विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• 2 की विधि 1: मुख्य कारकों के साथ रूट पुलिंग
• 2 की विधि 2: कैलकुलेटर के बिना वर्गाकार जड़ों को खोजना
• लंबे विभाजन के साथ
• प्रक्रिया को समझें
• टिप्स
• चेतावनी

कैलकुलेटर के आगमन से पहले, छात्रों और प्रोफेसरों दोनों को कलम और कागज के साथ वर्गमूलों की गणना करनी थी। इस कठिन काम से निपटने के लिए समय पर विभिन्न तकनीकों का विकास किया गया, जिनमें से कुछ एक मोटा अनुमान देते हैं और अन्य सटीक मूल्य की गणना करते हैं। कुछ आसान चरणों में किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए आगे पढ़ें।

कदम बढ़ाने के लिए

2 की विधि 1: मुख्य कारकों के साथ रूट पुलिंग

1. अपनी संख्या को शक्ति कारकों में विभाजित करें। यह विधि किसी संख्या के वर्गमूल को ज्ञात करने के लिए संख्या के कारकों का उपयोग करती है (संख्या के आधार पर, यह सटीक उत्तर या अनुमान हो सकता है)। कारकों किसी विशेष संख्या को बनाने के लिए दिए गए संख्याओं के क्रम को एक साथ गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि 8 के कारक 2 और 4 के बराबर हैं क्योंकि 2 × 4 = 8. दूसरी तरफ परफेक्ट वर्ग, पूर्णांक हैं जो अन्य पूर्णांकों के उत्पाद हैं। उदाहरण के लिए, 25, 36, और 49 सही वर्ग हैं क्योंकि वे क्रमशः 5, 6 और 7 के बराबर हैं। दूसरा बिजली के कारक, जैसा कि आप समझ गए होंगे, ऐसे कारक हैं जो पूर्ण वर्ग भी हैं। मुख्य कारकों का उपयोग करके एक वर्गमूल को खोजने के लिए, पहले संख्या को उसके दूसरे शक्ति कारकों में विभाजित करने का प्रयास करें।
   • निम्नलिखित उदाहरण लें। हम 400 का वर्गमूल खोजने जा रहे हैं। शुरू करने के लिए, हम संख्या को शक्ति कारकों में विभाजित करते हैं। चूँकि 400 100 का गुणक है, हम जानते हैं कि यह समान रूप से 25 से विभाज्य है - एक पूर्ण वर्ग। क्विक रुट हमें बताता है कि 400/25 = 16.16 भी एक पूर्ण वर्ग होता है। तो 400 के घन कारक हैं २५ और १६ क्योंकि 25 × 16 = 400।
   • हम इसे इस प्रकार लिखते हैं: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. अपने दूसरे पावर फैक्टर के वर्गमूल लें। वर्गमूल के उत्पाद नियम में कहा गया है कि किसी भी संख्या के लिए ए तथा ख, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b)। इस गुण के कारण, हम अब वर्ग कारकों की वर्गमूल ले सकते हैं और उत्तर पाने के लिए उन्हें एक साथ गुणा कर सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हम 25 और 16 के वर्गमूल लेते हैं। नीचे देखें:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. यदि आपका नंबर पूरी तरह से फैक्ट नहीं किया जा सकता है, तो इसे सरल करें। वास्तव में, संख्याएँ जिन्हें आप निर्धारित करना चाहते हैं कि वर्गमूल अच्छी संख्या में अच्छे वर्ग नहीं होंगे, जैसे कि 400। इसके बजाय, आप पा सकते हैं सभी शक्ति कारकों का उपयोग करके, आप उत्तर को एक छोटे, आसान-उपयोग वाले वर्गमूल के रूप में निर्धारित कर सकते हैं। आप इसे शक्ति कारकों और अन्य कारकों के संयोजन को कम करके, और फिर इसे सरल बनाकर करते हैं।
