विषय

• कदम
• विधि 1 का 4: हर में एकपदी
• विधि 2 का 4: हर में द्विपद
• विधि 3 का 4: विपरीत व्यंजक
• विधि 4 में से 4: घन मूल भाजक

गणित में, भिन्न के हर में एक मूल या एक अपरिमेय संख्या छोड़ने की प्रथा नहीं है। यदि हर एक मूल है, तो मूल से छुटकारा पाने के लिए अंश को किसी पद या व्यंजक से गुणा करें। आधुनिक कैलकुलेटर आपको हर में जड़ों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं, लेकिन शैक्षिक कार्यक्रम के लिए आवश्यक है कि छात्र हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने में सक्षम हों।

कदम

विधि 1 का 4: हर में एकपदी

1. 1 अंश जानें। यदि हर में कोई मूल न हो तो भिन्न को सही लिखा जाता है। यदि हर में एक वर्ग या कोई अन्य मूल है, तो आपको मूल से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को कुछ एकपदी से गुणा करना होगा। कृपया ध्यान दें कि अंश में एक रूट हो सकता है - यह सामान्य है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • यहाँ हर का एक मूल है ${ डिस्प्लेस्टाइल { sqrt {7}}}$.
2. 2 हर के मूल से अंश और हर को गुणा करें। यदि हर में एकपदी है, तो ऐसे भिन्न को युक्तिसंगत बनाना काफी आसान है। अंश और हर को एक ही एकपदी से गुणा करें (अर्थात आप भिन्न को 1 से गुणा कर रहे हैं)।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • यदि आप कैलकुलेटर पर समाधान के लिए व्यंजक दर्ज कर रहे हैं, तो उन्हें अलग करने के लिए प्रत्येक भाग के चारों ओर कोष्ठक लगाना सुनिश्चित करें।
3. 3 भिन्न को सरल कीजिए (यदि संभव हो)। हमारे उदाहरण में, अंश और हर को 7 से विभाजित करके इसे संक्षिप्त किया जा सकता है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { फ़्रेक {7 { sqrt {21}}} {14}} = { फ़्रेक { sqrt {21}} {2}}}$

विधि 2 का 4: हर में द्विपद

1. 1 अंश जानें। यदि इसके हर में दो एकपदी का योग या अंतर हो, जिनमें से एक में एक मूल हो, तो अपरिमेयता से छुटकारा पाने के लिए भिन्न को ऐसे द्विपद से गुणा करना असंभव है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • इसे समझने के लिए भिन्न लिखिए ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {1} {ए + बी}}}$जहां एकपदी ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ या ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ जड़ शामिल है। इस मामले में: ${ डिस्प्लेस्टाइल (ए + बी) (ए + बी) = ए ^ {2} + 2ab + बी ^ {2}}$... इस प्रकार, एकपदी ${ डिस्प्लेस्टाइल 2ab}$ अभी भी रूट शामिल होगा (यदि ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ या ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ जड़ शामिल है)।
   • आइए हमारे उदाहरण पर एक नज़र डालें।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { फ़्रेक {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { फ़्रेक {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • आप देखते हैं कि आप हर में एकपदी से छुटकारा नहीं पा सकते हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 हर में द्विपद के द्विपद संयुग्म द्वारा अंश और हर को गुणा करें। एक संयुग्म द्विपद एक द्विपद है जिसमें एक ही एकपदी होती है, लेकिन उनके बीच विपरीत चिन्ह होता है। उदाहरण के लिए, बिनोम ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 + { sqrt {2}}}$ एक द्विपद के लिए संयुग्मित ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 - { sqrt {2}}।}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { फ़्रेक {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • इस विधि का अर्थ समझें। भिन्न पर फिर से विचार करें ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {1} {ए + बी}}}$... द्विपद संयुग्म द्वारा अंश और हर को हर में द्विपद से गुणा करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल (ए + बी) (ए-बी) = ए ^ {2} -बी ^ {2}}$... इस प्रकार, ऐसे कोई मोनोमियल नहीं हैं जिनमें जड़ें हों। मोनोमियल के बाद से ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ वर्ग कर रहे हैं, जड़ों को समाप्त कर दिया जाएगा।
3. 3 भिन्न को सरल कीजिए (यदि संभव हो)। यदि अंश और हर दोनों में एक समान गुणनखंड है, तो उसे रद्द कर दें। हमारे मामले में, 4 - 2 = 2, जिसका उपयोग भिन्न को कम करने के लिए किया जा सकता है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { फ़्रेक {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { फ़्रेक {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

