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एक सीधी रेखा के विपरीत, ढलान (ढलान) गुणांक लगातार बदल रहा है क्योंकि यह वक्र के साथ चलता है। कैलकुलस यह विचार देता है कि ग्राफ के प्रत्येक बिंदु को कोण या "परिवर्तन की तात्कालिक दर" के गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा एक रेखा होती है जिसमें एक ही कोणीय गुणांक होता है और एक ही बिंदु से गुजरता है। एक स्पर्शरेखा समीकरण को खोजने के लिए, आपको यह जानना होगा कि मूल समीकरण को कैसे प्राप्त किया जाए।

कदम

विधि 1 की 2: स्पर्शरेखा रेखा के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए

1. 

   ग्राफ़ फ़ंक्शंस और स्पर्शरेखा लाइनें (यह कदम वैकल्पिक है, लेकिन अनुशंसित है)। चार्ट से आपको समस्या को समझने और जांचने में आसानी होगी कि उत्तर उचित है या नहीं। ग्रिड पेपर पर फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं, यदि आवश्यक हो तो संदर्भ के लिए ग्राफ़ फ़ंक्शन के साथ वैज्ञानिक कैलकुलेटर का उपयोग करें। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा रेखा खींचें (याद रखें कि स्पर्शरेखा रेखा उस बिंदु से गुज़रती है और वहाँ ग्राफ़ के समान ढलान है)।
   • उदाहरण 1: एक परवलय खींचना। बिंदु (-6, -1) के माध्यम से एक स्पर्शरेखा रेखा खींचें।
     यद्यपि आप स्पर्शरेखा समीकरण को नहीं जानते हैं, फिर भी आप देख सकते हैं कि इसका ढलान ऋणात्मक है और अंतरंग ऋणात्मक है (-5.5 के समन्वय के साथ परवलयिक शीर्ष के नीचे)। यदि पाया गया अंतिम उत्तर इन विवरणों से मेल नहीं खाता है, तो आपकी गणना में कोई त्रुटि होनी चाहिए और आपको फिर से जांच करने की आवश्यकता है।

2. 

   
   
   समीकरण को खोजने के लिए पहला व्युत्पन्न प्राप्त करें ढाल स्पर्शरेखा रेखा की। फ़ंक्शन f (x) के साथ, पहला व्युत्पन्न f '(x) f (x) के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के लिए समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। डेरिवेटिव लेने के कई तरीके हैं। बिजली नियम का उपयोग करके यहां एक सरल उदाहरण दिया गया है:
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता): ग्राफ एक फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है।
     व्युत्पन्न लेने पर पावर नियम को याद करते हुए:।
     फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न = f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0।
     f '(x) = x + 3. किसी मान के साथ x को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण हमें बिंदु x = a पर स्पर्शरेखा फ़ंक्शन f (x) का ढलान देगा।

3. 

   
   
   विचाराधीन बिंदु का x मान दर्ज करें। स्पर्शरेखा रेखा को खोजने के लिए बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए समस्या पढ़ें। इस बिंदु के समन्वय को f '(x) में दर्ज करें। प्राप्त परिणाम उपरोक्त बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता): लेख में उल्लिखित बिंदु (-6, -1) है। विकर्ण -6 वोल्टेज का उपयोग f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     स्पर्शरेखा रेखा का ढलान -3 है।

4. 

   
   
   कोण के गुणांक और उस पर एक बिंदु को जानते हुए एक सीधी रेखा के रूप के साथ एक स्पर्शरेखा रेखा के लिए एक समीकरण लिखें। यह रैखिक समीकरण के रूप में लिखा गया है। के भीतर, म ढलान है और स्पर्शरेखा रेखा पर एक बिंदु है। अब आपके पास इस फॉर्म में एक स्पर्शरेखा समीकरण लिखने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है।
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता):
     स्पर्शरेखा रेखा का ढलान -3 है, इसलिए:
     स्पर्शरेखा रेखा बिंदु (-6, -1) से होकर गुजरती है, इसलिए अंतिम समीकरण है:
     संक्षेप में, हम कर सकते हैं:
     

5. 