   • हम एक उदाहरण के रूप में 147 का वर्गमूल लेते हैं। 147 दो पूर्ण वर्गों का उत्पाद नहीं है, इसलिए हमें एक अच्छा पूर्णांक मान नहीं मिल सकता है। लेकिन यह एक पूर्ण वर्ग और दूसरी संख्या का उत्पाद है - 49 और 3. हम इस जानकारी का उपयोग सबसे सरल शब्दों में अपना जवाब लिखने के लिए कर सकते हैं:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. यदि आवश्यक हो, तो सरलीकृत करें। सबसे सरल शब्दों में वर्गमूल का उपयोग करना, आमतौर पर शेष वर्ग जड़ों का अनुमान लगाकर और उन्हें गुणा करके उत्तर का मोटा अनुमान लगाना काफी आसान है। अपने अनुमानों को बेहतर बनाने का एक तरीका यह है कि आप अपने वर्गमूल में संख्या के दोनों ओर सही वर्ग खोजें। आप जानते हैं कि आपके वर्गमूल में संख्या का दशमलव मान इन दो नंबरों के बीच में है, इसलिए आपका अनुमान इन नंबरों के बीच भी होना चाहिए।
   • आइए अपने उदाहरण पर लौटते हैं। 2 = 4 और 1 = 1 के बाद से, हम जानते हैं कि Sqrt (3) 1 और 2 के बीच है - शायद 1 से 2 के करीब। हम अनुमान लगाते हैं कि 1.7। 7 × 1.7 = 11,9। यदि हम कैलकुलेटर के साथ इसकी जांच करते हैं, तो हम देखते हैं कि हम उत्तर के बहुत करीब हैं: 12,13.
     • यह बड़ी संख्या के लिए भी काम करता है। उदाहरण के लिए, sqrt (35) लगभग 5 और 6 के बीच है (शायद 6 के करीब)। 5 = 25 और 6 = 36.35 25 और 36 के बीच है, इसलिए वर्गमूल 5 और 6 के बीच होगा। चूँकि 35 36 के ठीक नीचे है, इसलिए हम कुछ विश्वास के साथ कह सकते हैं कि इसका वर्गमूल है केवल 6 से कम है। कैलकुलेटर के साथ जाँच करने पर हमें लगभग 5.92 का जवाब मिलता है - हम सही थे।
5. वैकल्पिक रूप से, पहले चरण के रूप में, आप संख्या को सरल बना सकते हैं आम एकाधिक. बिजली के कारकों की खोज करना आवश्यक नहीं है यदि आप आसानी से किसी संख्या के कारक देख सकते हैं (ऐसे कारक जो एक ही समय में अभाज्य संख्याएँ हैं)। संख्या को कम से कम सामान्य गुणकों के संदर्भ में लिखें। फिर अभाज्य संख्याओं के जोड़े के मिलान के लिए अपने कारकों के बीच खोजें। जब आपको दो प्रमुख कारक मिलते हैं, तो उन्हें वर्गमूल और स्थान से हटा दें ए वर्गमूल चिह्न के बाहर इन संख्याओं में से।
   • उदाहरण के लिए, हम इस पद्धति का उपयोग करके 45 का वर्गमूल निर्धारित करते हैं। हम जानते हैं कि ४५ = ९ × ५ और वह ९ = ३ × ३। इसलिए हम इस तरह से वर्गमूल लिख सकते हैं: Sqrt (३ × ३ × ५)। बस 3 को हटाएं और सरलीकृत वर्गमूल प्राप्त करने के लिए वर्गमूल के बाहर एक 3 रखें: (३) सकर्ट (५)। अब आप आसानी से एक अनुमान लगा सकते हैं।
   • एक अंतिम उदाहरण; हम 88 का वर्गमूल निर्धारित करते हैं:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11)। हम अपने वर्गमूल में कई 2 है। चूंकि 2 प्रमुख है, हम एक जोड़ी को निकाल सकते हैं और 2 को जड़ से बाहर रख सकते हैं।
     • = सरल शब्दों में हमारा वर्गमूल (2) Sqrt (2 × 11) या है (२) सकर्ट (२) सकर्ट (११)। अब हम Sqrt (2) और Sqrt (11) से संपर्क कर सकते हैं और एक अनुमानित उत्तर पा सकते हैं, यदि हम चाहते थे।

