विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• भाग 1 का 3: विश्लेषण की मूल बातें
• भाग 2 का 3: व्युत्पन्न समझें
• 3 का भाग 3: इंटीग्रल को समझें
• टिप्स

विश्लेषण (जिसे कैलकुलस भी कहा जाता है) गणित की एक शाखा है जो सीमा, कार्य, व्युत्पत्ति, अभिन्न और अनंत श्रृंखला पर केंद्रित है। यह विषय गणित का एक बड़ा हिस्सा है, और भौतिकी और यांत्रिकी में उपयोग किए जाने वाले कई सूत्रों और समीकरणों को रेखांकित करता है। आपको विश्लेषण को ठीक से समझने के लिए हाई स्कूल में गणित के कई साल होने की संभावना होगी, लेकिन यह लेख आपको मुख्य अवधारणाओं को समझने के लिए सीखने के साथ-साथ सिद्धांत की बेहतर समझ के लिए शुरू करेगा।

कदम बढ़ाने के लिए

भाग 1 का 3: विश्लेषण की मूल बातें

1. विश्लेषण इस बात का अध्ययन है कि चीजें कैसे बदलती हैं। विश्लेषण गणित की एक शाखा है जो संख्या और ग्राफ़ की जांच करता है, आमतौर पर वास्तविक दुनिया के डेटा से लिया जाता है, और यह बताता है कि वे कैसे बदलते हैं। हालांकि यह पहली बार में बहुत उपयोगी नहीं लग सकता है, लेकिन विश्लेषण गणित की सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली शाखाओं में से एक है। किसी भी समय आपके व्यवसाय में कितनी तेजी से वृद्धि हो रही है, या किसी अंतरिक्ष यान के पाठ्यक्रम का चार्ट कैसे बनाया जा सकता है, और कितनी जल्दी इसके ईंधन का उपयोग किया जा रहा है, यह बताने के लिए उपकरण होने की कल्पना करें। विश्लेषण इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, रसायन विज्ञान और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, और कई आविष्कारों और खोजों में योगदान दिया है।
2. फ़ंक्शंस दो नंबरों के बीच के रिश्ते हैं और रिश्तों की मैपिंग के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे संख्याओं के बीच संबंध के नियम हैं, और गणितज्ञ उनका उपयोग ग्राफ बनाने के लिए करते हैं। एक फ़ंक्शन में, प्रत्येक इनपुट का एक परिणाम होता है। उदाहरण के लिए: में ${# डिस्प्लेस्टाइल y = 2x + ४,}$अनंत की अवधारणा के बारे में सोचो। अनंत एक प्रक्रिया की निरंतर पुनरावृत्ति है। यह एक विशिष्ट स्थान नहीं है (आप अनंत तक नहीं जा सकते हैं), बल्कि एक संख्या या समीकरण का व्यवहार, यदि हमेशा के लिए किया जाता है। परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए यह महत्वपूर्ण है: आप यह जानना चाह सकते हैं कि किसी भी समय आपकी कार कितनी तेजी से आगे बढ़ रही है, लेकिन क्या यह है कि आपकी कार वर्तमान सेकंड के दौरान कितनी तेजी से आगे बढ़ रही है? मिलीसेकंड? नैनोसेकंड? आप असीम रूप से छोटे समय के चक्रों को और अधिक सटीक होने के लिए पा सकते हैं, और जब विश्लेषण आता है।
