विषय

• कदम
• विधि 1 का 2: दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु
• विधि २ का २: द्विघात कार्यों के साथ समस्या
• टिप्स

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाएं निर्देशांक (x, y) द्वारा निर्दिष्ट केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूंकि दोनों रेखाएं अपने प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती हैं, निर्देशांक (x, y) को इन रेखाओं का वर्णन करने वाले दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए।कुछ अतिरिक्त कौशल के साथ, आप परवलय और अन्य द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पा सकते हैं।

कदम

विधि 1 का 2: दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

1. 1 समीकरण के बाईं ओर y चर को अलग करके प्रत्येक पंक्ति के लिए समीकरण लिखिए। समीकरण के अन्य पदों को समीकरण के दाईं ओर रखा जाना चाहिए। शायद "y" के बजाय आपको दिए गए समीकरण में चर f (x) या g (x) होगा; इस मामले में, ऐसे चर को अलग करें। एक चर को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों ओर उपयुक्त गणित करें।
   • यदि आपको सरल रेखाओं के समीकरण नहीं दिए गए हैं, तो उन्हें आपके द्वारा ज्ञात जानकारी के आधार पर खोजें।
   • उदाहरण... समीकरणों द्वारा वर्णित सीधी रेखाएँ दी गई हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 3}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y-12 = -2x}$... दूसरे समीकरण में y को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों में 12 जोड़ें: ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-2x}$
2. 2 प्रत्येक समीकरण के दायीं ओर के व्यंजकों की बराबरी करें। हमारा कार्य दोनों सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना है, अर्थात वह बिंदु जिसके निर्देशांक (x, y) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। चूंकि चर "y" प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थित है, इसलिए प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर स्थित व्यंजकों को समान किया जा सकता है। नया समीकरण लिखिए।
   • उदाहरण... जैसा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 3}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-2x}$, तो आप निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: ${ डिस्प्लेस्टाइल x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 चर "x" का मान ज्ञात कीजिए. नए समीकरण में केवल एक चर "x" है। "X" को खोजने के लिए, इस चर को समीकरण के बाईं ओर समीकरण के दोनों किनारों पर उपयुक्त गणित करके अलग करें। आपको x = __ के रूप का एक समीकरण प्राप्त करना चाहिए (यदि यह संभव नहीं है, तो इस खंड के अंत तक जाएं)।
   • उदाहरण. ${ डिस्प्लेस्टाइल x + 3 = 12-2x}$
   • जोड़ें ${ डिस्प्लेस्टाइल 2x}$ समीकरण के प्रत्येक पक्ष के लिए:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x + 3 = 12}$
   • समीकरण के प्रत्येक पक्ष से 3 घटाएं:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x = 9}$
   • समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 3 से विभाजित करें:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल x = 3}$.
4. 4 चर "y" के मान की गणना करने के लिए चर "x" के पाए गए मान का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, समीकरण (किसी भी) सीधी रेखा में पाए गए मान "x" को प्रतिस्थापित करें।
   • उदाहरण. ${ डिस्प्लेस्टाइल x = 3}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 3}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = ३ + ३}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 6}$
5. 5 अपना उत्तर जाँच लें। ऐसा करने के लिए, लाइन के दूसरे समीकरण में मान "x" को प्रतिस्थापित करें और मान "y" खोजें। यदि आपको अलग-अलग y मान मिलते हैं, तो जांच लें कि आपकी गणना सही है।
   • उदाहरण:${ डिस्प्लेस्टाइल x = 3}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-2x}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = 12-2 (3)}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-6}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 6}$
   • हमें "y" के लिए समान मान मिला है, इसलिए हमारी गणना में कोई त्रुटि नहीं है।
6. 6 निर्देशांक (x, y) लिखिए। "x" और "y" के मानों की गणना करके, आपने दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक पाए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांकों को (x, y) के रूप में लिखिए।
   • उदाहरण. ${ डिस्प्लेस्टाइल x = 3}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 6}$
   • इस प्रकार, दो रेखाएँ निर्देशांक (3,6) वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
7. 7 विशेष मामलों में गणना। कुछ मामलों में, चर "x" का मान नहीं मिल सकता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि आपने गलती की है। एक विशेष मामला तब होता है जब निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
   • यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। इस मामले में, चर "x" बस रद्द कर दिया जाएगा, और समीकरण एक अर्थहीन समानता में बदल जाएगा (उदाहरण के लिए, ${ डिस्प्लेस्टाइल 0 = 1}$) ऐसी स्थिति में अपने उत्तर में लिखिए कि सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं या कोई हल नहीं.
   • यदि दोनों समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करते हैं, तो अनंत प्रतिच्छेदन बिंदु होंगे। इस मामले में, चर "x" बस रद्द कर दिया जाएगा, और समीकरण सख्त समानता में बदल जाएगा (उदाहरण के लिए, ${ डिस्प्लेस्टाइल ३ = ३}$) ऐसी स्थिति में अपने उत्तर में लिखिए कि दो सीधी रेखाएं मिलती हैं.