2 की विधि 2: कैलकुलेटर के बिना वर्गाकार जड़ों को खोजना

लंबे विभाजन के साथ

1. अपनी संख्या के अंकों को जोड़े में विभाजित करें। यह विधि लंबे विभाजन के समान है, जो आपको विभाजन को विभाजित करने की अनुमति देती है सटीक अंकों के आधार पर एक अंक का वर्गमूल। यद्यपि आवश्यक नहीं है, संख्या को व्यावहारिक टुकड़ों में तोड़ना आसान हल कर सकता है, खासकर यदि यह लंबा है। पहले एक ऊर्ध्वाधर रेखा को कार्य क्षेत्र को 2 क्षेत्रों में विभाजित करें, फिर दाईं ओर के शीर्ष के पास एक छोटी रेखा, इसे एक छोटे से शीर्ष भाग और एक बड़े हिस्से में विभाजित करें। फिर दशमलव बिंदु से शुरू करके संख्याओं को जोड़ियों की संख्याओं में विभाजित करें। इस नियम के तहत, 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82.47 89 70" बन जाता है। इस नंबर को टॉप लेफ्ट एरिया में लिखें।
   • एक उदाहरण के रूप में, चलो 780.14 के वर्गमूल की गणना करते हैं। ऊपर के रूप में अपने कार्य स्थान को विभाजित करें और ऊपरी बाएं कोने में "7 80, 14" लिखें। यह ठीक है अगर दो के बजाय दूर बाईं ओर केवल एक संख्या है। फिर आप सही क्षेत्र के शीर्ष पर उत्तर (780.14 का वर्गमूल) लिखें।
2. सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात कीजिए एन जिसका वर्ग बाएँ-सबसे अंकों या संख्या से कम या बराबर है। इस संख्या से कम या उसके बराबर का सबसे बड़ा वर्ग ज्ञात कीजिए, और फिर इस वर्ग का वर्गमूल ज्ञात कीजिए। यह संख्या है एन। उसको राइट राइट एरिया में लिखें और उस एरिया के बॉटम क्वाड्रंट में n का स्क्वायर लिखें।
   • हमारे उदाहरण में, बाएं-सबसे अधिक अंक संख्या है। 7. चूंकि हम जानते हैं कि 2 = 4, 7 3 = 9, हम कह सकते हैं कि n = 2 क्योंकि यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग 7 से कम या इसके बराबर है। शीर्ष दाएं चतुर्थांश में 2 लिखें। यह उत्तर का पहला अंक है। निचले दाएं चतुर्थांश में 4 (2 का वर्ग) लिखें। यह संख्या अगले चरण के लिए महत्वपूर्ण है।
3. आपके द्वारा गणना की गई संख्या को घटाएं सबसे बाईं ओर का अंक या संख्या। लंबे विभाजन के साथ, अगला चरण उस संख्या से वर्ग को घटाना है जो हमने गणना के लिए उपयोग किया था। इस संख्या को सबसे बाईं ओर लिखें और उन्हें घटाएं। जवाब नीचे लिखें।
   • हमारे उदाहरण में, हम 7 के नीचे एक 4 लिखते हैं और इसे घटाते हैं। यह देता है 3 जवाब में।
