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• जिसकी आपको जरूरत है

फ़ैक्टर दी गई संख्या ऐसी संख्याएँ हैं, जिन्हें गुणा करने पर, दिए गए संख्या का गुणनफल होगा। इसे दूसरे तरीके से सोचें, सभी संख्याएं कई कारकों का उत्पाद हैं। यह सीखना कि किस प्रकार कारकों को संख्या में विभाजित करना या विभाजित करना - एक महत्वपूर्ण गणितीय कौशल है जो न केवल मूल अंकगणित में बल्कि बीजगणित, एकीकरण और भी बहुत कुछ में लागू होता है। संख्या 1 को सीखना शुरू करें कि एक संख्या कैसे फैक्ट करें!

कदम

विधि 1 की 2: एक कारक के लिए एक मूल पूर्णांक का विश्लेषण करें

1. 

   अपना नंबर लिखें। अपना विश्लेषण शुरू करने के लिए, आपको एक संख्या - किसी भी संख्या की आवश्यकता होती है, लेकिन लेख के प्रयोजनों के लिए एक साधारण पूर्णांक के साथ शुरू होता है। पूर्णांक वे संख्याएँ जिनमें कोई भिन्न या दशमलव नहीं होता है (संपूर्ण संख्याओं में सभी सकारात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक शामिल होते हैं)।
   • कृपया नंबर चुनें 12। इस नंबर को स्क्रैच पेपर पर लिख लें।

2. 

   
   
   उन दो और नंबरों का पता लगाएं, जिनके उत्पाद को आपने चुना है। कोई भी पूर्णांक दो अन्य पूर्णांकों के उत्पाद लिख सकता है। यहां तक ​​कि एक अभाज्य संख्या 1 और स्वयं का उत्पाद लिख सकते हैं। एक संख्या को दो कारकों के उत्पाद के रूप में सोचकर आप "पीछे की ओर" सोच सकते हैं - आप सोच रहे होंगे, "इस संख्या में कौन सा गुणन परिणाम है?"
   • हमारे उदाहरण के लिए, 12 में कुछ कारक हैं जैसे 12 × 1, 6 × 2 और 3 × 4 सभी 12 के बराबर हैं। इसलिए हम कह सकते हैं कि 12 के कारक हैं 1, 2, 3, 4, 6, और 12। कृपया इस लेख के प्रयोजनों के लिए कारकों ६ और २ का उपयोग करें।
   • यहां तक ​​कि संख्याओं का विश्लेषण करना विशेष रूप से आसान है क्योंकि सभी सम संख्याओं का कारक 2 है। 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2, आदि।

3. 

   
   
   निर्धारित करें कि क्या वर्तमान कारकों का आगे विश्लेषण किया जा सकता है। संख्याओं की संख्या - विशेष रूप से बड़ी संख्याओं - का एक से अधिक बार विश्लेषण किया जा सकता है। एक बार जब आपको किसी दिए गए नंबर के दो कारक मिल जाते हैं, यदि किसी कारक के अपने कारक होते हैं, तो आप विश्लेषण भी कर सकते हैं यह कारक छोटे कारकों के लिए। मामले के आधार पर, विश्लेषण फायदेमंद हो सकता है या नहीं।
   • हमारे उदाहरण में, संख्या 12 को 2 × 6 में विघटित किया गया है। ध्यान दें कि 6 का भी अपना कारक है - 3 × 2 = 6. इसलिए हम कह सकते हैं कि 12 = 2 × (3 × 2).

4. 

   
   
   सभी कारकों के प्रमुख होने पर विश्लेषण रोकें। प्राइम संख्याएं हैं जो केवल 1 और खुद से विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, 13 और 17 प्रमुख संख्याएँ हैं। जब आपने मुख्य कारकों के कुछ उत्पादों का विश्लेषण किया है, तो आगे का विश्लेषण बेमानी है। इसके अलावा इन प्रदर्शन कारकों का विश्लेषण स्वयं करें और किसी का कोई प्रभाव नहीं है, इसलिए आप रोक सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, 12 को 2 × (2 × 3) में विघटित किया गया है। 2, 2, और 3 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं। यदि हम इसका और विश्लेषण करते हैं, तो हमें इसे (2 × 1) × ((2 × 1) (3 × 1)) को विघटित करना होगा, जिसका आमतौर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है और इसे नजरअंदाज कर दिया जाता है।

5. 

   उसी तरह से नकारात्मक संख्याओं का विश्लेषण करें। नकारात्मक संख्याओं के विश्लेषण का तरीका सकारात्मक संख्याओं के विश्लेषण के तरीके के अनुरूप है। अंतर केवल इतना है कि कारकों का उत्पाद ऋणात्मक संख्या होना चाहिए, इसलिए नकारात्मक मान वाले कारकों की संख्या विषम संख्या होनी चाहिए।
   • उदाहरण के लिए, चलो -60 का विश्लेषण करते हैं। जिससे:
     • -60 = -10 × 6
     • -60 = (-5 × 2) × 6
     • -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
     • -60 = -5 × 2 × 3 × 2। ध्यान दें कि जब तक नकारात्मक कारकों की संख्या एक विषम संख्या है, तब तक सभी कारकों का उत्पाद ऋणात्मक होगा, जैसे कि केवल एक नकारात्मक कारक था। उदाहरण के लिए, -5 × 2 × -3 × -2 -60 के बराबर भी।
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विधि 2 का 2: फैक्टरों में बड़ी संख्याओं का विघटन कैसे करें

1. 