3. सीमाओं की अवधारणा को समझें। एक सीमा आपको बताती है कि क्या होता है जब कुछ अनंत तक पहुंचता है। नंबर 1 को लें और इसे 2 से विभाजित करें। 2 से अधिक बार विभाजित करें। 1 1/2 हो जाता है और फिर 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, आदि हर बार संख्या छोटी और छोटी हो जाती है, "शून्य के करीब"। लेकिन यह कहां रुकता है? शून्य प्राप्त करने के लिए आपको कितनी बार 1 को 2 से भाग देना है? इस सवाल का जवाब देने के बजाय, विश्लेषण में आप एक सेट करें सीमा इस मामले में, सीमा है।
   • एक ग्राफ में सीमाएं कल्पना करना सबसे आसान है - उदाहरण के लिए, क्या ऐसे बिंदु हैं जो एक ग्राफ लगभग छूता है, लेकिन कभी नहीं?
   • सीमा संख्या, अनंत या कोई भी नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, इसके अलावा अनुक्रम 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... और यह अनिश्चित काल तक जारी रहता है, अंतिम संख्या असीम रूप से बड़ी हो जाती है। सीमा तो अनंत हो जाती है।
4. बीजगणित, त्रिकोणमिति और गणित की मूल बातों की आवश्यक गणित अवधारणाओं की समीक्षा करें। विश्लेषण आप पहले सीखा गणित के बहुत पर निर्भर करता है। सभी विषयों के बारे में अच्छी तरह से जानकारी होने के कारण विश्लेषण सीखना और समझना बहुत आसान हो जाता है। ब्रश करने के लिए कुछ विषय हैं:
   • बीजगणित। आपको विभिन्न प्रक्रियाओं को समझने और समीकरणों और कई चर वाले समीकरणों के सिस्टम को हल करने में सक्षम होना चाहिए। संग्रह की मूल बातें समझें। रेखांकन बनाने का अभ्यास करें।
   • ज्यामिति। ज्यामिति आकृतियों का अध्ययन है। आपको त्रिभुजों, आयतों और हलकों का मूल ज्ञान होना चाहिए और परिधि और क्षेत्र जैसी चीजों की गणना कैसे करनी चाहिए। कोणों, रेखाओं और निर्देशांक को समझें
   • त्रिकोणमिति। त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो वृत्त और दायें त्रिकोण के गुणों से संबंधित है। त्रिकोणमितीय पहचान, ग्राफ़, फ़ंक्शन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग करना जानते हैं।
5. एक रेखांकन कैलकुलेटर खरीद। विश्लेषण यह समझना आसान नहीं है कि आप क्या कर रहे हैं बिना देखे। रेखांकन कैलकुलेटर फ़ंक्शंस को दृश्य बनाते हैं ताकि आप बेहतर तरीके से समझ सकें कि आप किस समीकरण से निपट रहे हैं। अक्सर सीमाएं स्क्रीन पर भी प्रदर्शित होती हैं, और डेरिवेटिव और फ़ंक्शन स्वचालित रूप से गणना करते हैं।
   • कई स्मार्टफ़ोन और टैबलेट्स आज सस्ते लेकिन प्रभावी ग्राफिंग ऐप पेश करते हैं यदि आप नहीं चाहते हैं या एक रेखांकन कैलकुलेटर नहीं खरीद सकते हैं।