4. अगला नंबर नीचे ले जाएँ। पिछले एडिट में आपको जो वैल्यू मिली थी, उसके बगल में रखें। शीर्ष दाईं ओर संख्या दो से गुणा करें और इसे नीचे दाईं ओर लिखें। उस संख्या के बगल में स्थान छोड़ दें जिसे आपने अभी राशि के लिए लिखा है जो आप अगले चरण में करेंगे। यहाँ "_ × _ =" "लिखें।
   • हमारे उदाहरण में, अगला नंबर "80" है। बाएं चतुर्थांश में 3 के बगल में "80" लिखें। फिर शीर्ष दाईं ओर संख्या 2 से गुणा करें। यह संख्या 2 है, इसलिए 2 × 2 = 4. नीचे दाईं ओर "" 4 "" लिखें, उसके बाद _×_=.
5. दाईं ओर संख्या दर्ज करें। योग (रिक्त) के रिक्त स्थान में, सबसे बड़ा पूर्णांक दर्ज करें जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या के बराबर या उससे कम दाईं ओर गुणा योग का परिणाम देगा।
   • हमारे उदाहरण में, हम 8 दर्ज करते हैं, और यह 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 देता है। यह 380 से अधिक है। इसलिए 8 बहुत बड़ा है, लेकिन 7 शायद नहीं है। 7 भरें और हल करें: 4 (7) × 7 = 329. 7 अच्छा है क्योंकि 329 380 से कम है। शीर्ष दाईं ओर 7 लिखें। 780.14 के वर्गमूल में यह दूसरा अंक है।
6. बाईं ओर वर्तमान संख्या से आपके द्वारा गणना की गई संख्या को घटाएं। तो आप बाईं ओर वर्तमान उत्तर से दाईं ओर गुणा का परिणाम घटाते हैं। अपना उत्तर सीधे नीचे लिखें।
   • हमारे उदाहरण में, हम 329 को 380 से घटाते हैं, और यह देता है 51 परिणाम के रूप में।
7. चरण 4 को दोहराएं। संख्याओं के अगले जोड़े को 780.14 से नीचे ले जाएँ। जब आप अल्पविराम पर पहुंचें, तो दाईं ओर उत्तर में वह अल्पविराम लिखें। फिर शीर्ष दाएं संख्या को 2 से गुणा करें और ऊपर ("_ × _") के बगल में उत्तर लिखें।
   • हमारे जवाब में हम अब एक अल्पविराम लिखते हैं क्योंकि हम 780.14 में भी इसका सामना करते हैं। अगले जोड़े (14) को बाएँ वृत्त का चतुर्थ भाग में ले जाएँ। 27 x 2 = 54, इसलिए हम निचले दाएं चतुर्थांश में "54 _ × _ =" लिखते हैं।
8. चरण 5 और 6 दोहराएं। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो एक उत्तर देता है जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या से कम या बराबर है। हल करो।
   • हमारे उदाहरण में, 549 × 9 = 4941, जो बाईं ओर की संख्या (5114) से कम या बराबर है। 549 × 10 = 5490, जो बहुत अधिक है, इसलिए 9 हमारा उत्तर है। 9 को अगले शीर्ष दाएं नंबर के रूप में लिखें और बाईं संख्या से गुणा के परिणाम को घटाएं: 5114 -4941 = 173।
9. परिणाम को सटीक बनाने के लिए, पिछली प्रक्रिया को तब तक दोहराएं जब तक कि आपको दशमलव स्थानों की संख्या (सौवां, हज़ारवां हिस्सा) न मिल जाए।