   2-कॉलम तालिका के ऊपर अपना नंबर लिखें। कारकों के लिए छोटी संख्या का विश्लेषण आमतौर पर काफी सरल है, लेकिन बड़ी संख्या का विश्लेषण करना अधिक जटिल है। पेन और पेपर का उपयोग किए बिना हम में से अधिकांश को मुख्य कारकों में 4 या 5 अंकों की संख्या को पार्स करने में परेशानी होगी। सौभाग्य से, जब साजिश रचते हैं, तो प्रक्रिया बहुत आसान हो जाती है। दो कॉलम के साथ टी-चार्ट के ऊपर अपनी संख्या लिखें - इसका उपयोग आप उन कारकों की सूची पर नज़र रखने के लिए करेंगे जो वृद्धि करते हैं।
   • हमारे उदाहरण के लिए, चलो कारक विश्लेषण के लिए 4-अंकीय संख्या चुनते हैं, जो है 6.552.

2. 

   अपने नंबर को सबसे छोटे अभाज्य गुणक द्वारा विभाजित करें। अपने नंबर को सबसे छोटे (1 में से) मुख्य कारक से विभाजित करें जिससे आपका नंबर विभाजित हो और शेष न रह जाए। बाएं कॉलम में प्रमुख कारक लिखें और भाग को दाएं कॉलम में रिकॉर्ड करें।जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यहां तक ​​कि संख्याओं का विश्लेषण करना आसान है क्योंकि उनके सबसे छोटे प्रमुख कारक हमेशा 2 होते हैं। दूसरी ओर, विषम संख्याओं में एक अलग सबसे छोटा प्रधान कारक 2 होगा।
   • हमारे उदाहरण में, चूंकि 6,552 एक सम संख्या है, हम जानते हैं कि 2 इस संख्या का सबसे छोटा कारक है। 6,552 55 2 = 3,276। बाएं कॉलम में, हम लिखते हैं 2, तथा 3.276 दाहिने कॉलम में।

3. 

   इस तरह से फैक्टराइजेशन जारी रखें। इसके बाद, तालिका के ऊपर की संख्याओं का उपयोग करने के बजाय, इसके सबसे छोटे अभाज्य कारक द्वारा सही कॉलम में संख्या को विभाजित करें। बाएं कॉलम में नए प्राइम कारक और राइट कॉलम में नए डिवीजन परिणाम लिखें। इस प्रक्रिया को जारी रखें - प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, दाहिने कॉलम में नंबर छोटे और छोटे हो जाते हैं।
   • कृपया विश्लेषण करना जारी रखें। 3.276 27 2 = 1.638, इसलिए हम एक नंबर लिखेंगे 2 निचले बाएँ स्तंभ, और लिखें 1.638 निचला दायाँ स्तंभ। 1.638। 2 = 819, इसलिए हम लिखेंगे 2 तथा 819 अब जैसे दो कॉलम के निचले भाग पर।

4. 

   छोटे प्रमुख कारकों द्वारा इसे विभाजित करने की कोशिश करके विषम संख्याओं का विश्लेषण करें। विषम संख्याओं का सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड संख्याओं की तुलना में अधिक कठिन होता है क्योंकि उनके पास स्वतः 2 सबसे छोटे प्रधान कारक नहीं होते हैं। जब आप एक विषम संख्या प्राप्त करते हैं, तो इसे कुछ अन्य छोटे primes 2 - 3, 5, 7, 11 और इसी तरह से विभाजित करने का प्रयास करें, जब तक कि यह विषम संख्या एक अभाज्य संख्या और शून्य से विभाज्य न हो। एक संतुलन छोड़ दें। वह सबसे छोटा प्रधान कारक है।
   • हमारे उदाहरण के लिए, हमें 819 मिलता है। 819 एक विषम संख्या है, इसलिए 2 819 का कारक नहीं है। 2 लिखने के बजाय, हम अगले अभाज्य संख्या की कोशिश करेंगे: 3. 819 get 3 = 273 और कोई शेष नहीं है, इसलिए हम लिखते हैं 3 तथा 273.
   • कारकों का अनुमान लगाते समय, आपको उन सभी अभाज्य संख्याओं को आज़माना चाहिए जो आपके द्वारा पाए गए सबसे बड़े कारक के वर्गमूल से कम या बराबर हैं। यदि आपका नंबर किसी भी कारक से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, तो आप शायद एक अभाज्य संख्या को विघटित करने का प्रयास कर रहे हैं, और कारक विश्लेषण वहां रुक सकता है।

5. 

