विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• भाग 1 की 3: शक्तियों और जड़ों को समझना
• भाग 2 का 3: लंबी श्रेणी के एल्गोरिदम का उपयोग करना
• भाग 3 की 3: जल्दी अपूर्ण वर्गों का अनुमान है
• टिप्स

जबकि एक वर्गमूल चिह्न का भयभीत दृश्य लोगों को गणित की चिंता के साथ कर सकता है, वर्गमूल समस्याओं को हल करना उतना मुश्किल नहीं है जितना वे लग सकते हैं। सरल वर्गमूल समस्याओं को अक्सर सरल गुणन और विभाजन समस्याओं के रूप में आसानी से हल किया जा सकता है। दूसरी ओर, अधिक जटिल वर्गमूल की समस्याएं थोड़ा और काम ले सकती हैं, लेकिन सही दृष्टिकोण के साथ, यहां तक ​​कि इन समस्याओं को आसानी से हल किया जा सकता है। अपने शायद नए गणित कौशल के लिए उन्हें सीखने के लिए आज वर्गमूल की समस्याओं का अभ्यास करना शुरू करें!

कदम बढ़ाने के लिए

भाग 1 की 3: शक्तियों और जड़ों को समझना

1. एक संख्या को अपने आप से गुणा करके। जड़ों को समझने के लिए, चौकों के साथ शुरू करना सबसे अच्छा है। स्क्वेरिंग करना आसान है - एक संख्या को स्क्वेर करना इसे अपने आप से गुणा करने के बराबर है। उदाहरण के लिए, 3 वर्ग 3 × 3 = 9 के समान हैं, और 9 वर्ग 9 × 9 = 81 के समान हैं। वर्गों को ऊपर एक छोटे '2' द्वारा इंगित किया गया है और संख्या वर्ग के दाईं ओर - जैसे: 3, 9, 100, आदि।
   • इस अवधारणा को परखने के लिए स्वयं कुछ और संख्याओं को चुकता करने का प्रयास करें। ध्यान रखें कि किसी संख्या को चुकाना उस संख्या को स्वयं से गुणा करने के अलावा और कुछ नहीं है। आप इसे ऋणात्मक संख्याओं के साथ भी कर सकते हैं। सभी मामलों में, उत्तर हमेशा सकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए: -8 = -8 × -8 = 64.
2. एक संख्या के वर्गमूल को खोजने के लिए, एक वर्ग के "रिवर्स" का पता लगाएं। वर्गमूल (√, जिसे "रूट साइन" भी कहा जाता है) का प्रतीक मूल रूप से वर्ग चिन्ह () का "विपरीत" है। यदि आपको एक वर्गमूल चिह्न दिखाई देता है, तो आप स्वयं से पूछ सकते हैं, `` वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या प्राप्त करने के लिए मैं स्वयं किस संख्या से गुणा कर सकता हूँ? '' उदाहरण के लिए, यदि आप वर्गमूल √ (9), आप देखते हैं ' उस संख्या की तलाश कर रहे हैं जिसके गुणनफल में नौ उसके उत्पाद के रूप में है। इस मामले में यह है तीन, क्योंकि 3 = 9।
   • एक और उदाहरण: हम 25 () (25)) का वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं। इसका मतलब यह है कि हमें उस संख्या को खोजना होगा, जिसे गुणन से गुणा किया गया है, जिसमें उत्पाद के रूप में 25 है। 5 = 5 × 5 = 25 के बाद से, हम कह सकते हैं कि 25 (25) = 5.
   • आप इसे "पूर्ववत करना" एक वर्ग (या शक्ति संख्या) के रूप में भी सोच सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम 64 (,64) का वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं, तो पहले 64 पर विचार करें 8. चूंकि एक वर्गमूल चिन्ह मूल रूप से एक वर्ग को समाप्त करता है "," हम कह सकते हैं कि √ (64) = √ (8) = 8.
3. पूर्ण और अपूर्ण वर्गों के बीच अंतर को जानें। अब तक, वर्गमूल समस्याओं के उत्तर अच्छे, गोल संख्याएँ हैं। यह हमेशा किसी भी तरह से नहीं होता है - वास्तव में, वर्गमूल के उत्तर हैं जो बहुत लंबे, अनाड़ी दशमलव संख्या हैं। रूट नंबर जो पूरे नंबर होते हैं (दूसरे शब्दों में, वे नंबर जो अंश या दशमलव संख्या नहीं होते हैं) कहलाते हैं वर्गों। उपरोक्त सभी उदाहरण (9, 25, और 64) वर्ग (उर्फ परफेक्ट स्क्वायर) हैं, क्योंकि वर्गमूल लेते समय, हमें परिणाम के रूप में पूरे नंबर (3, 5 और 8) मिलते हैं।
