विषय

• कदम
• विधि 1 का 3 : एक समीकरण का गुणनखंड करना
• विधि 2 का 3: द्विघात सूत्र का उपयोग करना
• विधि 3 में से 3: वर्ग को पूरा करना
• टिप्स

द्विघात समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक चर की सबसे बड़ी घात 2 है। द्विघात समीकरणों को हल करने के तीन मुख्य तरीके हैं: यदि संभव हो, तो द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें, द्विघात सूत्र का उपयोग करें, या वर्ग को पूरा करें। क्या आप जानना चाहते हैं कि यह सब कैसे किया जाता है? पढ़ते रहिये।

कदम

विधि 1 का 3 : एक समीकरण का गुणनखंड करना

1. 1 सभी समान तत्वों को जोड़ें और उन्हें समीकरण के एक तरफ स्थानांतरित करें। यह पहला कदम होगा, अर्थ ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$ इस मामले में, यह सकारात्मक रहना चाहिए। सभी मान जोड़ें या घटाएं ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$, ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ और स्थिर, सब कुछ एक भाग में स्थानांतरित करना और दूसरे में 0 छोड़ना। यहाँ यह कैसे करना है:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 अभिव्यक्ति का कारक। ऐसा करने के लिए, आपको मूल्यों का उपयोग करने की आवश्यकता है ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$ (३) स्थिर मान (-४), उन्हें गुणा किया जाना चाहिए और फॉर्म -11। यहाँ यह कैसे करना है:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x ^ {2}}$ केवल दो संभावित कारक हैं: ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$इसलिए उन्हें कोष्ठक में लिखा जा सकता है: ${ डिस्प्लेस्टाइल (3x अपराह्न?) (x अपराह्न?) = 0}$.
   • इसके बाद, 4 के गुणनखंडों को प्रतिस्थापित करने पर, हम वह संयोजन पाते हैं, जिसे गुणा करने पर -11x प्राप्त होता है। आप 4 और 1, या 2 और 2 के संयोजन का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि दोनों 4 देते हैं। याद रखें कि मान ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि हमारे पास -4 है।
   • परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से, आपको संयोजन मिलता है ${ डिस्प्लेस्टाइल (3x + 1) (x-4)}$... गुणा करने पर, हमें मिलता है ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x ^ {2} -12x + x-4}$... जोड़कर ${ डिस्प्लेस्टाइल -12x}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$, हमें मध्य पद मिलता है ${ डिस्प्लेस्टाइल -11x}$जिसे हम ढूंढ रहे थे। द्विघात समीकरण गुणनखंडित है।
   • उदाहरण के लिए, आइए एक अनुपयुक्त संयोजन का प्रयास करें: (${ डिस्प्लेस्टाइल (3x-2) (x + 2)}$ = ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... संयोजन, हमें मिलता है ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x ^ {2} -4x-4}$... हालांकि गुणनखंड -2 और 2 गुणा -4 से, मध्य पद काम नहीं करता, क्योंकि हम प्राप्त करना चाहते थे ${ डिस्प्लेस्टाइल -11x}$, लेकिन नहीं ${ डिस्प्लेस्टाइल -4x}$.
3. 3 कोष्ठकों में प्रत्येक व्यंजक को शून्य (अलग-अलग समीकरणों के रूप में) के बराबर करें। इस प्रकार हमें दो अर्थ मिलते हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$जिसके लिए पूरा समीकरण शून्य के बराबर है, ${ डिस्प्लेस्टाइल (3x + 1) (x-4)}$ = 0. अब यह कोष्ठकों में प्रत्येक व्यंजक को शून्य के बराबर करना बाकी है। क्यों? मुद्दा यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। जैसा ${ डिस्प्लेस्टाइल (3x + 1) (x-4)}$ शून्य है, तो या तो (3x + 1) या (x - 4) शून्य है। लिखो ${ डिस्प्लेस्टाइल 3x + 1 = 0}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल x-4 = 0}$.
4. 4 प्रत्येक समीकरण को अलग-अलग हल करें। द्विघात समीकरण में x के दो अर्थ होते हैं। समीकरणों को हल करें और x मान लिखें:
   • समीकरण को हल करें 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... घटाकर
     • 3x / 3 = -1/3 ..... विभाजित करके
     • x = -1/3 ..... सरलीकरण के बाद
   • समीकरण को हल करें x - 4 = 0
     • x = 4 ..... घटाकर
   • x = (-1/3, 4) ..... संभावित मान, यानी x = -1/3 या x = 4।
5. 5 इस मान को (3x + 1) (x - 4) = 0 में प्लग करके x = -1/3 की जाँच करें:
   • (३ [-१/३] + १) ([- १/३] - ४)? =? 0 ..... प्रतिस्थापन द्वारा
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0..... सरलीकरण के बाद
   • (०) (- ४ १/३) = ० ..... गुणन के बाद
   • 0 = 0, तो x = -1/3 सही उत्तर है।
6. 6 इस मान को (3x + 1) (x - 4) = 0 में प्लग करके x = 4 की जाँच करें:
   • (३ [४] + १) ([४] - ४)? =? 0 ..... प्रतिस्थापन द्वारा
   • (१३) (४ - ४)? =? 0..... सरलीकरण के बाद
   • (१३) (०) = ०...... गुणा के बाद
   • 0 = 0, इसलिए x = 4 सही उत्तर है।
   • इस प्रकार, दोनों समाधान सही हैं।