प्रक्रिया को समझें

1. उस संख्या पर विचार करें जिसका वर्गमूल आप वर्ग के क्षेत्रफल S के रूप में गणना करना चाहते हैं। चूँकि एक वर्ग का क्षेत्रफल L है, जहाँ L उसके एक भुजा की लंबाई है, इसलिए आपकी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करके, आप उस वर्ग के पक्ष की लंबाई L की गणना करने का प्रयास करते हैं।
2. अपने उत्तर के प्रत्येक अंक को एक पत्र दें। चर को L के पहले अंक के रूप में दर्ज करें (जिस वर्गमूल को हम गणना करने का प्रयास कर रहे हैं)। बी दूसरा अंक है, सी तीसरा, और इसी तरह।
3. आपके द्वारा शुरू किए गए नंबर की प्रत्येक "जोड़ी की संख्या" के लिए एक पत्र दें। चर S दे_ए एस (प्रारंभिक मूल्य) में अंकों की पहली जोड़ी, एस।_ख अंकों की दूसरी जोड़ी के लिए, आदि।
4. इस पद्धति और लंबे विभाजन के बीच संबंध को समझें। एक वर्गमूल खोजने की यह विधि अनिवार्य रूप से एक लंबा विभाजन है, जहां आप इसके वर्गमूल द्वारा प्रारंभिक मान को विभाजित करते हैं और उत्तर के रूप में वर्गमूल को "देते हैं"। लंबे विभाजन के साथ, जहां आप एक समय में केवल अगले अंक में रुचि रखते हैं, आप केवल एक समय में अगले दो अंकों में रुचि रखते हैं (जो वर्गमूल के अगले अंक के अनुरूप हैं)।
5. वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग S से कम या उसके बराबर है।_ए है। हमारे उत्तर में पहला अंक A तो सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग S से अधिक नहीं है।_ए (ऐसा कि A A ≤ Sa (A + 1) ²)। हमारे उदाहरण में, एस_ए = 7, और 2 7 ≤ 7 3², इसलिए A = 2।
   • ध्यान दें कि यदि आप लंबे विभाजन का उपयोग करके 88962 को 7 से विभाजित करते हैं, तो पहला चरण बराबर होता है: आप पहले 88962 (8) के पहले अंक से निपटते हैं और आप चाहते हैं कि सबसे बड़ा अंक 7 से गुणा किया जाए जो कि 8 से कम या बराबर है। अनिवार्य रूप से आप निर्धारित घ ऐसे कि 7 × d 7 8 7 × (d + 1)। इस मामले में, d 1 के बराबर है।
6. उस क्षेत्र की कल्पना करें, जिसका आप क्षेत्र खोजना चाहते हैं। आपका उत्तर, प्रारंभिक मूल्य का वर्गमूल L है, जो क्षेत्रफल S (प्रारंभिक मूल्य) के साथ एक वर्ग की लंबाई का वर्णन करता है। A, B और C के मान L में अंकों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह कहने का एक और तरीका यह है कि 2 अंकों के उत्तर के लिए, 10A + B = L, और 3 अंकों के उत्तर के लिए, 100A + 10B + सी = एल, और इतने पर।
   • हमारे उदाहरण में (10A + B) ² = L = S = 100A 2 + 2 × 10A × B + B²। याद रखें कि 10A + B हमारे उत्तर L को इकाई स्थिति में B के साथ और दसियों स्थिति में A का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि A = 1 और B = 2 है, तो 10A + B संख्या 12 है। (10 ए + बी)) जबकि पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है 100A 100 सबसे बड़े आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल है, B² सबसे छोटा वर्ग और का क्षेत्रफल है 10 ए × बी शेष आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्र है। इस लंबी, जटिल प्रक्रिया के माध्यम से, हम वर्गों और आयतों के क्षेत्रों को जोड़कर पूरे वर्ग के क्षेत्र का पता लगा सकते हैं जो इसका हिस्सा हैं।
7. A से S घटाएं।_ए. संख्याओं की एक जोड़ी लाओ (एस।_ख) संख्या एस से नीचे।_ए एस_ख लगभग वर्ग का कुल क्षेत्रफल है, जहाँ से आपने सबसे बड़े आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल घटाया है। शेष है, कहते हैं, संख्या N1, जिसे हमने चरण 4 में प्राप्त किया था (हमारे उदाहरण में N1 = 380)। एन 1 2 × 10A × B + B the (2 आयतों का क्षेत्रफल और छोटे वर्ग का क्षेत्रफल) के बराबर होता है।
8. N1 = 2 × 10A × B + B also को देखें, जिसे N1 = (2 × 10A + B) × B भी लिखा जाता है। हमारे उदाहरण में, आप पहले से ही एन 1 (380) और ए (2) जानते हैं, इसलिए अब आपको बी खोजने की आवश्यकता है। B शायद पूर्णांक नहीं है, इसलिए आपको करना होगा वास्तव में सबसे बड़ा पूर्णांक B खोजें, जैसे कि (2 × 10A + B) × B। N1। तो अब आपके पास है: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1)।)
9. प्रश्न हल करें। इस समीकरण को हल करने के लिए, A को 2 से गुणा करें, इसे दस में स्थानांतरित करें (10 से गुणा करें), B को इकाइयों में रखें, और परिणाम को B से गुणा करें। दूसरे शब्दों में, (2 × 10A + B) × B. यह जब आप "N_ × _ =" (N = 2 × A के साथ) लिखते हैं, तो आप चरण 4 में निचले दाएं चतुर्थांश में लिखते हैं। चरण 5 में आप सबसे बड़ा पूर्णांक B निर्धारित करते हैं जो रेखा के नीचे फिट बैठता है, इसलिए (2 × 10A) + बी) × बी ≤ एन 1।
10. कुल क्षेत्रफल से क्षेत्रफल (2 × 10A + B) × B घटाएँ। यह क्षेत्र को S- (10A + B)-देता है जिसे आपने अभी तक ध्यान में नहीं लिया है (और आप निम्न संख्याओं की गणना उसी तरह करते हैं)।
11. अगले अंक C की गणना करने के लिए, प्रक्रिया को दोहराएं। एस डाउन (एस) से संख्याओं की अगली जोड़ी को स्थानांतरित करें_सी) बाईं ओर N2 पाने के लिए, और अब आपके पास सबसे बड़े C की तलाश करें: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C 2 N2 (दो-अंकीय संख्या के बराबर "AB" "_ × _ =" द्वारा अब यह निर्धारित करें कि आप सबसे बड़ी संख्या यहाँ दर्ज कर सकते हैं, जो आपको एक उत्तर देगा जो N2 से कम या बराबर है।

