विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• विधि 1 की 4: विभाजित करने का प्रयास करें
• 4 की विधि 2: फ़र्मेट्स लिटिल प्रमेय का उपयोग करना
• विधि 3 की 4: मिलर-राबिन टेस्ट का उपयोग करना
• 4 की विधि 4: चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करना
• टिप्स
• नेसेसिटीज़

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल स्वयं से विभाज्य होती हैं और जिन्हें 1 - अन्य संख्याएँ कहा जाता है यौगिक संख्या। जब यह परीक्षण करने की बात आती है कि क्या कोई संख्या प्रमुख है, तो कई विकल्प हैं। इनमें से कुछ तरीके अपेक्षाकृत सरल हैं लेकिन बड़ी संख्या के लिए व्यावहारिक नहीं हैं। अन्य परीक्षण जो अक्सर उपयोग किए जाते हैं वे वास्तव में एक के आधार पर पूर्ण एल्गोरिदम हैं संभावना जो कभी-कभी गलती से किसी संख्या को प्रधान मानते हैं। यदि आप अभाज्य संख्या के साथ काम कर रहे हैं, तो अपने आप को परखने का तरीका जानने के लिए चरण 1 पर पढ़ें।

कदम बढ़ाने के लिए

विधि 1 की 4: विभाजित करने का प्रयास करें

विभाजित करने की कोशिश करना किसी संख्या को परखने का सबसे आसान तरीका है। छोटी संख्या के लिए यह आमतौर पर सबसे तेज़ तरीका है। परीक्षण एक अभाज्य संख्या की परिभाषा पर आधारित है: एक संख्या अभाज्य है यदि वह केवल और केवल 1 से विभाज्य है।

