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पाइथागोरस प्रमेय (पाइथागोर) एक व्यापक रूप से प्रयुक्त गणितीय प्रमेय है और इसमें कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं। प्रमेय बताता है कि किसी भी सही त्रिभुज में, दो दाएं पक्षों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है। दूसरे शब्दों में, लंबाई a और b के लंबवत पक्षों और कर्ण लंबाई c के साथ एक सही त्रिकोण में, हमारे पास हमेशा होता है a + b = c। पायथागॉरियन प्रमेय बुनियादी ज्यामिति के मुख्य स्तंभों में से एक है। एक समन्वय विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने जैसे अनगिनत व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।

कदम

विधि 2 का 1: सही त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए

1. 

   सुनिश्चित करें कि आपका त्रिकोण एक सही त्रिकोण है। पायथागॉरियन प्रमेय केवल सही त्रिकोण पर लागू होता है। इसलिए, आगे बढ़ने से पहले, सुनिश्चित करें कि आपका त्रिकोण एक सही त्रिकोण के मानदंडों को पूरा करता है। सौभाग्य से, केवल एक मानदंड है - एक सही त्रिकोण होने के लिए, इसके लिए 90 डिग्री का कोण होना चाहिए।
   • एक दृश्य संकेत के रूप में, सही कोण आमतौर पर एक छोटे वर्ग के साथ चिह्नित होता है, लेकिन एक सर्कल "वक्र" नहीं। त्रिभुज के कोने में इस विशेष चिन्ह को देखें।

2. 

   
   
   त्रिकोण पक्षों को ए, बी, और सी कहते हैं। पायथागॉरियन प्रमेय में, ए और बी समकोण पक्ष हैं, सी कर्ण है - सबसे लंबा पक्ष हमेशा समकोण के विपरीत होता है। तो शुरू करने के लिए, त्रिकोण के छोटे पक्षों को कॉल करें a और b (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पक्ष 'a' या 'b' है), और कर्ण को कॉल करें।

3. 

   
   
   निर्धारित करें कि आपको किस त्रिभुज की आवश्यकता है। पाइथोगोरियन प्रमेय गणितज्ञों को किसी की लंबाई खोजने की अनुमति देता है एक त्रिकोण का कौन सा पक्ष सही है जब तक वे लंबाई जानते हैं अन्य दो किनारों। अज्ञात लंबाई के किनारे का निर्धारण करें - ए, ख, और / या सी। यदि केवल एक किनारा अज्ञात है, तो आप शुरू कर सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए, मान लें कि कर्ण की लंबाई 5 है और इसकी एक भुजा की लंबाई 3 है, लेकिन हमें नहीं पता कि तीसरा पक्ष क्या है। इस मामले में, हम तीसरे पक्ष को खोजने की समस्या को हल करेंगे, क्योंकि हम पहले से ही अन्य दो पक्षों की लंबाई जानते हैं। हम अगले चरणों में इस उदाहरण का उपयोग करेंगे।
   • यदि लंबाई दो बढ़त अज्ञात है, आपको पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करने के लिए एक और किनारे की लंबाई निर्धारित करने की आवश्यकता होगी। मूल त्रिकोणमितीय कार्य मदद कर सकते हैं यदि आप जानते हैं कि त्रिकोण के तेज कोणों में से एक को कैसे मापें।

4. 

   
   
   समीकरण में दो ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। अपने त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को समीकरण a + b = c में प्लग करें। याद रखें कि ए और बी सही कोण हैं और सी कर्ण है।
   • ऊपर के उदाहरण में, हम एक पक्ष और कर्ण की लंबाई जानते हैं (जो 3 और 5 है), इसलिए समीकरण होगा 3 + b² = 5²

5. 