भाग 2 का 3: व्युत्पन्न समझें

1. विश्लेषण का उपयोग "एक विशिष्ट क्षण में परिवर्तन" का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। यह जानना कि एक सटीक क्षण में कुछ परिवर्तन क्यों विश्लेषण का मूल है। उदाहरण के लिए, विश्लेषण आपको न केवल एक कार की गति देता है, बल्कि यह भी है कि किसी भी समय यह गति कितनी बदल जाती है। यह विश्लेषण के सबसे सरल उपयोगों में से एक है, लेकिन बहुत महत्वपूर्ण है। कल्पना कीजिए कि चंद्रमा को स्पेसशिप मिलने में लगने वाली गति को निर्धारित करने में ऐसी जानकारी कितनी महत्वपूर्ण है!
   • किसी विशेष समय में परिवर्तन का निर्धारण करना है अंतर। विभेदीकरण विश्लेषण की दो प्रमुख शाखाओं में से पहला है।
2. किसी समय में चीजें कैसे बदलती हैं, इसे समझने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करें। एक "व्युत्पन्न" एक अच्छी बात है जो अक्सर छात्रों को परेशान करती है। हालांकि, अवधारणा ही समझने में कठिन नहीं है - इसका मतलब है "कितनी जल्दी कुछ बदलता है।" रोज़मर्रा की ज़िंदगी में जो डेरिवेटिव आपके सामने होंगे, उनका गति के साथ क्या करना है। हालांकि, आप आमतौर पर इसे "गति का व्युत्पन्न" नहीं कहते हैं, लेकिन बस "त्वरण"।
   • त्वरण एक व्युत्पन्न है - यह आपको बताता है कि कोई चीज कितनी तेजी से बढ़ रही है या धीमी हो रही है, या उसकी गति कैसे बदल रही है।
3. जान लें कि परिवर्तन की दर दो बिंदुओं के बीच ढलान के बराबर है। यह विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण खोजों में से एक है। दो बिंदुओं के बीच परिवर्तन की दर उन दो बिंदुओं के बीच की रेखा के ढलान के बराबर है। बस एक साधारण रेखा के बारे में सोचें, जैसे कि समीकरण ${# प्रदर्शनशास्त्र y = 3x।$पता है कि आप घुमावदार लाइनों के ढलान को निर्धारित कर सकते हैं। एक सीधी रेखा का ढलान निर्धारित करना अपेक्षाकृत आसान है: कितना परिवर्तन ${[डिस्प्लेस्टाइल y}$यदि आप परिवर्तन को अधिक सटीक रूप से गणना करना चाहते हैं, तो सुनिश्चित करें कि अंक एक दूसरे के करीब हैं। आप दोनों बिंदुओं को जितना करीब से चुनेंगे, आपका उत्तर उतना ही सटीक होगा। मान लीजिए आप जानना चाहते हैं कि एक्सीलेटर दबाने पर आपकी कार कितनी तेजी से आगे बढ़ती है। आप अपने घर और सुपरमार्केट के बीच गति में बदलाव को मापना नहीं चाहते हैं, लेकिन जिस क्षण आप त्वरक को हिट करते हैं, उस गति में परिवर्तन। आपकी रीडिंग जितनी करीब से विभाजित होती है, आपके परिवर्तन की गणना उतनी ही सटीक होती है।
   • उदाहरण के लिए, वैज्ञानिक जांच कर रहे हैं कि उन्हें बचाने के लिए कुछ प्रजातियां कितनी जल्दी विलुप्त हो जाती हैं। हालांकि, सर्दियों में गर्मियों की तुलना में अधिक जानवरों की मृत्यु हो जाती है, इसलिए पूरे वर्ष में परिवर्तन की दर का अध्ययन करना उपयोगी नहीं है - एक छोटी अवधि के भीतर परिवर्तन की दर निर्धारित करना बेहतर है, जैसे कि 1 जुलाई से 1 अगस्त तक।