1. मान लीजिए एन वह संख्या है जिसे आप परीक्षण करना चाहते हैं। सभी संभव विभाज्य पूर्णांकों द्वारा संख्या n को विभाजित करें। N = 101 जैसी बड़ी संख्या के लिए, n से कम किसी भी पूर्णांक द्वारा विभाजित करना बेहद अव्यवहारिक है। सौभाग्य से, परीक्षण किए जाने वाले कारकों की संख्या को कम करने के लिए कई तरकीबें हैं।
2. अगर निर्धारित करें एन यहाँ तक की। सभी सम संख्याएँ पूरी तरह से विभाज्य हैं 2. इसलिए, यदि n सम है, तो आप कह सकते हैं कि n एक संयुक्त संख्या है (और इसलिए अभाज्य संख्या नहीं है)। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या समान है, आपको केवल अंतिम अंक पर ध्यान देना होगा। यदि अंतिम अंक 2, 4, 6, 8 या 0 है, तो संख्या सम है और अभाज्य नहीं है।
   • इस नियम का एकमात्र अपवाद स्वयं संख्या 2 है, जो, क्योंकि यह स्वयं और 1 से विभाज्य है, यह भी प्रमुख है। 2 केवल प्रधान भी है।
3. अंश एन 2 और n-1 के बीच किसी भी संख्या से। क्योंकि एक अभाज्य संख्या में स्वयं और 1 के अलावा कोई कारक नहीं होता है, और क्योंकि पूर्णांक कारक उनके उत्पाद से कम होते हैं, n से कम पूर्णांक की विभाज्यता की जाँच करना और 2 से अधिक यह निर्धारित करेगा कि क्या n अभाज्य है। हम 2 के बाद शुरू करते हैं, क्योंकि संख्याएँ (2 के गुणक) अभाज्य संख्याएँ नहीं हो सकती हैं। यह परीक्षण करने के लिए एक कुशल तरीके से बहुत दूर है, जैसा कि आप नीचे देखेंगे।
   • उदाहरण के लिए, यदि हम इस विधि का उपयोग करना चाहते हैं कि क्या यह परीक्षण करने के लिए कि 11 प्रधान है या नहीं, हम 11 को 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और 10 से विभाजित करेंगे, तो शेष के बिना पूर्णांक उत्तर की खोज करेंगे। चूंकि इनमें से कोई भी संख्या पूरी तरह से 11 में फिट नहीं है, इसलिए हम कह सकते हैं कि 11 एक है प्रमुख है.
4. समय बचाने के लिए, केवल sqrt तक का परीक्षण करें (एन), लिपटा हुआ। 2 और n-1 के बीच सभी नंबरों की जांच करके एक नंबर n का परीक्षण करना बहुत जल्दी कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम यह जाँचना चाहते हैं कि क्या इस विधि के साथ १०३ प्रमुख है, तो हमें ३, ४, ५, ६,, ... इत्यादि से विभाजित करना होगा, सभी १०२ तक! सौभाग्य से, इस तरह का परीक्षण करना आवश्यक नहीं है। व्यवहार में, केवल 2 और n के वर्गमूल के बीच के कारकों के लिए परीक्षण करना आवश्यक है। यदि n का वर्गमूल एक संख्या नहीं है, तो इसे निकटतम पूर्णांक पर गोल करें और इस संख्या पर परीक्षण करें। स्पष्टीकरण के लिए नीचे देखें:
   • 100 के कारकों की जांच करते हैं। 100 = 1 × 100, 2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10, 20 × 5, 25 × 4, 50 × 2 और 100 × 1. ध्यान दें कि 10 × 10 के बाद, कारक समान हैं यदि 10 × 10 के लिए, केवल तब फ़्लिप किया गया। सामान्य तौर पर, हम sqrt (n) से अधिक n के कारकों को अनदेखा कर सकते हैं क्योंकि वे sqrt (n) से कम कारकों का एक निरंतरता हैं।
   • आइए एक उदाहरण का प्रयास करें। यदि n = 37 है, तो हमें यह निर्धारित करने के लिए 3 से 36 तक सभी नंबरों का परीक्षण करने की आवश्यकता नहीं है कि क्या n अभाज्य है। इसके बजाय, हमें सिर्फ 2 और sqrt (37) (राउंड अप) के बीच की संख्या को देखना होगा।
     • sqrt (37) = 6.08 - हम इसे 7 तक चक्कर लगाने जा रहे हैं।
     • 37 3, 4, 5, 6 और 7 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है और इसलिए हम आत्मविश्वास से कह सकते हैं कि यह एक है अभाज्य संख्या है।
5. अधिक समय बचाने के लिए, हम केवल प्रमुख कारकों का उपयोग करते हैं। उन कारकों को सम्मिलित करके परीक्षण की प्रक्रिया को और भी कम करना संभव है, जो प्रमुख संख्याएँ नहीं हैं। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक मिश्रित संख्या को दो या अधिक अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः संख्या n को एक संयुक्त संख्या से विभाजित करना अनावश्यक है - यह कई बार अभाज्य संख्याओं के विभाजन के बराबर है। इसलिए, हम संभावित कारकों की सूची को sqrt (n) से कम केवल अभाज्य संख्याओं तक सीमित कर सकते हैं।
   • इसका मतलब यह है कि सभी कारक, साथ ही ऐसे कारक जो प्राइम संख्या के गुणक हैं, को छोड़ दिया जा सकता है।
   • उदाहरण के लिए, आइए यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि 103 प्राइम है या नहीं। 103 का वर्गमूल 11 है (गोलाकार)। 2 और 11 के बीच की प्रमुख संख्याएँ 3, 5, 7 और 11. 4, 6, 8 और 10 हैं और 9 भी 3 की एक संख्या है, एक अभाज्य संख्या है, इसलिए हम इसे छोड़ सकते हैं। ऐसा करके हमने संभावित कारकों की हमारी सूची को घटाकर सिर्फ 4 नंबर कर दिया है!
     • 103 या तो 3, 5, 7 या 11 तक पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, इसलिए हम अब जानते हैं कि 103 एक है अभाज्य संख्या है।

