विषय

• कदम
• विधि 1 में से 2: एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करना
• विधि २ का २: एक निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना
• टिप्स

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं को एक सूत्र से जोड़ता है, जिसका उपयोग आज भी किया जाता है। प्रमेय कहता है कि एक समकोण त्रिभुज में, टाँगों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है: ए + बी = सी, जहाँ a और b त्रिभुज की टाँगें हैं (भुजाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं), c त्रिभुज का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय कई मामलों में लागू होता है, उदाहरण के लिए, इस प्रमेय का उपयोग करके, निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाना आसान है।

कदम

विधि 1 में से 2: एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करना

1. 1 सुनिश्चित करें कि आपको दिया गया त्रिभुज समकोण है, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। समकोण त्रिभुजों में, तीन कोणों में से एक हमेशा 90 डिग्री का होता है।
   • एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण एक वर्ग चिह्न द्वारा इंगित किया जाता है, वक्र नहीं, जो एक तिरछा कोण होता है।
2. 2 त्रिभुज की भुजाओं के लिए दिशानिर्देश जोड़ें। पैरों को "ए" और "बी" (पैर - समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाले पक्ष) के रूप में लेबल करें, और कर्ण को "सी" (कर्ण - एक समकोण के विपरीत एक समकोण त्रिभुज का सबसे बड़ा पक्ष) के रूप में लेबल करें।
3. 3 निर्धारित करें कि आप त्रिभुज के किस पक्ष को खोजना चाहते हैं। पाइथागोरस प्रमेय आपको एक समकोण त्रिभुज की कोई भी भुजा खोजने की अनुमति देता है (यदि अन्य दो भुजाएँ ज्ञात हों)। निर्धारित करें कि आपको कौन सा पक्ष (ए, बी, सी) खोजना है।
   • उदाहरण के लिए, 5 के बराबर एक कर्ण दिया गया है, और 3 के बराबर एक पैर दिया गया है। इस मामले में, आपको दूसरा पैर खोजने की जरूरत है। हम इस उदाहरण पर बाद में वापस आएंगे।
   • यदि अन्य दो पक्ष अज्ञात हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए अज्ञात पक्षों में से एक की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करें (यदि आपको तिरछे कोणों में से एक का मान दिया गया है)।
4. 4 अपने दिए गए मानों (या आपको मिले मान) को सूत्र a + b = c में बदलें। याद रखें कि a और b पैर हैं और c कर्ण है।
   • हमारे उदाहरण में लिखें: 3² + बी² = 5².
5. 5 प्रत्येक पक्ष को स्क्वायर करें जिसे आप जानते हैं। या डिग्री छोड़ दें - आप बाद में संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, लिखिए: 9 + b² = 25।
6. 6 अज्ञात पक्ष को समीकरण के एक तरफ अलग करें। ऐसा करने के लिए, ज्ञात मानों को समीकरण के दूसरी तरफ स्थानांतरित करें। यदि आप कर्ण पाते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय में यह पहले से ही समीकरण के एक तरफ अलग है (इसलिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है)।
   • हमारे उदाहरण में, अज्ञात b² को अलग करने के लिए 9 को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं। आपको b² = 16 मिलेगा।
7. 7 समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। इस स्तर पर, समीकरण के एक तरफ एक अज्ञात (वर्ग) होता है, और दूसरी तरफ एक मुक्त शब्द (संख्या) होता है।
   • हमारे उदाहरण में, b² = 16. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें और b = 4 प्राप्त करें। तो दूसरा चरण है 4.
8. 8 अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें, क्योंकि इसे विभिन्न प्रकार की व्यावहारिक स्थितियों में लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, रोजमर्रा की जिंदगी में समकोण त्रिभुजों को पहचानना सीखें - किसी भी स्थिति में जिसमें दो वस्तुएँ (या रेखाएँ) समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, और एक तीसरी वस्तु (या रेखा) पहली दो वस्तुओं के शीर्ष को (तिरछे) जोड़ती है (या रेखाएं), आप अज्ञात पक्ष को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं (यदि अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं)।
   • उदाहरण: एक इमारत के खिलाफ झुकी हुई सीढ़ी दी गई। सीढ़ियों के नीचे दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी पर है। सीढ़ियों का शीर्ष जमीन से (दीवार के ऊपर) 20 मीटर है। सीढ़ियाँ कितनी लंबी हैं?
     • "दीवार के आधार से 5 मीटर" का अर्थ है कि a = 5; "जमीन से 20 मीटर की दूरी पर स्थित" का अर्थ है कि b = 20 (अर्थात, आपको एक समकोण त्रिभुज के दो पैर दिए गए हैं, क्योंकि भवन की दीवार और पृथ्वी की सतह समकोण पर प्रतिच्छेद करती है)। सीढ़ी की लंबाई कर्ण की लंबाई है, जो अज्ञात है।
       • ए² + बी² = सी²
       • (५) + (२०) = c²
       • 25 + 400 = सी²
       • ४२५ = सी²
       • सी = √425
       • एस = 20.6। तो सीढ़ी की अनुमानित लंबाई है 20.6 मीटर.