4. "परिवर्तन की तात्कालिक दर" निर्धारित करने के लिए असीम रूप से छोटी लाइनों का उपयोग करें या व्युत्पन्न खोजें। यह वह जगह है जहां विश्लेषण अक्सर थोड़ा भ्रमित हो जाता है, लेकिन यह वास्तव में दो सरल तथ्यों का परिणाम है। सबसे पहले, आप जानते हैं कि एक रेखा का ढलान उस रेखा के कितनी तेजी से बदलता है। दूसरा, आप जानते हैं कि रेखा के बिंदु एक-दूसरे के जितने करीब होंगे, पठन उतना ही सटीक होगा। लेकिन यदि आप ढलान दो बिंदुओं के बीच संबंध रखते हैं, तो आप किसी बिंदु पर परिवर्तन की दर कैसे पा सकते हैं? उत्तर: आप दो बिंदु चुनते हैं जो असीम रूप से एक दूसरे के करीब हैं.
   • उदाहरण पर विचार करें जहां आप 1 को 2 से विभाजित करते हैं, इस प्रकार 1/2, 1/4, 1/8, आदि प्राप्त करते हैं। तो अंत में आप शून्य के करीब आते हैं, और जवाब "लगभग शून्य" है। बिंदु एक-दूसरे के इतने करीब हैं कि वे "एक-दूसरे के लगभग बराबर" हैं। यह व्युत्पत्ति की प्रकृति है।
5. विभिन्न व्युत्पन्न निर्धारित करने का तरीका जानें। समीकरण के आधार पर व्युत्पन्न खोजने के लिए विभिन्न तकनीकों का एक टन है, लेकिन उनमें से अधिकांश समझ में आता है यदि आपने उपरोक्त व्युत्पत्ति की मूल बातें याद की हैं। सभी व्युत्पन्न "इन्फिनिटिसिमल" लाइन के ढलान को खोजने का एक तरीका है। अब जब आप व्युत्पन्न सिद्धांत के बारे में अधिक जानते हैं, तो अधिकांश काम उत्तर खोजने में है।
6. किसी भी समय परिवर्तन की दर की भविष्यवाणी करने के लिए व्युत्पन्न समीकरणों का पता लगाएं। किसी भी समय परिवर्तन की दर निर्धारित करने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करना उपयोगी है, लेकिन विश्लेषण की सुंदरता यह है कि आप किसी भी फ़ंक्शन के लिए एक नया मॉडल बना सकते हैं। का व्युत्पन्न ${[डिस्प्लेस्टाइल y = x ^ {2},}$यदि आपको यह समझना मुश्किल लगता है, तो डेरिवेटिव के वास्तविक जीवन के उदाहरणों को याद रखने की कोशिश करें। सबसे सरल उदाहरण गति पर आधारित है, जिसमें बहुत सारे अलग-अलग डेरिवेटिव शामिल हैं जो हम हर दिन मुठभेड़ करते हैं। मत भूलो: व्युत्पन्न एक उपाय है कि कितनी जल्दी कुछ बदलता है। एक साधारण प्रयोग के बारे में सोचो। आप एक मेज पर एक संगमरमर को रोल करते हैं और मापते हैं कि यह कितनी दूर और कितनी तेजी से हर बार चलता है। अब कल्पना करें कि रोलिंग मार्बल एक ग्राफ पर एक पंक्ति का अनुसरण करता है - आप उस रेखा पर किसी भी समय तात्कालिक परिवर्तनों को मापने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग कर रहे हैं।
   • संगमरमर कितनी तेजी से चलता है? गतिमान मार्बल की स्थिति (या व्युत्पन्न) किस गति से बदलती है? हम इस व्युत्पन्न को "गति" कहते हैं।
   • एक ढलान के साथ संगमरमर को रोल करें और देखें कि गति कैसे बदलती है। संगमरमर की गति में परिवर्तन की दर या व्युत्पन्न क्या है? इस व्युत्पत्ति को हम "त्वरण" कहते हैं।
   • एक रोलर कोस्टर जैसे लहरदार ट्रैक के साथ संगमरमर को रोल करें। जब यह लुढ़कता है, तो संगमरमर किस गति से बढ़ता है, और संगमरमर किस हद तक ढलान को धीमा कर देता है? पहली पहाड़ी से आधी दूरी पर संगमरमर कितनी तेजी से जाता है? यह एक विशिष्ट बिंदु पर उस संगमरमर के परिवर्तन की तात्कालिक दर है, या व्युत्पन्न है।