विधि २ का २: द्विघात कार्यों के साथ समस्या

1. 1 द्विघात फलन की परिभाषा। द्विघात फलन में, एक या अधिक चरों की दूसरी डिग्री (लेकिन अधिक नहीं) होती है, उदाहरण के लिए, ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$ या ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई ^ {2}}$... द्विघात फलन प्लॉट ऐसे वक्र होते हैं जो एक या दो बिंदुओं पर नहीं या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। इस भाग में, हम आपको दिखाएंगे कि द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु या बिंदु कैसे ज्ञात करें।
   • यदि समीकरण में कोष्ठकों में व्यंजक शामिल है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए कोष्ठकों का विस्तार करें कि फलन द्विघात है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = (एक्स + 3) (एक्स)}$ द्विघात है, क्योंकि कोष्ठकों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x ^ {2} + 3x।}$
   • सर्कल का वर्णन करने वाले फ़ंक्शन में दोनों शामिल हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई ^ {2}}$... यदि आपको इस फ़ंक्शन के साथ समस्याओं को हल करने में कोई समस्या है, तो "टिप्स" अनुभाग पर जाएं।
2. 2 समीकरण के बाईं ओर y चर को अलग करके प्रत्येक समीकरण को फिर से लिखें। समीकरण के अन्य पदों को समीकरण के दाईं ओर रखा जाना चाहिए।
   • उदाहरण... ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के बिंदु (ओं) को खोजें ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 2x-y = -1}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 7}$
   • समीकरण के बाईं ओर y चर को इन्सुलेट करें:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x ^ {2} + 2x + 1}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 7}$.
   • इस उदाहरण में, आपको एक द्विघात फलन और एक रैखिक फलन दिया गया है। याद रखें कि यदि आपको दो द्विघात फलन दिए गए हैं, तो परिकलन नीचे दिए गए चरणों के समान हैं।
3. 3 प्रत्येक समीकरण के दायीं ओर के व्यंजकों की बराबरी करें। चूंकि चर "y" प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थित है, इसलिए प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर स्थित व्यंजकों को समान किया जा सकता है।
   • उदाहरण. ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x ^ {2} + 2x + 1}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 7}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 परिणामी समीकरण के सभी पदों को इसके बाईं ओर स्थानांतरित करें, और दाईं ओर 0 लिखें। ऐसा करने के लिए, बुनियादी गणित संचालन करें। यह आपको परिणामी समीकरण को हल करने की अनुमति देगा।
   • उदाहरण. ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • समीकरण के दोनों पक्षों से "x" घटाएं:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • समीकरण के दोनों पक्षों से 7 घटाएँ:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 द्विघात समीकरण को हल करें. समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर, आपको द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इसे तीन तरीकों से हल किया जा सकता है: एक विशेष सूत्र का उपयोग करके, एक पूर्ण वर्ग का पूरक, और समीकरण का गुणन।
   • उदाहरण. ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • एक समीकरण को फ़ैक्टर करते समय, आपको दो द्विपद मिलते हैं जिन्हें आप मूल समीकरण प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं। हमारे उदाहरण में, पहला पद ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$ x * x में विस्तारित किया जा सकता है। निम्नलिखित प्रविष्टि करें: (x) (x) = 0
   • हमारे उदाहरण में, मुक्त पद -6 को निम्नलिखित कारकों में विस्तारित किया जा सकता है: ${ डिस्प्लेस्टाइल -6 * 1}$, ${ डिस्प्लेस्टाइल -3 * 2}$, ${ डिस्प्लेस्टाइल -2 * 3}$, ${ डिस्प्लेस्टाइल -1 * 6}$.
   • हमारे उदाहरण में, दूसरा पद x (या 1x) है। इंटरसेप्ट फैक्टर की प्रत्येक जोड़ी जोड़ें (हमारे उदाहरण -6) में जब तक आपको 1 नहीं मिल जाता है। हमारे उदाहरण में, इंटरसेप्ट फैक्टर की उपयुक्त जोड़ी -2 और 3 है (${ डिस्प्लेस्टाइल -2 * 3 = -6}$), जैसा ${ डिस्प्लेस्टाइल -2 + 3 = 1}$.
   • प्राप्त संख्याओं के युग्म से रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए : ${ डिस्प्लेस्टाइल (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 दो रेखांकन के दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में मत भूलना। जल्दी में, आप दूसरे चौराहे के बिंदु के बारे में भूल सकते हैं। यहाँ दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x-निर्देशांक ज्ञात करने का तरीका बताया गया है:
   • उदाहरण (कारक)... यदि समीकरण में ${ डिस्प्लेस्टाइल (x-2) (x + 3) = 0}$ कोष्ठकों में से एक व्यंजक 0 के बराबर होगा, तो पूरा समीकरण 0 के बराबर होगा। इसलिए, आप इसे इस तरह लिख सकते हैं: ${ डिस्प्लेस्टाइल x-2 = 0}$ → ${ डिस्प्लेस्टाइल x = 2}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल x + 3 = 0}$ → ${ डिस्प्लेस्टाइल x = -3}$ (अर्थात, आपको समीकरण के दो मूल मिले)।
   • उदाहरण (एक सूत्र या पूर्ण वर्ग के पूरक का उपयोग करके)... इन विधियों में से किसी एक का उपयोग करते समय, वर्गमूल समाधान प्रक्रिया में दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण से समीकरण का रूप लेगा ${ डिस्प्लेस्टाइल x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... याद रखें, जब आप वर्गमूल लेते हैं तो आपको दो समाधान मिलते हैं। हमारे मामले में: ${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {25}} = 5 * 5}$, तथा${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... इसलिए दो समीकरण लिखिए और दो x मान ज्ञात कीजिए।
7. 7 रेखांकन एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं या बिल्कुल भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसी स्थितियां तब होती हैं जब निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
   • यदि ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो द्विघात समीकरण समान कारकों में विघटित हो जाता है, उदाहरण के लिए, (x-1) (x-1) = 0, और 0 का वर्गमूल सूत्र में प्रकट होता है (${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {0}}}$) इस मामले में, समीकरण का केवल एक ही हल है।
   • यदि ग्राफ़ बिल्कुल भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो समीकरण कारकों में विघटित नहीं होता है, और एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल सूत्र में दिखाई देता है (उदाहरण के लिए, ${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {-2}}}$) ऐसी स्थिति में उत्तर में लिखिए कि कोई हल नहीं.
8. 8 वक्र के समीकरण (कोई भी) में चर "x" का पाया गया मान रखें। यह y चर का मान ज्ञात करेगा। यदि आपके पास चर "x" के लिए दो मान हैं, तो "x" के दोनों मानों के साथ वर्णित प्रक्रिया का पालन करें।
   • उदाहरण... आपको चर "x" के लिए दो मान मिले: ${ डिस्प्लेस्टाइल x = 2}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल x = -3}$... इनमें से प्रत्येक मान को एक रैखिक समीकरण में प्लग करें ${ डिस्प्लेस्टाइल y = x + 7}$... आपको मिलेगा : ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 2 + 7 = 9}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांकों को (x, y) के रूप में लिखिए। x और y मानों की गणना करके, आपने दो ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कर लिए हैं। यदि आपने दो मानों "x" और "y" की पहचान की है, तो संबंधित मानों "x" और "y" को भ्रमित किए बिना निर्देशांक के दो जोड़े लिखें।
   • उदाहरण... जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल x = 2}$ आपको मिलेगा ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 9}$, यानी निर्देशांक की एक जोड़ी (2, 9)... दूसरे x-मान के साथ समान गणना करने पर, आपको निर्देशांक की दूसरी जोड़ी मिल जाएगी (-3, 4).

टिप्स

• सर्कल का वर्णन करने वाले फ़ंक्शन में दोनों शामिल हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई ^ {2}}$... एक वृत्त और एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु (ओं) को खोजने के लिए, एक रैखिक समीकरण का उपयोग करके "x" की गणना करें। फिर पाए गए x मान को उस फ़ंक्शन में प्लग करें जो सर्कल का वर्णन करता है, और आपको एक साधारण द्विघात समीकरण मिलता है जिसका समाधान नहीं हो सकता है या एक या दो समाधान हो सकते हैं।
• एक वृत्त और एक वक्र (द्विघात या अन्यथा) एक, दो, तीन, चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद या प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं। इस मामले में, आपको x ("x" नहीं) का मान ज्ञात करना होगा, और फिर इसे दूसरे फ़ंक्शन में स्थानापन्न करना होगा। y की गणना करके, आपको एक या दो समाधान मिलते हैं, या कोई समाधान नहीं मिलता है। अब पाए गए मान "y" को दो कार्यों में से एक में प्लग करें और "x" मान खोजें। इस मामले में, आपको एक या दो समाधान मिलेंगे, या कोई समाधान नहीं मिलेगा।