}$
4. 4 अंतिम मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को खोजने के लिए डॉट उत्पादों की गणना जारी रखें। उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित तत्व मैट्रिक्स [ए] की दूसरी पंक्ति और मैट्रिक्स [बी] के पहले कॉलम के डॉट उत्पाद के बराबर है। शेष वस्तुओं को स्वयं खोजने का प्रयास करें। आपको निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करने चाहिए:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} { frac {3} {13}} और { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} और { frac {7} {13}} अंत {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 और 10 7 और -5 अंत {pmatrix}}}$
   • यदि आपको कोई अन्य समाधान खोजने की आवश्यकता है: ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} { frac {3} {13}} और { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} और { frac {7 } {13}} अंत {pmatrix}} * { start {pmatrix} 13 & 26 39 और 13 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -9 & 2 19 और 3 अंत {pmatrix}}}$

टिप्स

• मैट्रिक्स को एक अदिश में विभाजित किया जा सकता है; इसके लिए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को एक अदिश द्वारा विभाजित किया जाता है।
  • उदाहरण के लिए, यदि मैट्रिक्स ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 6 और 8 2 और 4 अंत {pmatrix}}}$ 2 से भाग देने पर आपको मैट्रिक्स मिलता है ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {pmatrix} 3 और 4 1 और 2 अंत {pmatrix}}}$

चेतावनी

• जब मैट्रिक्स गणनाओं की बात आती है तो कैलकुलेटर हमेशा बिल्कुल सटीक परिणाम नहीं देता है। उदाहरण के लिए, यदि कैलकुलेटर का दावा है कि आइटम एक बहुत छोटी संख्या (जैसे 2E) है, तो मान सबसे अधिक संभावना शून्य है।

अतिरिक्त लेख

मैट्रिसेस को कैसे गुणा करें 3x3 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें 3X3 मैट्रिक्स के सारणिक को कैसे खोजें द्विघात फलन का अधिकतम या न्यूनतम कैसे ज्ञात करें? आवृत्ति की गणना कैसे करें द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें मापने वाले टेप के बिना ऊंचाई कैसे मापें मैन्युअल रूप से किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें मिलीलीटर को ग्राम में कैसे बदलें बाइनरी से दशमलव में कैसे बदलें पाई मान की गणना कैसे करें दशमलव से बाइनरी में कैसे बदलें संभावना की गणना कैसे करें मिनटों को घंटों में कैसे बदलें