3 का भाग 3: इंटीग्रल को समझें

1. पता है कि आप जटिल क्षेत्रों और संस्करणों को खोजने के लिए विश्लेषण का उपयोग कर सकते हैं। विश्लेषण के साथ आप जटिल आकृतियों को माप सकते हैं जो अन्यथा मापना मुश्किल है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, वह समस्या जिसे आप जानना चाहते हैं कि एक लंबी, अनियमित आकार की झील में कितना पानी होता है - हर लीटर पानी को अलग से मापना या झील के आकार को मापने के लिए एक शासक का उपयोग करना असंभव है। विश्लेषण से आप यह अध्ययन कर सकते हैं कि झील के किनारे कैसे बदल रहे हैं और फिर उस जानकारी का उपयोग करके यह पता लगाएं कि इसमें कितना पानी है।
   • ज्यामितीय मॉडल बनाना और वॉल्यूम का अध्ययन एकीकृत। एकीकृत कैलकुलस विश्लेषण की दूसरी महत्वपूर्ण शाखा है।
2. पता है कि एकीकरण एक ग्राफ के नीचे का क्षेत्र है। एकीकरण का उपयोग रेखा के नीचे स्थान को मापने के लिए किया जाता है, जो आपको अजीब या अनियमित आकृतियों के क्षेत्र को निर्धारित करने की अनुमति देता है। समीकरण को लें ${[डिस्प्लेस्टाइल y = 4-x ^ {2},}$पता है कि आपको एकीकृत करने के लिए एक क्षेत्र का चयन करना होगा। आप बस एक संपूर्ण फ़ंक्शन को एकीकृत नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, ${[डिस्प्लेस्टाइल y = x}$एक आयत के क्षेत्र की गणना कैसे करें, इसके बारे में सोचें। मान लीजिए कि आपके पास ग्राफ़ के ऊपर एक सपाट रेखा है, जैसे कि ${[डिस्प्लेस्टाइल y = 4.}$पता है कि अभिन्न कलन में एक क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए बहुत सारी छोटी आयतों को एक साथ जोड़ा जाता है। जब आप किसी वक्र को बहुत बढ़ाते हैं, तो यह एक सीधी रेखा प्रतीत होती है। आप इसे हर दिन देखते हैं - आप पृथ्वी की वक्रता का अनुभव नहीं कर सकते क्योंकि आप पृथ्वी की सतह के बहुत करीब हैं। एकीकरण एक वक्र के नीचे छोटे आयतों की अनंत संख्या बनाता है जो इतने छोटे होते हैं कि वे मूल रूप से सपाट होते हैं, जिससे आप उन्हें गिन सकते हैं। एक साथ जोड़े गए ये सभी आयत एक वक्र के तहत क्षेत्र के क्षेत्र का निर्माण करते हैं।
   • मान लीजिए कि आप ग्राफ़ के नीचे कई छोटे खंड जोड़ते हैं, और यह प्रत्येक खंड की चौड़ाई है लगभग शून्य है।
3. इंटीग्रल्स को सही तरीके से पढ़ना और लिखना जानते हैं। अभिन्न 4 भागों से मिलकर बनता है। एक विशिष्ट अभिन्न अंग इस तरह दिखता है:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ अभिन्न खोजने के बारे में अधिक जानें. एकीकरण कई रूपों में आता है, और आपको प्रत्येक फ़ंक्शन को एकीकृत करने के लिए कई अलग-अलग सूत्र सीखना होगा। हालांकि, वे सभी ऊपर उल्लिखित सिद्धांतों का पालन करते हैं: एकीकरण एक अनंत संख्या में चीजों का योग है।
   • प्रतिस्थापन द्वारा एकीकृत।
   • अनिश्चित अभिन्न गणना करें।
   • साझा करके एकीकृत करें।
4. पता है कि एकीकरण भेदभाव का उल्टा है और इसके विपरीत। यह विश्लेषण के अंगूठे का एक नियम है जो इतना महत्वपूर्ण है कि इसे अपना नाम दिया गया है: इंटीग्रल गणना के प्रधान सिद्धांत।चूंकि एकीकरण और भेदभाव बहुत निकटता से संबंधित हैं, दोनों का एक संयोजन परिवर्तन, त्वरण, गति, स्थान, आंदोलन, आदि की दर निर्धारित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, भले ही आपके पास क्या जानकारी हो।
   • उदाहरण के लिए, याद रखें कि गति का व्युत्पन्न त्वरण है, इसलिए आप त्वरण को खोजने के लिए गति का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन अगर आप केवल किसी चीज के त्वरण को जानते हैं (जैसे कि गुरुत्वाकर्षण के कारण गिरने वाली वस्तुएं), तो आप फिर से गति हासिल कर सकते हैं!
5. पता है कि एकीकरण के साथ आप 3 डी वस्तुओं की मात्रा को भी नियंत्रित कर सकते हैं। समतल आकृति को घुमाते हुए 3D ठोस बनाने का एक तरीका है। मेज पर एक सिक्के की कताई की कल्पना करें - ध्यान दें कि सिक्का कैसे घूमता है, यह एक गोला के रूप में प्रतीत होता है। यह अवधारणा आपको "रोटेशन द्वारा मात्रा" नामक एक प्रक्रिया के अनुसार मात्रा निर्धारित करने की अनुमति देती है।
   • यह आपको किसी भी ठोस की मात्रा निर्धारित करने की अनुमति देता है, जब तक कि आपके पास एक फ़ंक्शन है जो इसे दर्शाता है। उदाहरण के लिए, आप एक ऐसा फंक्शन बना सकते हैं जो एक झील के तल को ट्रैक करता हो और फिर झील की मात्रा निर्धारित करने के लिए या कितना पानी होता है, इसका उपयोग करते हैं।

टिप्स

• अभ्यास सही बनाता है, इसलिए अपनी पाठ्यपुस्तक में अभ्यास अभ्यास करें - यहां तक ​​कि आपके शिक्षक ने भी नहीं दिया है - और अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने में आपकी सहायता करने के लिए अपने उत्तरों की जांच करें।
• यदि आपको कोई समाधान नहीं मिल रहा है, तो अपने शिक्षक से पूछें।