टिप्स

• अल्पविराम को दो स्थानों पर ले जाना (100 का एक कारक) एक स्थान (10 का एक कारक) द्वारा इसी वर्गमूल में अल्पविराम को स्थानांतरित करता है।
• उदाहरण में, 1.73 को "शेष" माना जा सकता है: 780.14 = 27.9 1. + 1.73।
• यह विधि किसी भी संख्या प्रणाली के लिए काम करती है, न कि केवल दशमलव (दशमलव) प्रणाली के लिए।
• मनचाही जगह पर गणना करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। कुछ लोग इसे उस संख्या के ऊपर लिखते हैं जिसे वे वर्गमूल की गणना करना चाहते हैं।
• एक वैकल्पिक विधि निम्नलिखित है: =z = x (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...)))। उदाहरण के लिए, 780.14 के वर्गमूल की गणना करने के लिए, पूर्णांक लें जिसका वर्ग 780.14 (28) के सबसे निकट है, इसलिए = 780.14, x = 28, और y = -3.86। भरने और आकलन करने से हमें x + y / (2x) मिलता है और इससे (सरलीकृत पद) 78207/2800 या लगभग 27.931 (1) मिलता है; निम्नलिखित पद, 4374188/156607 या लगभग 27.930986 (5)। प्रत्येक शब्द पिछले एक के लिए परिशुद्धता के लगभग 3 दशमलव स्थानों को जोड़ता है।

चेतावनी

• दशमलव बिंदु से संख्या को जोड़े में विभाजित करना सुनिश्चित करें। 79520789182.47897 को "79 52 07 89 18 के रूप में विभाजित करना 2,4 78 97 "एक गलत परिणाम देता है।