विषय

• कदम
• 2 में से विधि 1 बीजगणितीय विधि
• विधि २ का २: आलेखीय विधि
• टिप्स
• चेतावनी

फलन सम, विषम या सामान्य हो सकते हैं (अर्थात न तो सम और न ही विषम)। फ़ंक्शन का प्रकार समरूपता की उपस्थिति या अनुपस्थिति पर निर्भर करता है। फ़ंक्शन के प्रकार को निर्धारित करने का सबसे अच्छा तरीका बीजीय गणनाओं की एक श्रृंखला करना है। लेकिन फंक्शन के प्रकार का पता इसके शेड्यूल से भी लगाया जा सकता है। कार्यों के प्रकार को परिभाषित करना सीखकर, आप कार्यों के कुछ संयोजनों के व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

कदम

2 में से विधि 1 बीजगणितीय विधि

1. 1 याद रखें कि चर के विपरीत मूल्य क्या हैं। बीजगणित में, एक चर के विपरीत मान को "-" (ऋण) चिह्न के साथ लिखा जाता है। इसके अलावा, यह स्वतंत्र चर के किसी भी पदनाम के लिए सही है (पत्र द्वारा ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ या कोई अन्य पत्र)। यदि मूल फ़ंक्शन में चर के सामने पहले से ही ऋणात्मक चिह्न है, तो इसका विपरीत मान एक धनात्मक चर होगा। नीचे कुछ चरों और उनके विपरीत अर्थों के उदाहरण दिए गए हैं:
   • इसके विपरीत अर्थ ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ है एक ${ डिस्प्लेस्टाइल -x}$.
   • इसके विपरीत अर्थ ${ डिस्प्लेस्टाइल क्यू}$ है एक ${ डिस्प्लेस्टाइल -क्यू}$.
   • इसके विपरीत अर्थ ${ डिस्प्लेस्टाइल -w}$ है एक ${ डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू}$.
2. 2 व्याख्यात्मक चर को इसके विपरीत मान से बदलें। यानी स्वतंत्र चर के चिह्न को उलट दें। उदाहरण के लिए:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 4x ^ {2} -7}$ में बदल जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (एक्स) = 5x ^ {5} -2x}$ में बदल जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (-एक्स) = 5 (-एक्स) ^ {5} -2 (-एक्स)}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल एच (एक्स) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ में बदल जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल एच (-एक्स) = 7 (-एक्स) ^ {2} +5 (-एक्स) +3}$.
3. 3 नए फ़ंक्शन को सरल बनाएं। इस बिंदु पर, आपको स्वतंत्र चर के लिए विशिष्ट संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता नहीं है। मूल फ़ंक्शन f (x) के साथ तुलना करने के लिए आपको बस नए फ़ंक्शन f (-x) को सरल बनाने की आवश्यकता है। घातांक के मूल नियम को याद रखें: एक ऋणात्मक चर को एक सम घात तक बढ़ाने से एक धनात्मक चर प्राप्त होगा, और एक ऋणात्मक चर को एक विषम घात में बढ़ाने से एक ऋणात्मक चर प्राप्त होगा।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (-एक्स) = 5 (-एक्स) ^ {5} -2 (-एक्स)}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (-एक्स) = 5 (-एक्स ^ {5}) + 2x}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (-एक्स) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल एच (-एक्स) = 7 (-एक्स) ^ {2} +5 (-एक्स) +3}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल एच (-एक्स) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 दो कार्यों की तुलना करें। सरलीकृत नए फलन f (-x) की तुलना मूल फलन f (x) से करें। एक दूसरे के अंतर्गत दोनों फलनों के संगत पदों को लिखिए और उनके चिह्नों की तुलना कीजिए।
   • यदि दोनों फलनों के संगत पदों के चिह्न संपाती हों, अर्थात् f (x) = f (-x), तो मूल फलन सम होता है। उदाहरण:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 4x ^ {2} -7}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • यहाँ पदों के चिन्ह मेल खाते हैं, इसलिए मूल फलन सम है।
   • यदि दोनों फलनों के संगत पदों के चिह्न एक-दूसरे के विपरीत हों, अर्थात् f (x) = -f (-x), तो मूल फलन सम होता है। उदाहरण:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (एक्स) = 5x ^ {5} -2x}$, लेकिन ${ डिस्प्लेस्टाइल जी (-एक्स) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • ध्यान दें कि यदि आप पहले फ़ंक्शन में प्रत्येक पद को -1 से गुणा करते हैं, तो आपको दूसरा फ़ंक्शन मिलता है। इस प्रकार, मूल फलन g (x) विषम है।
   • यदि नया फ़ंक्शन उपरोक्त उदाहरणों में से किसी से मेल नहीं खाता है, तो यह एक सामान्य कार्य है (अर्थात, न तो सम और न ही विषम)। उदाहरण के लिए:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल एच (एक्स) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, लेकिन ${ डिस्प्लेस्टाइल एच (-एक्स) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... दोनों कार्यों के पहले पदों के चिन्ह समान हैं, और दूसरे पदों के चिन्ह विपरीत हैं। इसलिए, यह फलन न तो सम है और न ही विषम।