विधि २ का २: एक निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना

1. 1 निर्देशांक तल पर दो बिंदुओं का चयन करें। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, आप निर्देशांक रेखा पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई की गणना कर सकते हैं।ऐसा करने के लिए, आपको प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक (x, y) को जानना होगा।
   • दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, आप बिंदुओं को एक त्रिभुज के शीर्ष मानेंगे, न कि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण के निकट। इस प्रकार, आप आसानी से त्रिभुज के पैर ढूंढ सकते हैं, और फिर कर्ण की गणना कर सकते हैं, जो दो बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है।
2. 2 निर्देशांक तल पर बिंदु बनाएं। निर्देशांक (x, y) को अलग रखें, जहां x निर्देशांक क्षैतिज अक्ष के साथ है और y ऊर्ध्वाधर के साथ समन्वय करता है। आप ग्राफ़ बनाए बिना बिंदुओं के बीच की दूरी पा सकते हैं, लेकिन एक ग्राफ़ आपको अपनी गणना की प्रक्रिया को नेत्रहीन रूप से प्रस्तुत करने की अनुमति देता है।
3. 3 त्रिभुज के पैर खोजें। आप सीधे ग्राफ़ पर पैरों की लंबाई को मापकर या सूत्रों का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं: | x₁ - एक्स₂| क्षैतिज पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, और | y₁ - आप₂| लंबवत पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, जहां (x₁, आप₁) पहले बिंदु के निर्देशांक हैं, और (x .)₂, आप₂) - दूसरे बिंदु के निर्देशांक।
   • उदाहरण: दिए गए बिंदु: ए (6.1) और बी (3.5)। क्षैतिज पैर की लंबाई:
     • | x₁ - एक्स₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • ऊर्ध्वाधर पैर की लंबाई:
     • | आप₁ - आप₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • अत: एक समकोण त्रिभुज में a = 3 और b = 4 होता है।
4. 4 कर्ण को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें। दो बिंदुओं के बीच की दूरी उस त्रिभुज के कर्ण के बराबर होती है, जिसकी दो भुजाएँ आपने अभी-अभी पाई हैं। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके सूत्र में पैरों (ए और बी) के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके कर्ण का पता लगाएं।
   • हमारे उदाहरण में, a = 3 और b = 4। कर्ण की गणना निम्नानुसार की जाती है:

     • (३) + (४) = c²

       सी = (9 + 16)

       सी = (25)

       c = 5. बिंदु A (6.1) और B (3.5) के बीच की दूरी है 5.

टिप्स

• कर्ण हमेशा होता है:
  • एक समकोण के विपरीत स्थित है;
  • एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है;
  • पाइथागोरस प्रमेय में "सी" के रूप में निरूपित;
• (x) का अर्थ है "x का वर्गमूल"।
• उत्तर की जांच करना न भूलें। अगर उत्तर गलत लगता है, तो गणना दोबारा करें।
• दूसरी बात यह है कि सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोने के विपरीत है, और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोने के विपरीत है।
• पाइथागोरस त्रिक की संख्याएँ जानें जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं। सबसे आदिम पाइथागोरस त्रिक 3, 4, 5 है। इसलिए, दो भुजाओं की लंबाई जानने के बाद, आपको तीसरे की तलाश करने की आवश्यकता नहीं है।
  • याद रखें, कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है।
• यदि आपको एक नियमित त्रिभुज (एक आयताकार के बजाय) दिया जाता है, तो केवल दो पक्षों की लंबाई की तुलना में अधिक जानकारी की आवश्यकता होती है।
• रेखांकन ए, बी और सी पदनामों को चित्रित करने का एक दृश्य तरीका है। यदि आप किसी समस्या को हल कर रहे हैं, तो पहले एक ग्राफ बनाएं।
• यदि केवल एक भुजा की लंबाई दी गई है, तो पाइथागोरस प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता है। त्रिकोणमिति (sin, cos, tan) का उपयोग करने का प्रयास करें।
• यदि हम एक निश्चित भूखंड से किसी समस्या के बारे में बात कर रहे हैं, तो हम सुरक्षित रूप से मान सकते हैं कि पेड़, खंभे, दीवारें, आदि जमीन के साथ एक समकोण बनाते हैं, जब तक कि अन्यथा संकेत न दिया गया हो।