विषय

• कदम
• 3 का भाग 1 : एक विधि को परिभाषित करना
• 3 का भाग 2 : विभाज्य का गुणनखंड करना
• ३ का भाग ३: लंबा विभाजन
• टिप्स
• चेतावनी

बहुपदों को संख्याओं के समान ही विभाजित किया जा सकता है: या तो फैक्टरिंग द्वारा या लंबे विभाजन द्वारा। उपयोग की जाने वाली विधि बहुपद के प्रकार और भाजक के प्रकार पर निर्भर करती है।

कदम

3 का भाग 1 : एक विधि को परिभाषित करना

1. 1 विभाजक के प्रकार का निर्धारण करें। भाजक (जिस बहुपद से आप भाग कर रहे हैं) की तुलना लाभांश (जिस बहुपद को आप विभाजित कर रहे हैं) से की जाती है और उपयुक्त विभाजन विधि निर्धारित की जाती है।
   • यदि भाजक एक मोनोमियल है, जो एक चर या एक अवरोधन (चर के बिना गुणांक) का गुणांक है, तो आप शायद भाजक को कारक बना सकते हैं और कारकों और भाजक में से एक को रद्द कर सकते हैं। "एक विभाज्य गुणनखंड" अनुभाग देखें।
   • यदि भाजक द्विपद (दो पदों वाला एक बहुपद) है, तो आप शायद लाभांश को कारक बना सकते हैं और कारकों और भाजक में से एक को रद्द कर सकते हैं।
   • यदि भाजक एक त्रिपद (तीन पदों वाला एक बहुपद) है, तो आप संभवतः भाज्य और भाजक दोनों का गुणनखंड कर सकते हैं और फिर उभयनिष्ठ गुणनखंड या दीर्घ विभाजन को रद्द कर सकते हैं।
   • यदि भाजक तीन से अधिक पदों के साथ एक बहुपद है, तो सबसे अधिक संभावना है कि आपको लंबे विभाजन का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। लॉन्ग डिवीजन सेक्शन देखें।
2. 2 लाभांश के प्रकार का निर्धारण करें। यदि भाजक का प्रकार आपको विभाजन की विधि नहीं बताता है, तो लाभांश का प्रकार निर्धारित करें।
   • यदि लाभांश में तीन या उससे कम शर्तें हैं, तो आप शायद लाभांश को कारक बना सकते हैं और कारकों और भाजक में से एक को रद्द कर सकते हैं।
   • यदि लाभांश में तीन से अधिक सदस्य हैं, तो सबसे अधिक संभावना है कि आपको लंबे विभाजन का उपयोग करना होगा।

3 का भाग 2 : विभाज्य का गुणनखंड करना

1. 1 भाजक और भाज्य के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए। यदि यह मौजूद है, तो आप इसे ब्रैकेट कर सकते हैं और इसे छोटा कर सकते हैं।
   • उदाहरण। द्विपद में 3x - 9 को 3 से विभाजित करते समय, 3 को कोष्ठक के बाहर रखें: 3 (x - 3)। फिर बाहरी कोष्ठक 3 और भाजक (3) को रद्द करें। उत्तर: एक्स - 3.
   • उदाहरण: द्विपद में 24x - 18x को 6x से विभाजित करते समय, 6x को कोष्ठक के बाहर रखें: 6x (4x - 3)। फिर कोष्ठक 6x और भाजक (6x) को रद्द करें। उत्तर: 4x - 3।
2. 2 निर्धारित करें कि क्या संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करके लाभांश को गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि कारकों में से एक भाजक के बराबर है, तो आप उन्हें रद्द कर सकते हैं। यहाँ संक्षिप्त गुणन के लिए कुछ सूत्र दिए गए हैं:
   • चौकों का अंतर। यह ax - b रूप का द्विपद है, जहाँ a और b के मान पूर्ण वर्ग हैं (अर्थात आप इन संख्याओं का वर्गमूल निकाल सकते हैं)। इस द्विपद को दो कारकों में विघटित किया जा सकता है: (कुल्हाड़ी + बी) (कुल्हाड़ी - बी)।
   • पूर्ण वर्ग। यह ax + 2abx + b के रूप का एक त्रिपद है, जिसे दो कारकों में विघटित किया जा सकता है: (ax + b) (ax + b) या (ax + b) के रूप में लिखा जाता है। यदि दूसरा पद ऋण से पहले आता है, तो इस त्रिपद को इस प्रकार विस्तारित किया जाता है: (कुल्हाड़ी - बी) (कुल्हाड़ी - बी)।
   • घनों का योग या अंतर। यह ax + b या ax - b रूप का द्विपद है, जहाँ a और b के मान पूर्ण घन हैं (अर्थात आप इन संख्याओं से घनमूल निकाल सकते हैं)। घनों का योग निम्न में विघटित होता है: (ax + b) (ax - abx + b)। घनों के बीच का अंतर निम्न में विघटित होता है: (ax - b) (ax + abx + b)।
3. 3 लाभांश के कारक के लिए परीक्षण और त्रुटि का प्रयोग करें। यदि आप देखते हैं कि संक्षिप्त गुणन सूत्र लाभांश पर लागू नहीं किया जा सकता है, तो लाभांश को अन्य तरीकों से विस्तारित करने का प्रयास करें। सबसे पहले, लाभांश के दूसरे कार्यकाल के गुणांक को ध्यान में रखते हुए, अवरोधन के कारकों का पता लगाएं।
   • उदाहरण। यदि लाभांश x - 3x - 10 है, तो कारक 3 को ध्यान में रखते हुए अवरोधन 10 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
   • संख्या १० को निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: १ और १० या २ और ५। चूँकि १० के सामने एक ऋण है, एक ऋण भी १० के कारकों में से एक के सामने होना चाहिए।
   • गुणांक ३ ५-२ है, इसलिए हम कारक ५ और २ चुनते हैं। चूँकि ३ के सामने एक ऋण है, इसलिए ५ के सामने एक ऋण भी होना चाहिए। इस प्रकार, लाभांश कारकों में विघटित होता है: (x - 5) (x + 2)। यदि भाजक इन दो कारकों में से एक के बराबर है, तो उन्हें रद्द किया जा सकता है।