   जारी रखें जब तक भागफल 1 है। जब तक आपके पास दाहिने कॉलम में संख्या न हो, तब तक संख्या को उसके सबसे छोटे प्रधान द्वारा सही कॉलम में विभाजित करना जारी रखें। इस संख्या को स्वयं से विभाजित करें - यह बाएं कॉलम में संख्या और दाहिने कॉलम में "1" रिकॉर्ड करेगा।
   • आइए हमारे आंकड़े का विश्लेषण पूरा करें। नीचे विस्तृत विवरण देखें:
     • अगला भाग 3: 273 = 3 = 91 से विभाजित है, कोई शेष नहीं है, इसलिए हम लिखते हैं 3 तथा 91.
     • आइए 3 का प्रयास करें: 3 91 का कारक नहीं है, और सबसे छोटी अभाज्य संख्या (5) भी 91 का कारक नहीं है, लेकिन 91 = 7 = 13 है, कोई शेष नहीं है। लिखो 7 तथा 13.
     • 7: 7 के साथ प्रयास करते रहें जो 13, 11 का कारक नहीं है (अभाज्य संख्या तुरंत इस प्रकार है), लेकिन 13 का एक कारक है जो स्वयं है: 13 itself 13 = 1. तो, तालिका को पूरा करने के लिए। विश्लेषण, हम लिखते हैं 13 तथा 1। हम यहां विश्लेषण करना बंद कर सकते हैं।

6. 

   बाएं कॉलम में संख्याएं आपके द्वारा मूल रूप से चुने गए नंबर के कारक हैं। जब सही कॉलम नंबर 1 के साथ समाप्त होता है, तो आप कर रहे हैं। बाएं कॉलम में नंबर वही हैं जो आप खोज रहे हैं। दूसरे शब्दों में, उन नंबरों का उत्पाद बोर्ड पर दर्शाई गई संख्या के समान होगा। यदि इन कारकों को एक से अधिक बार दोहराया जाता है, तो आप अंतरिक्ष को बचाने के लिए घातांक अंकन का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके कारक अनुक्रम में चार 2s हैं, तो आप 2 के बजाय 2 × 2 × 2 × 2 लिख सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, 6.552 = 2 × 3 × 7 × 13। मुख्य कारक के रूप में 6,552 का विश्लेषण करने के बाद यह पूर्ण परिणाम है। चाहे जिस क्रम में गुणा किया जाए, अंतिम उत्पाद 6,552 के बराबर होगा।
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सलाह

• एक महत्वपूर्ण बिंदु संख्याओं की अवधारणा है तत्त्व: एक संख्या जिसमें केवल 1 और उसके दो कारक हैं। 3 अभाज्य है क्योंकि इसके कारक केवल 1 और 3 हैं। इसके विपरीत, 4 का दूसरा कारक है 2. एक संख्या जो अभाज्य संख्या नहीं है उसे कहा जाता है संख्या संयोजन। (संख्या 1 को ही प्रधान नहीं माना जाता है और यह समग्र भी नहीं है - यही स्थिति है।)
• सबसे छोटे अपराध 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 और 23 हैं।
• ऐसा समझें कि एक संख्या पर विचार किया जाता है फ़ैक्टर एक और बड़ी संख्या में यदि अधिक संख्या "छोटी संख्या से विभाज्य है" - अर्थात, बड़ी संख्या छोटी संख्या से विभाज्य है और शेष नहीं बचती है। उदाहरण के लिए, 6 24 का कारक है, क्योंकि 24 4 6 = 4 है और कोई शेष नहीं है। इसके विपरीत, 6 25 का कारक नहीं है।
• कुछ संख्याओं का विश्लेषण तेजी से किया जा सकता है, लेकिन उपरोक्त दृष्टिकोण हमेशा प्रभावी होता है, और इसके अलावा, प्रमुख कारक आरोही क्रम में सूचीबद्ध होते हैं जैसा कि आप कर रहे हैं।
• याद रखें कि हम केवल "प्राकृतिक संख्या" का उल्लेख करते हैं - कभी-कभी "मायने रखता है": 1, 2, 3, 4, 5 के रूप में संदर्भित किया जाता है ... हम नकारात्मक संख्या या भिन्न में नहीं जाएंगे, जिसे अलग-अलग लेखों में संबोधित किया जा सकता है।
• यदि संख्या के अंकों का योग तीन से विभाज्य है, तो तीन लाभांश का एक कारक है। (819 में अंकों का योग 8 + 1 + 9 = 18, 1 + 8 = 9. तीन नौ का एक कारक है, इसलिए यह 819 का कारक भी है।)

चेतावनी

• अनावश्यक अतिरिक्त काम न करें। एक बार जब आपने एक कारक मान निकाल दिया है, तो आपको फिर से प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है। एक बार जब हम यह सुनिश्चित कर लेते हैं कि 2 819 का कारक नहीं है, तो हमें शेष प्रक्रिया के लिए 2 के साथ फिर से प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है।

जिसकी आपको जरूरत है

• कागज़
• लेखन बिंदु, एक पेंसिल और इरेज़र का उपयोग करें
• कंप्यूटर (वैकल्पिक)