4 की विधि 2: फ़र्मेट्स लिटिल प्रमेय का उपयोग करना

1640 में, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट ने पहली बार एक प्रमेय (अब उनके नाम पर रखा गया) का प्रस्ताव रखा, जो यह निर्धारित करने में बहुत सहायक हो सकता है कि कोई संख्या प्रधान है या नहीं। तकनीकी रूप से, फ़र्मेट के परीक्षण का उद्देश्य यह सत्यापित करना है कि एक संख्या अभाज्य के बजाय समग्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि परीक्षण "पूर्ण निश्चितता" के साथ दिखा सकता है कि एक संख्या समग्र है, लेकिन केवल एक "संभावना" है कि एक संख्या प्रमुख है। फर्मेट की छोटी प्रमेय उन स्थितियों में उपयोगी है जहां विभाजित करने की कोशिश अव्यावहारिक है और जब उपलब्ध संख्याओं की एक सूची है जो प्रमेय के अपवाद हैं।

1. मान लीजिए एन संख्या परीक्षण के लिए है। आप इस परीक्षण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए करते हैं कि क्या कोई दी गई संख्या n अभाज्य है। हालांकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह प्रमेय कभी-कभी गलत तरीके से कुछ यौगिक को प्रमुख के रूप में चिह्नित कर सकता है। इसे ध्यान में रखना और अपने उत्तर की जांच करना महत्वपूर्ण है, जिसे नीचे समझाया गया है।
2. एक पूर्णांक चुनें ए 2 और के बीच एन-1 (समावेशी)। आपके द्वारा चुनी गई सटीक पूरी संख्या महत्वपूर्ण नहीं है। चूंकि शामिल 2 और एन -1 के लिए पैरामीटर, आप उनका उपयोग भी कर सकते हैं।
   • एक उदाहरण: 100 प्राइम है या नहीं। मान लीजिए हम लेते हैं 3 एक परीक्षण मूल्य के रूप में - यह 2 और n-1 के बीच है, इसलिए यह पर्याप्त है।
3. calculate ए (आधुनिक एन). इस अभिव्यक्ति को काम करने के लिए गणितीय प्रणाली के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है मॉड्यूलर गणित। मॉड्यूलर गणित में, संख्या एक निश्चित मूल्य तक पहुंचने पर शून्य पर लौटती है, जिसे भी कहा जाता है मापांक। आप इसे एक घड़ी की तरह सोच सकते हैं: अंततः घड़ी का हाथ 12 बजे के बाद 1 बजे वापस आएगा, 13 बजे तक नहीं। मापांक के रूप में नोट किया जाता है (मॉड एन) का है। तो इस चरण में आप n के मापांक के साथ गणना करते हैं।
   • एक और तरीका है एक गणना करने के लिए, फिर इसे n से विभाजित करें, फिर शेष को अपने उत्तर के रूप में उपयोग करें। बड़ी संख्याओं को विभाजित करते समय एक मापांक फ़ंक्शन वाले विशिष्ट कैलकुलेटर बहुत उपयोगी हो सकते हैं, क्योंकि वे तुरंत एक विभाजन के शेष की गणना कर सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में ऐसे कैलकुलेटर का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि 3/100 का शेष 1. है, इसलिए 3 (मॉड 100) है 1.
4. यदि हम इसे हाथ से गणना करते हैं, तो हम एक छोटे प्रारूप के रूप में घातांक का उपयोग करते हैं। यदि आपके पास मापांक फ़ंक्शन के साथ कैलकुलेटर नहीं है, तो शेष आसान का निर्धारण करने के लिए प्रक्रिया बनाने के लिए एक घातांक के साथ अंकन का उपयोग करें। निचे देखो:
   • हमारे उदाहरण में, हम 100 के मापांक के साथ 3 की गणना करते हैं। 3 एक बहुत, बहुत बड़ी संख्या है - 515,377,520,732,011,331,036,461,129,765,621,272,702,107,522,001 - इतनी बड़ी है कि इसके साथ काम करना बहुत मुश्किल हो जाता है। 3 के लिए 48 अंकों के उत्तर का उपयोग करने के बजाय, हम इसे एक घातांक के रूप में लिखते हैं, इसलिए (((((((3)*3))))*3))। याद रखें कि एक घातांक का घातांक लेने से घातांक ((x) = x) को गुणा करने का प्रभाव पड़ता है।
     • अब हम बाकी का निर्धारण कर सकते हैं। कोष्ठकों के आंतरिक सेट में ((((((((3) 3))))) * 3) को हल करके प्रारंभ करें और प्रत्येक चरण को 100 से विभाजित करते हुए अपना काम करें। एक बार जब हमें आराम मिल जाता है, तो हम वास्तविक उत्तर के बजाय अगले चरण के लिए इसका उपयोग करेंगे। निचे देखो:
       • ((((((((9) * 3)))) * 3) - 9/100 कोई शेष नहीं है, इसलिए हम जारी रख सकते हैं।
       • (((((((27)))) * 3) - 27/100 कोई शेष नहीं है, इसलिए हम आगे बढ़ सकते हैं।
       • ((((729))) * 3) - 729/100 = 7 आर 29। हमारा शेष 29 है। हम अगले चरण के साथ जारी रखते हैं, 729 नहीं।
       • ((((29=841)) * 3)) - 841/100 = 8 आर 41. हम अगले चरण में अपने शेष 41 का फिर से उपयोग करते हैं।
       • (((41 = 1681) * 3)) - 1681/100 = 16 आर 81। हम अगले चरण में अपने शेष 81 का उपयोग करते हैं।
       • ((81*3 = 243)) - 243/100 = 2 आर 43. हम अगले चरण में अपने शेष 43 का उपयोग करेंगे।
       • (43 = 1849) - 1849/100 = 18 आर 49. हम अगले चरण में अपने शेष 49 का उपयोग करेंगे।
       • 49 = 2401 - 2401/100 = 24 आर 1. हमारा अंतिम शेष है 1. दूसरे शब्दों में, 3 (मॉड 100) = 1. ध्यान दें कि यह वही उत्तर है जैसा कि हमने पिछले चरण में गणना की थी!
5. पता लगाओ तो ए (आधुनिक एन) = ए (आधुनिक एन). यदि नहीं, तो n यौगिक है। अगर सच है तो एन शायद, (लेकिन यकीन नहीं है) एक प्रमुख संख्या। कैन के लिए अलग-अलग मानों के साथ परीक्षण को दोहराने से परिणाम अधिक निश्चित हो सकते हैं, लेकिन दुर्लभ कंपोजिट संख्याएं हैं जो फ़र्मेट के प्रमेय को संतुष्ट करती हैं सब a। का मान। इन्हें कार्मिकेल संख्या कहा जाता है - इन संख्याओं में सबसे छोटी संख्या 561 है।
   • हमारे उदाहरण में, 3 (मॉड 100) = 1 और 3 (मॉड 100) = 3.1 so 3, इसलिए हम कह सकते हैं कि 100 एक संयुक्त संख्या है।
6. अपने परिणाम के बारे में सुनिश्चित करने के लिए कारमाइकल नंबर का उपयोग करें। आगे बढ़ने से पहले यह जानना कि कार्मिकेल श्रृंखला में कौन से नंबर मिलते हैं, इससे आपको इस बारे में बहुत चिंता हो सकती है कि कोई नंबर प्रमुख है या नहीं। सामान्य तौर पर, कारमाइकल नंबर व्यक्तिगत अभाज्य संख्याओं का उत्पाद है, जहाँ सभी अभाज्य संख्याओं के लिए यह माना जाता है कि यदि p n का विभाजक है, तो p-1 भी n-1 का भाजक है। कार्मिकेल नंबरों की ऑनलाइन सूची यह निर्धारित करने के लिए बहुत उपयोगी हो सकती है कि क्या फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का उपयोग करते हुए एक संख्या है।
   
   

विधि 3 की 4: मिलर-राबिन टेस्ट का उपयोग करना

मिलर-राबिन परीक्षण फ़र्मेट की छोटी प्रमेय की तरह ही काम करता है, लेकिन गैर-मानक संख्या जैसे कि कारमाइकल नंबर के साथ बेहतर व्यवहार करता है।

