विषय

• कदम
• टिप्स

परिमेय फलन का रूप y = N (x) / D (x) है, जहाँ N और D बहुपद हैं। इस तरह के एक फ़ंक्शन को सटीक रूप से प्लॉट करने के लिए, आपको बीजगणित के अच्छे ज्ञान की आवश्यकता होती है, जिसमें अंतर गणना भी शामिल है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: आप = (2एक्स - 6एक्स + 5)/(4एक्स + 2).

कदम

1. 1 ग्राफ का y-अवरोधन ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, x = 0 को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें और y = 5/2 प्राप्त करें। इस प्रकार, वाई अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु में निर्देशांक (0, 5/2) हैं।इस बिंदु को निर्देशांक तल पर रखें।
2. 2 क्षैतिज स्पर्शोन्मुख का पता लगाएं। "y" के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए अंश को हर (एक कॉलम में) से विभाजित करें जिसमें "x" के मान अनंत की ओर हों। हमारे उदाहरण में, विभाजन होगा आप = (1/2)एक्स - (7/4) + 17/(8एक्स + 4)। "x" 17 / (8 .) के बड़े सकारात्मक या नकारात्मक मूल्यों के लिएएक्स + 4) शून्य पर जाता है, और ग्राफ फ़ंक्शन द्वारा दी गई सीधी रेखा तक पहुंचता है आप = (1/2)एक्स - (7/4)। बिंदीदार रेखा का उपयोग करके, इस फ़ंक्शन को प्लॉट करें।
   • यदि अंश की घात हर की घात से कम है, तो आप अंश को हर से विभाजित नहीं कर सकते हैं और स्पर्शोन्मुख फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाएगा पर = 0.
   • यदि अंश की डिग्री हर की डिग्री के बराबर है, तो स्पर्शोन्मुख एक क्षैतिज रेखा है जो उच्चतम डिग्री में "x" के गुणांक के अनुपात के बराबर है।
   • यदि अंश की डिग्री हर की डिग्री से 1 अधिक है, तो स्पर्शोन्मुख एक झुकी हुई सीधी रेखा है, जिसका ढलान "x" पर गुणांक के उच्चतम डिग्री के अनुपात के बराबर है।
   • यदि अंश की घात हर की घात से २, ३, आदि से अधिक हो, तो बड़े मानों के लिए |एन एस| अर्थ पर एक वर्ग, घन या बहुपद के अन्य अंश के रूप में अनंत (सकारात्मक या नकारात्मक) की ओर प्रवृत्त होते हैं। इस मामले में, सबसे अधिक संभावना है, आपको अंश को हर से विभाजित करके प्राप्त फ़ंक्शन का सटीक ग्राफ बनाने की आवश्यकता नहीं है।
3. 3 फ़ंक्शन के शून्य खोजें। एक परिमेय फलन में शून्य होता है जब उसका अंश शून्य होता है, अर्थात N (एन एस) = 0. हमारे उदाहरण में, 2एक्स - 6एक्स + 5 = 0. इस द्विघात समीकरण का विवेचक: बी - 4एसी = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4। चूँकि विवेचक ऋणात्मक है, तब N (एन एस), और इसलिए एफ (एन एस) की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। एक परिमेय फलन का ग्राफ X-अक्ष को नहीं काटता है। यदि फलन में शून्य (मूल) हैं, तो उन्हें निर्देशांक तल पर रखें।
4. 4 ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी खोजें। ऐसा करने के लिए, भाजक को शून्य पर सेट करें। हमारे उदाहरण में, 4एक्स + 2 = 0 और एन एस = -1/2। बिंदीदार रेखा का उपयोग करके लंबवत अनंतस्पर्शी प्लॉट करें। अगर कुछ मूल्य के लिए एन एस एन (एन एस) = 0 और डी (एन एस) = 0, तो ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख या तो मौजूद है या मौजूद नहीं है (यह एक दुर्लभ मामला है, लेकिन इसे याद रखना बेहतर है)।
5. 5 हर से विभाजित अंश के शेष भाग को देखें। क्या यह सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य है? हमारे उदाहरण में, शेष 17 है, जो धनात्मक है। हर 4एक्स + 2 ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी के दाईं ओर धनात्मक और बाईं ओर ऋणात्मक। इसका मतलब है कि बड़े सकारात्मक मूल्यों के लिए परिमेय फलन का ग्राफ एन एस ऊपर से स्पर्शोन्मुख, और बड़े नकारात्मक मूल्यों के लिए संपर्क करता है एन एस - नीचे की ओर से। 17 / (8 .) के बाद सेएक्स + 4) कभी भी शून्य के बराबर नहीं होता है, तो इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट सीधी रेखा को कभी नहीं काटेगा पर = (1/2)एन एस - (7/4).
6. 6 स्थानीय एक्स्ट्रेमा खोजें। एन के लिए एक स्थानीय चरम मौजूद है '(एक्स) डी (एक्स) - एन (एक्स) डी '(एक्स) = 0. हमारे उदाहरण में, एन '(एक्स) = 4एक्स - 6 और डी '(एक्स) = 4. एन '(एक्स) डी (एक्स) - एन (एक्स) डी '(एक्स) = (4एक्स - 6)(4एक्स + 2) - (2एक्स - 6एक्स + 5)*4 = एक्स + एक्स - 4 = 0. इस समीकरण को हल करने पर, आप पाते हैं कि एक्स = 3/2 और एक्स = -5/2। (ये पूरी तरह से सटीक मान नहीं हैं, लेकिन वे हमारे मामले के लिए उपयुक्त हैं जब सुपरप्रिसिजन की आवश्यकता नहीं होती है।)
7. 7 मान ज्ञात कीजिए पर प्रत्येक स्थानीय चरम के लिए। ऐसा करने के लिए, मानों को प्रतिस्थापित करें एन एस मूल तर्कसंगत कार्य में। हमारे उदाहरण में, f (3/2) = 1/16 और f (-5/2) = -65/16। निर्देशांक तल पर अलग बिंदु (3/2, 1/16) और (-5/2, -65/16) सेट करें। चूंकि गणना अनुमानित मूल्यों (पिछले चरण से) पर आधारित हैं, इसलिए न्यूनतम और अधिकतम पाए गए भी पूरी तरह से सटीक नहीं हैं (लेकिन शायद सटीक मानों के बहुत करीब हैं)। (बिंदु (3/2, 1/16) स्थानीय न्यूनतम के बहुत करीब है। चरण 3 से शुरू करते हुए, हम जानते हैं कि पर के लिए हमेशा सकारात्मक एन एस> -1/2, और हमें एक छोटा मान (1/16) मिला; इस प्रकार, इस मामले में त्रुटि मान बहुत छोटा है।)
8. 8 लंबित बिंदुओं को कनेक्ट करें और ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख तक सुचारू रूप से विस्तारित करें (स्पर्शरेखा के निकट आने वाले ग्राफ़ की सही दिशा के बारे में मत भूलना)। याद रखें कि ग्राफ को X-अक्ष को पार नहीं करना चाहिए (चरण 3 देखें)। ग्राफ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख के साथ भी प्रतिच्छेद नहीं करता है (चरण 5 देखें)। पिछले चरण में पाए गए चरम बिंदुओं को छोड़कर चार्ट की दिशा न बदलें।