३ का भाग ३: लंबा विभाजन

1. 1 लाभांश और भाजक को उसी तरह लिखिए जैसे आप साधारण संख्याएँ लिखते हैं जब उन्हें एक कॉलम में विभाजित किया जाता है।
   • उदाहरण। x + 11 x + 10 को x +1 से भाग दें।
2. 2 भाजक के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करें। परिणाम लिखिए।
   • उदाहरण। x (लाभांश का पहला पद) को x (भाजक का पहला पद) से भाग दें। परिणाम लिखें: x।
3. 3 पिछले चरण (x) के परिणाम को भाजक से गुणा करें। लाभांश के पहले और दूसरे शब्दों के तहत क्रमशः गुणन परिणाम लिखें।
   • उदाहरण। x + x प्राप्त करने के लिए x को x + 1 से गुणा करें। इस द्विपद को क्रमशः लाभांश के प्रथम और द्वितीय पदों के अंतर्गत लिखिए।
4. 4 लाभांश से परिणाम (पिछले चरण से) घटाएं। सबसे पहले, लाभांश से गुणा परिणाम (पिछले चरण में प्राप्त) घटाएं, और फिर मुक्त शब्द हटा दें।
   • द्विपद x + x के चिह्नों को उलट दें और इसे - x - x के रूप में लिखें। इस द्विपद को लाभांश के पहले दो पदों से घटाने पर 10x प्राप्त होता है। लाभांश की मुक्त अवधि को समाप्त करने के बाद, आपको एक द्विपद 10x + 10 (मध्यवर्ती द्विपद) मिलेगा।
5. 5 मध्यवर्ती द्विपद (पिछले चरण में प्राप्त) के साथ पिछले तीन चरणों को दोहराएं। आप इसके पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करेंगे और परिणाम को पहले भाग के परिणाम के आगे लिखेंगे। फिर इस दूसरे भाग के परिणाम को भाजक से गुणा करें और गुणन के परिणाम को मध्यवर्ती द्विपद से घटाएं।
   • चूँकि 10x/x = 10, प्रथम भाग (x) के परिणाम के बाद "+10" लिखें।
   • 10 को x +1 से गुणा करने पर, आपको द्विपद 10x + 10 प्राप्त होता है। इस द्विपद (- 10x - 10) के चिह्नों को बदलें और तदनुसार मध्यवर्ती द्विपद के नीचे लिखें।
   • पिछले चरण में प्राप्त द्विपद को मध्यवर्ती द्विपद से घटाएं और आपको 0. प्राप्त होता है। तो x + 11 x + 10 को x +1 से विभाजित करने पर x + 10 होता है (आप त्रिपद का गुणन करके समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन इस त्रिपद को चुना गया था) सबसे सरल उदाहरण के रूप में)।

टिप्स

• यदि आपको लंबे भाग के बाद शेषफल मिलता है, तो आप इसे भिन्नात्मक पद के रूप में लिख सकते हैं, शेष अंश अंश में और भाजक हर में। उदाहरण के लिए, यदि x + 11 x + 10 के स्थान पर आपको x + 11 x + 12 दिया जाता है, तो इस त्रिपद को x + 1 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है। इसलिए, उत्तर (भागफल) को इस रूप में लिखें: x + 10+ (2/(x +1))।
• यदि किसी दिए गए बहुपद में उपयुक्त क्रम के चर वाला कोई सदस्य नहीं है, उदाहरण के लिए, 3x + 9x + 18 में पहले क्रम के चर वाला सदस्य नहीं है, तो आप लापता शब्द को 0 के गुणांक के साथ जोड़ सकते हैं ( हमारे उदाहरण में, यह 0x है) विभाजन के दौरान शर्तों को सही ढंग से रखने के लिए। यह चाल इस बहुपद का मान नहीं बदलेगी।

चेतावनी

• जब एक कॉलम में विभाजन हो, तो शब्दों को घटाते समय त्रुटियों से बचने के लिए शब्दों को सही ढंग से लिखें (एक ही क्रम के शब्दों को एक दूसरे के नीचे लिखें)।
• एक विभाजन परिणाम लिखते समय, जिसमें एक भिन्नात्मक शब्द शामिल होता है, हमेशा भिन्नात्मक शब्द से पहले एक प्लस चिह्न होता है।