1. मान लीजिए एन एक विषम संख्या है जिसे हम मौलिकता के लिए परखना चाहते हैं। जैसा कि ऊपर दिए गए तरीकों में बताया गया है, n वह परिवर्तनशील है जिसके बारे में हम भविष्यवाणी करना चाहते हैं।
2. दबाव एन-1 में 2 × घ जिस पर घ अजीब है। यदि विषम है तो संख्या n अभाज्य है। तो n - 1 भी होना चाहिए। चूंकि n - 1 सम है, इसलिए इसे 2 गुना विषम संख्या की शक्ति के रूप में लिखा जा सकता है। तो, 4 = 2 × 1; 80 = 2 × 5; और इसी तरह।
   • मान लीजिए कि हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि n = 321 अभाज्य है या नहीं। 321 - 1 = 320, जिसे हम व्यक्त कर सकते हैं 2 × 5.
     • इस मामले में n = 321 एक उपयुक्त संख्या है। N = 371 के लिए n - 1 का निर्धारण d के लिए एक बड़े मान की आवश्यकता हो सकती है, जिससे पूरी प्रक्रिया बाद के चरण में अधिक कठिन हो जाती है। 371 - 1 = 370 = 2 × 185
3. कोई भी नंबर उठाओ ए 2 और के बीच एन-1. आपके द्वारा चुनी गई सटीक संख्या कोई मायने नहीं रखती है - बस यह कि यह n से कम और 1 से अधिक होनी चाहिए।
   • N = 321 के साथ हमारे उदाहरण में, हम a = चुनते हैं 100.
4. calculate ए (आधुनिक एन). अगर ए = 1 या -1 (mod) एन), फिर गुजरता है एन मिलर-राबिन परीक्षण और है शायद एक प्रमुख संख्या। फर्मेट के छोटे प्रमेय के साथ, यह परीक्षण पूर्णता के साथ निर्धारित नहीं कर सकता है कि किसी संख्या की प्रबलता है, लेकिन अतिरिक्त परीक्षणों की आवश्यकता है।
   • N = 321, (mod n) = 100 (mod 321) के साथ हमारे उदाहरण में। 100 = 10,000,000,000 (आधुनिक 321) = 313। हम एक विशेष कैलकुलेटर या शॉर्टहैंड विधि का उपयोग करते हैं, जिसमें एक घातांक होता है, शेष 100/321 को खोजने के लिए।
     • चूँकि हमने 1 या -1 प्राप्त नहीं किया है, हम निश्चितता के साथ यह नहीं कह सकते हैं कि n अभाज्य है। लेकिन अभी और भी बहुत कुछ करने की जरूरत है - पर पढ़ें।
5. चूंकि परिणाम 1 या -1 के बराबर नहीं है, गणना करें ए, ए, ... वगैरह-वगैरह तक एघ. D समय की शक्ति के लिए एक उठाया गणना, 2 तक। यदि इनमें से 1 या 1 के बराबर है (मॉड एन), फिर गुजरता है एन मिलर-राबिन परीक्षण और शायद प्रमुख है। यदि आपने निर्धारित किया है कि n परीक्षा पास करता है, तो अपना उत्तर देखें (नीचे दिया गया चरण देखें)। यदि n इनमें से किसी भी परीक्षण में विफल रहता है, तो यह एक है बना संख्या।
   • एक अनुस्मारक के रूप में, हमारे उदाहरण में, a का मान 100 है, s का मान 6 है, और d 5 है। हम नीचे दिखाए गए परीक्षण जारी रखते हैं:
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (मॉड 321) = 64.64 ≠’ 1 या -1। शांति से चलते रहें।
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (मॉड 321) = 244.244 ≠ 1 या -1।
     • इस बिंदु पर हम रुक सकते हैं। s - 1 = 6 - 1 = 5. अब हम 4d = 2 पर पहुंच गए हैं, और 5d से नीचे 2 गुना d की कोई शक्तियां नहीं हैं। चूंकि हमारी किसी भी गणना ने 1 या -1 का उत्तर नहीं दिया, इसलिए हम कह सकते हैं कि n = 321 एक बना वह संख्या है।
6. अगर एन मिलर-राबिन परीक्षण पास करता है, के अन्य मूल्यों के लिए दोहराता है ए. यदि आपने पाया है कि n का मान प्रधान हो सकता है, तो परीक्षण के परिणाम की पुष्टि करने के लिए एक अलग, यादृच्छिक मान के साथ फिर से प्रयास करें। यदि n वास्तव में अभाज्य है, तो यह किसी भी मान के लिए सही होगा। यदि n एक संयुक्त संख्या है, तो यह a के तीन-चौथाई मूल्यों के लिए विफल हो जाएगा। यह आपको Fermat की स्मॉल थ्योरम की तुलना में अधिक निश्चितता प्रदान करता है, जहां कुछ निश्चित है। संयुक्त संख्या (कारमाइकल नंबर) किसी भी मान के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करता है।