   आलेखीय पुष्टि। यदि आपके पास एक रेखांकन कैलकुलेटर है, तो उत्तर सही है या नहीं, यह जांचने के लिए मूल फ़ंक्शन और स्पर्शरेखा रेखा पर प्लॉट करें। यदि कागज पर गणना करते हैं, तो यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपके उत्तर में कोई स्पष्ट त्रुटियां नहीं हैं, पहले तैयार किए गए ग्राफ़ का उपयोग करें।
   • उदाहरण 1 (प्रतियोगिता): प्रारंभिक ड्राइंग से पता चलता है कि स्पर्शरेखा रेखा में कोण के नकारात्मक गुणांक हैं और ऑफसेट -5.5 से काफी नीचे है। अभी मिला स्पर्शरेखा समीकरण y = -3x -19 है, जिसका अर्थ है कि -3 कोण का ढलान है और -19 का तालमेल है।

6. 

   अधिक कठिन समस्या को हल करने का प्रयास करें। हम फिर से ऊपर के सभी चरणों से गुजरते हैं।इस बिंदु पर, लक्ष्य x = 2 पर स्पर्शरेखा खोजना है:
   • बिजली नियम का उपयोग करके पहला व्युत्पन्न खोजें:। यह फ़ंक्शन हमें स्पर्शरेखा का ढलान देगा।
   • X = 2 के लिए, खोजें। यह x = 2 पर ढलान है।
   • ध्यान दें कि इस समय, हमारे पास कोई बिंदु नहीं है और केवल x समन्वय करता है। Y निर्देशांक खोजने के लिए, x = 2 को मूल कार्य में बदलें:। स्कोर (2.27) है।
   • एक बिंदु से गुज़रने वाली स्पर्शरेखा रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए और निर्धारित कोण के गुणांक को लिखें:
     
     यदि आवश्यक हो, तो y = 25x - 23 को सरल करें।
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विधि 2 की 2: संबंधित समस्याओं को हल करें

1. 

   ग्राफ पर चरम खोजें। वे ऐसे बिंदु हैं जिन पर ग्राफ एक स्थानीय अधिकतम (दोनों पक्षों पर पड़ोसी बिंदुओं से अधिक बिंदु) या एक स्थानीय न्यूनतम (दोनों तरफ पड़ोसी बिंदुओं की तुलना में कम) पर पहुंचता है। स्पर्शरेखा रेखा में हमेशा इन बिंदुओं (एक क्षैतिज रेखा) पर एक शून्य गुणांक होता है। हालांकि, कोण का गुणांक यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त नहीं है कि यह चरम बिंदु है। उन्हें खोजने के तरीके यहां दिए गए हैं:
   • एफ '(x), स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के ढलान को प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न लें।
   • चरम बिंदु खोजने के लिए समीकरण f '(x) = 0 को हल करें क्षमता.
   • एफ (x) प्राप्त करने के लिए द्विघात व्युत्पन्न को लेते हुए, समीकरण हमें स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के परिवर्तन की दर बताता है।
   • प्रत्येक संभावित चरम पर, समन्वय को बदल दें ए f '' (x) में। यदि f '(a) पॉजिटिव है, तो हमारे पास स्थानीय न्यूनतम है ए। यदि f '(a) ऋणात्मक है, तो हमारे पास एक स्थानीय अधिकतम है। यदि f '(a) 0 है, तो यह चरम नहीं होगा, यह एक विभक्ति बिंदु है।
   • यदि अधिकतम या न्यूनतम पर पहुंच गया ए, चौराहे का निर्धारण करने के लिए एफ (ए) खोजें।

2. 

   सामान्य के समीकरण ज्ञात कीजिए। किसी दिए गए बिंदु पर वक्र की "सामान्य" रेखा उस बिंदु से होकर गुजरती है और स्पर्शरेखा की लम्बवत होती है। सामान्य के लिए समीकरण खोजने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग करें: (सामान्य का ढलान) (सामान्य का ढलान) = -1 जब वे ग्राफ पर एक ही बिंदु पास करते हैं। विशेष रूप से:
   • एफ '(x), स्पर्शरेखा रेखा का ढलान ज्ञात करें।
   • यदि किसी दिए गए बिंदु पर, हमारे पास x = है ए: उस बिंदु पर ढलान निर्धारित करने के लिए f '(a) ज्ञात कीजिए।
   • सामान्य के गुणांक को खोजने के लिए गणना करें।
   • कोण के गुणांकों को जानने के लिए लंबवत के लिए समीकरण लिखें और एक बिंदु जिसके माध्यम से यह गुजरता है।
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सलाह

• यदि आवश्यक हो, तो मूल समीकरण को मानक रूप में फिर से लिखें: f (x) = ... या y = ...