विधि २ का २: आलेखीय विधि

1. 1 फंक्शन ग्राफ प्लॉट करें. ऐसा करने के लिए, ग्राफ पेपर या ग्राफिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें। संख्यात्मक व्याख्यात्मक चर मानों में से किसी एक का चयन करें ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ और आश्रित चर के मूल्यों की गणना करने के लिए उन्हें फ़ंक्शन में प्लग करें ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$... निर्देशांक तल पर बिंदुओं के पाए गए निर्देशांक बनाएं, और फिर इन बिंदुओं को फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए कनेक्ट करें।
   • फ़ंक्शन में सकारात्मक संख्यात्मक मान बदलें ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ और संगत नकारात्मक संख्यात्मक मान। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन दिया गया ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ {2} +1}$... निम्नलिखित मानों में प्लग करें ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... निर्देशांक के साथ एक बिंदु मिला ${ डिस्प्लेस्टाइल (1,3)}$.
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... निर्देशांक के साथ एक बिंदु मिला ${ डिस्प्लेस्टाइल (2.9)}$.
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... निर्देशांक के साथ एक बिंदु मिला ${ डिस्प्लेस्टाइल (-1,3)}$.
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... निर्देशांक के साथ एक बिंदु मिला ${ डिस्प्लेस्टाइल (-2.9)}$.
2. 2 जांचें कि फ़ंक्शन का ग्राफ y-अक्ष के बारे में सममित है या नहीं। समरूपता, कोटि अक्ष के बारे में चार्ट के मिररिंग को संदर्भित करता है। यदि y-अक्ष के दाईं ओर ग्राफ़ का भाग (सकारात्मक व्याख्यात्मक चर) y-अक्ष (व्याख्यात्मक चर के ऋणात्मक मान) के बाईं ओर ग्राफ़ के भाग के साथ मेल खाता है, तो ग्राफ़ सममित है y-अक्ष। यदि फलन कोटि के सापेक्ष सममित है, तो फलन सम है।
   • आप अलग-अलग बिंदुओं से ग्राफ की समरूपता की जांच कर सकते हैं। यदि मान ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$जो मूल्य से मेल खाती है ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$, मान से मेल खाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$जो मूल्य से मेल खाती है ${ डिस्प्लेस्टाइल -x}$, फ़ंक्शन सम है।फ़ंक्शन के साथ हमारे उदाहरण में ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ {2} +1}$ हमें बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिले:
     • (1.3) और (-1.3)
     • (2.9) और (-2.9)
   • ध्यान दें कि जब x = 1 और x = -1, आश्रित चर y = 3 होता है, और जब x = 2 और x = -2 होता है, तो आश्रित चर y = 9 होता है। तो फ़ंक्शन सम है। वास्तव में, किसी फ़ंक्शन के सटीक रूप का पता लगाने के लिए, आपको दो से अधिक बिंदुओं पर विचार करने की आवश्यकता है, लेकिन वर्णित विधि एक अच्छा सन्निकटन है।
3. 3 जांचें कि क्या फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के बारे में सममित है। मूल बिंदु निर्देशांक (0,0) वाला बिंदु है। मूल के बारे में समरूपता का अर्थ है कि एक सकारात्मक मूल्य ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$ (एक सकारात्मक मूल्य के साथ ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$) एक नकारात्मक मूल्य से मेल खाती है ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$ (ऋणात्मक मान के साथ ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$), और इसके विपरीत। विषम फलन मूल के सापेक्ष सममित होते हैं।
   • यदि हम फ़ंक्शन में कई सकारात्मक और संबंधित नकारात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$, मान ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$ चिन्ह में भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन दिया गया ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = x ^ {3} + x}$... इसमें कई मान बदलें ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... निर्देशांक (1,2) के साथ एक बिंदु मिला।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}$... हमें निर्देशांक (-1, -2) के साथ एक बिंदु मिला।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... निर्देशांक (2,10) के साथ एक बिंदु मिला।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}$... हमें निर्देशांक (-2, -10) के साथ एक बिंदु मिला।
   • अत: f (x) = -f (-x), अर्थात् फलन विषम है।
4. 4 जांचें कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई समरूपता है या नहीं। अंतिम प्रकार का फलन एक ऐसा फलन है जिसके ग्राफ में सममिति नहीं होती है, अर्थात कोटि अक्ष और मूल बिन्दु दोनों के बारे में कोई प्रतिबिम्ब नहीं होता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन दिया गया ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • फ़ंक्शन में कई सकारात्मक और संबंधित नकारात्मक मानों को प्रतिस्थापित करें ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... निर्देशांक (1,4) के साथ एक बिंदु मिला।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}$... हमें निर्देशांक (-1, -2) के साथ एक बिंदु मिला।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... निर्देशांक (2,10) के साथ एक बिंदु मिला।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}$... हमें निर्देशांक (2, -2) के साथ एक बिंदु मिला।
   • प्राप्त परिणामों के अनुसार, कोई समरूपता नहीं है। मूल्य ${ डिस्प्लेस्टाइल y}$ विपरीत मूल्यों के लिए ${ डिस्प्लेस्टाइल x}$ मेल नहीं खाते और विपरीत नहीं हैं। इस प्रकार, फलन न तो सम है और न ही विषम।
   • ध्यान दें कि फ़ंक्शन ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ इस तरह लिखा जा सकता है: ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... जब इस रूप में लिखा जाता है, तो फ़ंक्शन सम प्रतीत होता है क्योंकि एक सम घातांक मौजूद होता है। लेकिन यह उदाहरण साबित करता है कि यदि स्वतंत्र चर कोष्ठक में संलग्न है तो फ़ंक्शन का प्रकार जल्दी से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, आपको कोष्ठक खोलने और प्राप्त घातांक का विश्लेषण करने की आवश्यकता है।

टिप्स

• यदि स्वतंत्र चर का घातांक सम है, तो फलन सम है; यदि घातांक विषम है, तो फलन विषम है।

चेतावनी

• यह आलेख केवल दो चर वाले कार्यों पर लागू किया जा सकता है, जिसके मूल्यों को समन्वय विमान पर प्लॉट किया जा सकता है।