4 की विधि 4: चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करना

1. दो नंबर चुनें। संख्याओं में से एक अभाज्य नहीं है और दूसरी वह संख्या है जिसे परिमाण के लिए परखा जा रहा है।
   • "टेस्ट नंबर 1" = 35
   • टेस्ट नंबर 2 = 97
2. क्रमशः दो डेटा अंक शून्य से अधिक और TestNumber1 और TestNumber2 से कम चुनें। वे एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते।
   • डेटा 1 = 1
   • डेटा 2 = 2
3. टेस्ट नंबर 1 और टेस्ट नंबर 2 के लिए MMI (गणितीय गुणात्मक व्युत्क्रम) की गणना करें
   • MMI की गणना करें
     • MMI1 = टेस्ट नंबर 2 ^ -1 मॉड टेस्ट नंबर 1
     • MMI2 = टेस्ट नंबर 1 ^ -1 मॉड टेस्ट नंबर 2
   • केवल प्रमुख संख्याओं के लिए (गैर-अभाज्य संख्याओं के लिए एक परिणाम होगा, लेकिन यह MMI नहीं है):
     • MMI1 = (TestNumber2 ^ (TestNumber1-2))% TestNumber1
     • MMI2 = (TestNumber1 ^ (TestNumber-2))% TestNumber2
   • इसलिए:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. मापांक के Log2 तक प्रत्येक MMI के लिए एक बाइनरी टेबल बनाएं
   • MMI1 के लिए
     • एफ (1) = टेस्ट नंबर 2% टेस्ट नंबर 1 = 97% 35 = 27
     • एफ (2) = एफ (1) * एफ (1)% टेस्ट नंबर 1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% टेस्ट नंबर 1 = 29 * 29% 35 = 1
     • एफ (8) = एफ (4) * एफ (4)% टेस्ट नंबर 1 = 1 * 1% 35 = 1
     • एफ (16) = एफ (8) * एफ (8)% टेस्ट नंबर 1 = 1 * 1% 35 = 1
     • एफ (32) = एफ (16) * एफ (16)% टेस्ट नंबर 1 = 1 * 1% 35 = 1
   • TestNumber1 - 2 के द्विआधारी लघुगणक की गणना करें
     • 35 -2 = 33 (10001) आधार 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 मॉड 35
     • MMI1 = 27
   • MMI2 के लिए
     • एफ (1) = टेस्ट नंबर 1% टेस्ट नंबर 2 = 35% 97 = 35
     • एफ (2) = एफ (1) * एफ (1)% टेस्ट नंबर 2 = 35 * 35 मॉड 97 = 61
     • एफ (4) = एफ (2) * एफ (2)% टेस्ट नंबर 2 = 61 * 61 मॉड 97 = 35
     • एफ (8) = एफ (4) * एफ (4)% टेस्ट नंबर 2 = 35 * 35 मॉड 97 = 61
     • एफ (16) = एफ (8) * एफ (8)% टेस्ट नंबर 2 = 61 * 61 मॉड 97 = 35
     • एफ (32) = एफ (16) * एफ (16)% टेस्ट नंबर 2 = 35 * 35 मॉड 97 = 61
     • एफ (64) = एफ (32) * एफ (32)% टेस्ट नंबर 2 = 61 * 61 मॉड 97 = 35
     • एफ (128) = एफ (64) * एफ (64)% टेस्ट नंबर 2 = 35 * 35 मॉड 97 = 61
   • TestNumber2 - 2 के द्विआधारी लघुगणक की गणना करें
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) आधार 2
     • MMI2 = ((((((((एफ (64)% * 97)% * * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = (((((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. गणना करें (Data1 * TestNumber2 * MMI1 + Data2 * TestNumber1 * MMI2)% (TestNumber1 * TestNumber)