   चुकता। एक समीकरण को हल करने के लिए, ज्ञात किनारों में से प्रत्येक को चुकता करके शुरू करें। इसके अलावा, यदि आपको यह आसान लगता है, तो आप पक्षों की लंबाई को घातीय छोड़ सकते हैं, फिर बाद में उन्हें चौकोर कर सकते हैं।
   • इस उदाहरण में, हम इसे प्राप्त करने के लिए 3 और 5 का वर्ग करेंगे 9 तथा 25। जो समीकरण फिर से लिखा जा सकता है वह 9 + b 25 = 25 है।

6. 

   समीकरण के एक तरफ अज्ञात चर को विभाजित करें। यदि आवश्यक हो, तो अज्ञात चर को समीकरण से अलग और समीकरण के दो वर्ग संख्याओं को अलग रखने के लिए मूल बीजगणित का उपयोग करें। यदि आप कर्ण को ढूंढते हैं, तो सी पहले से ही अलग है, इसलिए आपको इसे अलग करने के लिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है।
   • इस उदाहरण में, वर्तमान समीकरण 9 + b example = 25 है। b subt को विभाजित करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 9 के लिए घटाएं। परिणामी समीकरण b² = 16 है।

7. 

   समीकरण के दोनों किनारों का वर्गमूल प्राप्त करें। अब आपके पास समीकरण के एक तरफ एक वर्ग वाला चर होगा और दूसरे पर एक संख्या होगी। अज्ञात पक्ष लंबाई ज्ञात करने के लिए बस दोनों पक्षों का वर्गमूल लें।
   • इस उदाहरण में, b this = 16, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने से b = 4 मिलता है। इस प्रकार, जिस पक्ष की लंबाई पाई जानी है, वह है 4.

8. 

   एक वास्तविक सही त्रिभुज का पक्ष ज्ञात करने के लिए पाइथोगोरियन प्रमेय का उपयोग करें। आज इस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग करने का कारण यह है कि यह व्यावहारिक स्थितियों की एक भीड़ पर लागू होता है। जीवन में एक समकोण त्रिभुज को पहचानना सीखें - कोई भी स्थिति जहाँ दो वस्तुएँ या दो रेखाएँ एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं और तीसरी वस्तु या रेखा उस समकोण को काटती हैं, आप झाना का उपयोग कर सकते हैं। पाइथोगोरियन विधि में से एक की लंबाई खोजने के लिए अन्य दो की लंबाई दी गई है।
   • व्यवहार में एक उदाहरण लें। एक सीढ़ी इमारत के खिलाफ झुक रही है। दीवार के पैर से सीढ़ी 5 मीटर है। इमारत की ऊँचाई 20 मीटर तक। सीढ़ी कब तक है?
     • दीवार के पैर से सीढ़ी 5 मीटर और भवन की दीवार के 20 मीटर हमें त्रिकोण के किनारों की लंबाई बताती है। चूँकि दीवार और ज़मीन एक समकोण पर अन्तर्विभाजित होती है और सीढ़ी तिरछे कदम की ओर बढ़ती है, हम इसे एक समकोण त्रिभुज के रूप में कल्पना कर सकते हैं जिसकी लम्बाई a = 5 और b = 20 है। सीढ़ी कर्ण, इसलिए सी पता नहीं है। आइए पाइथोगोरियन प्रमेय का उपयोग करें:
       • a² + b² = c²
       • (5) 5 + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c +
       • 425 = c²
       • का वर्गमूल (425) = c
       • सी = 20.6। सीढ़ी की अनुमानित लंबाई 20.6 मीटर है।
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2 की विधि 2: एक्स-वाई प्लेन में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें

1. 

   एक्स-वाई विमान में दो बिंदुओं को निर्धारित करें। पायथागॉरियन प्रमेय आसानी से एक्स-वाई विमान में दो बिंदुओं के बीच रैखिक दूरी की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। आपको बस यह जानना चाहिए कि किसी भी दो बिंदुओं का x और y निर्देशांक क्या है। आमतौर पर, ये निर्देशांक निर्देशांक (x, y) के क्रम के जोड़े में लिखे जाते हैं।
   • इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु को सही त्रिकोण के तेज कोणों में से एक मानेंगे। इस तरह, साइड की लंबाई ए और बी का पता लगाना आसान है, और फिर साइड सी या बिल्कुल दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें।

2. 