टिप्स

• यदि आपने उपरोक्त चरणों का कड़ाई से पालन किया है, तो आपके समाधान का परीक्षण करने के लिए दूसरे डेरिवेटिव (या समान जटिल मात्रा) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है।
• यदि आपको मात्राओं के मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, तो आप निर्देशांक के कुछ अतिरिक्त जोड़े की गणना करके स्थानीय एक्स्ट्रेमा खोजने की जगह ले सकते हैं (एन एस, पर) स्पर्शोन्मुख के प्रत्येक जोड़े के बीच। इसके अलावा, यदि आप परवाह नहीं करते हैं कि वर्णित विधि कैसे काम करती है, तो आश्चर्यचकित न हों कि आप व्युत्पन्न क्यों नहीं ढूंढ सकते हैं और समीकरण एन '(एक्स) डी (एक्स) - एन (एक्स) डी '(एक्स) = 0.
• कुछ मामलों में, आपको उच्च कोटि के बहुपदों के साथ कार्य करना होगा। यदि आप गुणनखंड, सूत्र आदि का उपयोग करके सटीक समाधान नहीं ढूंढ सकते हैं, तो न्यूटन की विधि जैसी संख्यात्मक विधियों का उपयोग करके संभावित समाधानों का अनुमान लगाएं।
• दुर्लभ मामलों में, अंश और हर एक सामान्य चर कारक साझा करते हैं। वर्णित चरणों के अनुसार, यह एक ही स्थान पर शून्य और एक लंबवत स्पर्शोन्मुख की ओर ले जाएगा। हालांकि, यह संभव नहीं है, और स्पष्टीकरण निम्न में से एक है:
  • एन में शून्य (एन एस) डी में शून्य से अधिक बहुलता है (एन एस) ग्राफ एफ (एन एस) इस बिंदु पर शून्य हो जाता है, लेकिन वहां परिभाषित नहीं है। बिंदु के चारों ओर एक वृत्त खींचकर इसे इंगित करें।
  • एन में शून्य (एन एस) और डी में शून्य (एन एस) समान बहुलता है। ग्राफ इस मान पर कुछ गैर-शून्य बिंदु तक पहुंचता है एन एसलेकिन उसमें परिभाषित नहीं है। बिंदु के चारों ओर एक वृत्त खींचकर इसे इंगित करें।
  • एन में शून्य (एन एस) डी में शून्य से कम बहुलता है (एन एस) यहाँ एक लंबवत स्पर्शोन्मुख है।