   • उत्तर = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • उत्तर = (2619 + 4270)% 3395
   • उत्तर = 99
6. जांचें कि "TestNumber1" प्राइम 1 नहीं है
   • गणना (उत्तर - Data1)% टेस्ट नंबर 1
   • 99 -1 % 35 = 28
   • चूंकि 28 0 से अधिक है, 35 प्रधान नहीं है
7. जांचें कि क्या TestNumber2 प्राइम है
   • गणना करें (उत्तर - डेटा 2)% टेस्ट नंबर 2
   • 99 - 2 % 97 = 0
   • चूँकि 0 0 के बराबर है, 97 एक संभावित अभाज्य संख्या है
8. चरण 1 से 7 को कम से कम दो बार दोहराएं।
   • यदि चरण 7 बराबर 0:
     • यदि TestNumber1 प्राइम नहीं है, तो एक अलग "TestNumber1" का उपयोग करें।
     • एक अन्य TestNumber1 का उपयोग करें जहां एक TestNumber1 वास्तव में प्रमुख है। इस मामले में, चरण 6 और 7 0 के बराबर हैं।
     • Data1 और data2 के लिए विभिन्न डेटा बिंदुओं का उपयोग करें।
   • यदि चरण 7 हमेशा 0 के बराबर है, तो संभावना है कि नंबर 2 एक अभाज्य संख्या है, बहुत अधिक है।
   • 7 के माध्यम से चरण 1 को कुछ मामलों में गलत माना जाता है जब पहला नंबर प्रमुख नहीं होता है और दूसरा गैर-अभाज्य संख्या "टेस्ट नंबर 1" का एक प्रमुख कारक है। यह सभी परिदृश्यों में काम करता है जहाँ दोनों संख्याएँ प्रधान हैं।
   • 7 के माध्यम से चरण 1 को दोहराया जाता है क्योंकि कुछ परिदृश्य हैं जहां, भले ही TestNumber1 अभाज्य नहीं है और TestNumber2 अभाज्य नहीं है, या तो चरण 7 से संख्या अभी भी शून्य है। ये स्थितियां दुर्लभ हैं। TestNumber1 को किसी अन्य नॉन-प्राइम नंबर में बदलकर, यदि TestNumber2 प्राइम नहीं है, तो TestNumber2 अब शून्य के बराबर नहीं होगा, चरण 7 में। "TestNumber1" के अलावा जहां TestNumber2 का एक कारक है, प्राइम नंबर हमेशा शून्य होंगे। चरण 7।

टिप्स

• १००० के अंतर्गत १६ are अभाज्य संख्याएँ हैं: २, ३, ५,,, ११, १३, १ ९, १ ९, २३, २ ९, ३ ९, ३ 1000, ४१, ४१, ४ 1000, ५३, ५ 61, ६ 61, ६ 1000, 1000१, 1000 1000, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 199 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 353, 353। 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 503। 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 797, 809, 811, 823, 823, 827, 829, 829, 839, 839, 839 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 977, 983, 991, 997
• जब विभाजित करने की कोशिश अधिक परिष्कृत तरीकों की तुलना में धीमी है, तो यह अभी भी छोटी संख्या के लिए कुशल है। यहां तक ​​कि बड़ी संख्याओं का परीक्षण करते समय, अधिक उन्नत तरीकों पर स्विच करने से पहले छोटी संख्याओं की जांच करना असामान्य नहीं है।

नेसेसिटीज़

• कागज, कलम, पेंसिल और / या बाहर काम करने के लिए कैलकुलेटर