विधि 2 का 3: द्विघात सूत्र का उपयोग करना

1. 1 सभी पदों को मिलाएं और समीकरण के एक तरफ लिख दें। मूल्य सहेजें ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$ सकारात्मक। पदों को घटते अंशों के क्रम में लिखिए, इस प्रकार पद ${ डिस्प्लेस्टाइल x ^ {2}}$ पहले लिखा, फिर ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ और फिर एक स्थिरांक:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र लिखिए। सूत्र इस तरह दिखता है: ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {-बी अपराह्न { sqrt {बी ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 द्विघात समीकरण में a, b और c के मान ज्ञात कीजिए। चर ए x पद का गुणांक है, बी - सदस्य एक्स, सी - लगातार। समीकरण 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, और c = -8 के लिए। नीचे लिखें।
4. 4 समीकरण में a, b, और c के मानों को प्लग इन करें। तीन चर के मूल्यों को जानने के बाद, आप उन्हें समीकरण में निम्नानुसार जोड़ सकते हैं:
   • {-बी +/- (बी - 4एसी)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 इसे गिनें। मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, पेशेवरों और विपक्षों को सरल बनाएं, और शेष शर्तों को गुणा या वर्ग करें:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 वर्गमूल को सरल कीजिए। यदि वर्गमूल एक वर्ग है, तो आपको एक पूर्णांक प्राप्त होता है। यदि नहीं, तो इसे सरलतम मूल मान में सरल करें। यदि संख्या ऋणात्मक है, और आप सुनिश्चित हैं कि यह नकारात्मक होना चाहिए, तो जड़ें जटिल होंगी। इस उदाहरण में √ (121) = 11. आप लिख सकते हैं कि x = (5 +/- 11)/6.
7. 7 सकारात्मक और नकारात्मक समाधान खोजें। यदि आपने वर्गमूल का चिन्ह हटा दिया है, तो आप तब तक जारी रख सकते हैं जब तक आपको सकारात्मक और नकारात्मक x मान नहीं मिल जाते। (5 +/- 11)/6 होने पर आप लिख सकते हैं:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 सकारात्मक और नकारात्मक मान खोजें। बस गिनें:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 सरल करें। ऐसा करने के लिए, बस दोनों को सबसे बड़े सामान्य कारक से विभाजित करें। पहली भिन्न को 2 से, दूसरे को 6 से भाग देने पर x मिलता है।
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • एक्स = (-1, 8/3)

विधि 3 में से 3: वर्ग को पूरा करना

1. 1 सभी पदों को समीकरण के एक तरफ ले जाएँ।ए या x धनात्मक होना चाहिए। यह इस प्रकार किया जाता है:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • इस समीकरण में ए: 2, बी: -12,सी: -9.
2. 2 स्थानांतरण सदस्य सी (स्थायी) दूसरी तरफ। एक स्थिरांक एक समीकरण में एक शब्द है जिसमें चर के बिना केवल एक संख्यात्मक मान होता है।इसे दाईं ओर ले जाएं:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 दोनों भागों को गुणनखंड द्वारा विभाजित करें ए या एक्स. यदि x का कोई गुणांक नहीं है, तो यह एक के बराबर है और इस चरण को छोड़ा जा सकता है। हमारे उदाहरण में, हम सभी सदस्यों को 2 से विभाजित करते हैं:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • एक्स - 6x = 9/2
4. 4 फूट डालो बी 2 से, वर्गाकार और दोनों पक्षों में जोड़ें। हमारे उदाहरण में बी बराबर -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • एक्स - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 दोनों पक्षों को सरल करें। (x-3) (x-3), या (x-3) प्राप्त करने के लिए बाईं ओर के पदों का वर्ग करें। 9/2 + 9, या 9/2 + 18/2, जो कि 27/2 है, बनाने के लिए दाईं ओर के पदों को जोड़ें।
6. 6 दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें. (x-3) का वर्गमूल केवल (x-3) होता है। 27/2 का वर्गमूल ± (27/2) के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार, x - 3 = ± (27/2)।
7. 7 कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं और एक्स खोजें। ± (27/2) को सरल बनाने के लिए, संख्या 27 और 2, या उनके गुणनखंडों में पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए। २७ में ९ का एक पूर्ण वर्ग है, क्योंकि ९ x ३ = २७। मूल चिह्न से ९ निकालने के लिए, उसमें से मूल लें और मूल चिह्न से ३ घटाएँ। मूल चिह्न के नीचे भिन्न के अंशों में 3 छोड़ दें, क्योंकि इस कारक को निकाला नहीं जा सकता है, और 2 को भी नीचे छोड़ दें। इसके बाद, स्थिरांक 3 को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाएँ और x के दो हल लिखें:
   • एक्स = 3 + (√6) / 2
   • एक्स = 3 - (√6) / 2)

टिप्स

• यदि मूल चिह्न के नीचे की संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है, तो अंतिम कुछ चरणों को थोड़ा अलग तरीके से किया जाता है। यहाँ एक उदाहरण है:
• जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल चिह्न गायब नहीं हुआ है। इस प्रकार, अंशों के पदों को संयोजित नहीं किया जा सकता है। फिर प्लस या माइनस को विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है। इसके बजाय, हम किसी भी सामान्य कारकों को विभाजित करते हैं - लेकिन केवल यदि स्थिरांक के लिए सामान्य कारक तथा मूल गुणांक।