विधि 3 का 4: विपरीत व्यंजक

1. 1 समस्या की जांच करें। यदि आपको एक ऐसा व्यंजक खोजने की आवश्यकता है जो दिए गए व्यंजक का विलोम हो, जिसमें एक मूल हो, तो आपको परिणामी भिन्न को युक्तिसंगत बनाना होगा (और उसके बाद ही इसे सरल बनाएं)। इस मामले में, पहले या दूसरे खंड (कार्य के आधार पर) में वर्णित विधि का उपयोग करें।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 विपरीत भाव लिखिए। ऐसा करने के लिए, 1 को दिए गए व्यंजक से भाग दें; यदि भिन्न दिया गया है, तो अंश और हर को स्वैप करें। याद रखें कि कोई भी व्यंजक एक भिन्न होता है जिसमें हर में 1 होता है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {1} {2} - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 मूल से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को किसी व्यंजक से गुणा करें। अंश और हर को एक ही व्यंजक से गुणा करके, आप भिन्न को 1 से गुणा कर रहे हैं, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदलता है। हमारे उदाहरण में, हमें एक द्विपद दिया गया है, इसलिए अंश और हर को संयुग्म द्विपद से गुणा करें।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { फ़्रेक {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 भिन्न को सरल कीजिए (यदि संभव हो)। हमारे उदाहरण में, 4 - 3 = 1, इसलिए भिन्न के हर में व्यंजक को पूरी तरह से रद्द किया जा सकता है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { फ़्रेक {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { फ़्रेक {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • उत्तर इस द्विपद का द्विपद संयुग्म है। यह महज एक संयोग है।

विधि 4 में से 4: घन मूल भाजक

1. 1 अंश जानें। समस्या में घनमूल हो सकते हैं, हालांकि यह काफी दुर्लभ है। वर्णित विधि किसी भी डिग्री की जड़ों पर लागू होती है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 एक शक्ति के रूप में जड़ को फिर से लिखें। यहाँ आप अंश और हर को किसी एकपदी या व्यंजक से गुणा नहीं कर सकते, क्योंकि युक्तिकरण थोड़े अलग तरीके से किया जाता है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 भिन्न के अंश और हर को कुछ घात से गुणा करें ताकि हर में घातांक 1 हो जाए। हमारे उदाहरण में, भिन्न को से गुणा करें ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... याद रखें कि जब डिग्रियों को गुणा किया जाता है, तो उनके संकेतक जुड़ जाते हैं: ${ डिस्प्लेस्टाइल ए ^ {बी} ए ^ {सी} = ए ^ {बी + सी}।}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { फ़्रैक {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • यह विधि डिग्री n के किसी भी मूल पर लागू होती है। यदि एक अंश दिया जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {1} {ए ^ {1 / एन}}}}$, अंश और हर को से गुणा करें ${ डिस्प्लेस्टाइल ए ^ {1 - { फ्रैक {1} {एन}}}}$... इस प्रकार हर में घातांक 1 हो जाता है।
4. 4 भिन्न को सरल कीजिए (यदि संभव हो)।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { फ़्रैक {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • यदि आवश्यक हो, तो उत्तर में मूल लिखें। हमारे उदाहरण में, घातांक को दो कारकों में विभाजित करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल 1/3}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल 2}$.
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$