   ग्राफ पर दो अंक बनाएँ। प्रत्येक बिंदु (x, y) के लिए एक सामान्य X-Y विमान में, x क्षैतिज अक्ष पर निर्देशांक है और y ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निर्देशांक है। आप उन्हें ग्राफ़ पर प्लॉट किए बिना दो बिंदुओं के बीच की दूरी पा सकते हैं, लेकिन ग्राफ़िंग आपको बेहतर देखने में मदद करेगी।

3. 

   त्रिभुज के दाईं ओर की लंबाई ज्ञात कीजिए। कर्ण से सटे त्रिभुज के कोण के रूप में दिए गए दो बिंदुओं का उपयोग करते हुए, पक्षों को त्रिभुज के a और b का पता लगाएं। आप इसे नेत्रहीन एक ग्राफ पर, या सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं। x |₁ - एक्स₂| क्षैतिज किनारों और | y के लिए₁ - y₂| ऊर्ध्वाधर किनारे के लिए, जहां (एक्स₁, वाई₁) पहला बिंदु है और (x)₂, वाई₂) दूसरा बिंदु है।
   • मान लें कि दो बिंदु (6,1) और (3,5) हैं। त्रिभुज के क्षैतिज पक्ष की लंबाई है:
     • | एक्स₁ - एक्स₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • ऊर्ध्वाधर किनारे की लंबाई है:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • अतः हम कह सकते हैं कि इस समकोण त्रिभुज में, a = 3 और पक्ष b = 4 है।

4. 

   कर्ण के लिए समीकरण को हल करने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें। दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी एक त्रिभुज का कर्ण है जिसमें दो समकोण भुजाएँ हैं जैसा कि हमने अभी निर्धारित किया है। कर्ण को खोजने के लिए सामान्य पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, पहले पक्ष की लंबाई और दूसरी तरफ की लंबाई बी का उपयोग करें।
   • अंक (3,5) और (6,1) के साथ उदाहरण में, समकोण की लंबाई 3 और 4 है, इसलिए हम निम्न प्रकार से कर्ण लंबाई की गणना करते हैं:

     • (3) 3 + (4) ² = c²

       c = (9 + 16) का वर्गमूल

       ग = (25) का वर्गमूल

       c = 5. दो बिंदुओं (3,5) और (6,1) के बीच की दूरी है 5.

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सलाह

• कर्ण हमेशा है:
  • समकोण समकोण (समकोण पार नहीं करते)
  • दायें त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है
  • द्वारा प्रतिनिधित्व सी पाइथागोरस प्रमेय में
• हमेशा परिणामों की जांच करें।
• एक और परीक्षण - सबसे लंबे पक्ष का सामना सबसे बड़ा होगा और सबसे छोटा पक्ष सबसे छोटे का सामना करेगा।
• एक सही त्रिकोण में, आप केवल तीसरे पक्ष को जानते हैं जब आप अन्य दो पक्षों की लंबाई जानते हैं।
• यदि त्रिभुज एक सही त्रिभुज नहीं है, तो आपको साइड की लंबाई के अलावा अधिक जानकारी होनी चाहिए।
• क, ख, और ग में सटीक मान निर्दिष्ट करने के लिए आपको एक रेखाचित्र में त्रिकोण का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, विशेष रूप से तर्क या शब्द समस्याओं के लिए।
• यदि आपके पास केवल एक तरफा माप है, तो आप पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग नहीं कर सकते। इसके बजाय त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (पाप, कॉस, टैन) या 30-60-90 / 45-45-90 अनुपात का उपयोग करें।