   • दूसरी ओर, वर्गमूल कहे जाने वाले संख्याओं के बाद पूरी संख्या नहीं निकलती है, अपूर्ण वर्ग। जब आप इनमें से किसी एक संख्या का वर्गमूल लेते हैं, तो आप आमतौर पर एक दशमलव या अंश प्राप्त करते हैं। कभी-कभी इसमें शामिल दशमलव विशेष रूप से गड़बड़ हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, √ (13) = 3,605551275464…
4. पहले 10-12 वर्ग याद करें। जैसा कि आपने शायद देखा है, वर्गमूल या वर्ग अक्सर बहुत आसान होते हैं! क्योंकि ये गणित की समस्याएं इतनी सरल हैं, इसलिए पहले 12 या अधिक वर्गों की जड़ों को सीखने में आपका समय लगता है। आप इन नंबरों को बहुत अधिक देखेंगे, इसलिए आप उन्हें जल्दी सीखकर लंबे समय में काफी समय बचा सकते हैं। पहले 12 वर्ग हैं:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. जहां संभव हो, वर्गों को हटाकर जड़ों को सरल बनाएं। अपूर्ण वर्गों की जड़ों को खोजना कई बार मुश्किल हो सकता है - खासकर यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर रहे हैं (इस प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए ट्रिक्स के लिए नीचे दिए गए अनुभाग देखें)। हालांकि, स्क्वायर रूट साइन के तहत संख्याओं को सरल करना अक्सर संभव होता है ताकि इसके साथ काम करना आसान हो सके। ऐसा करने के लिए, आपको बस इतना करना है कि वर्गमूल चिह्न के नीचे संख्या को फैक्टराइज़ करें, फिर वर्गमूल के कारकों की वर्गमूल लें और वर्गमूल चिह्न के बाहर उत्तर लिखें। यह लगता है की तुलना में आसान है - अधिक जानने के लिए पर पढ़ें!
   • मान लीजिए कि आप 900 के वर्गमूल की गणना करना चाहते हैं।पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल लग रहा है! हालाँकि, यह मुश्किल नहीं है जब हम 900 का कारक बनते हैं। "कारक" वे संख्याएं हैं जो एक और संख्या बनाने के लिए एक साथ गुणा कर सकती हैं। उदाहरण के लिए, क्योंकि 6 1 × 6 और 2 × 3 का उत्पाद है, 6 के कारक संख्या 1, 2, 3 और 6 हैं।
   • 900 की संख्या के साथ गणना करने के बजाय, जो थोड़ा अजीब है, हम इसे 9 × 100 के रूप में लिखते हैं। अब, चूंकि 9 एक पूर्ण वर्ग है और 100 से अलग है, हम इसकी वर्गमूल ले सकते हैं। 100 (9 × 100) = √ (9) × 100 (100) = 3 × √ (100)। दूसरे शब्दों में, other (900) = 3√(100).
   • हम कारकों 25 में 100 और विभाजित करके इन दो चरणों को और भी सरल कर सकते हैं। 4. ify (100) = √ (25 × 4) = 4 (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. इसलिए हम कर सकते हैं यह कहें कि 900 (900) = 3 (10) = 30.
6. नकारात्मक संख्याओं की जड़ों के लिए काल्पनिक संख्याओं का उपयोग करें। कौन सा वर्ग -16 है? यह 4 या -4 नहीं है - दोनों को चुकता करना 16 (सकारात्मक) देता है। नहीं बूझते हो? वास्तव में, नियमित संख्या के साथ -16 या किसी अन्य ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल लिखने का कोई तरीका नहीं है। इन मामलों में, हमें नकारात्मक संख्याओं के वर्गमूल को बदलने के लिए काल्पनिक संख्याओं (आमतौर पर अक्षरों या प्रतीकों के रूप में) का उपयोग करना होगा। उदाहरण के लिए, चर "i" का उपयोग आमतौर पर -1 के वर्गमूल के लिए किया जाता है। एक सामान्य नियम के रूप में, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा एक काल्पनिक संख्या होगी (या जिसमें एक होता है)।
   • नोट: हालांकि काल्पनिक संख्याओं को नियमित संख्याओं के साथ नहीं दर्शाया जा सकता है, फिर भी उन्हें कई तरीकों से नियमित संख्याओं के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, नकारात्मक संख्याओं की जड़ों को उन नकारात्मक संख्याओं को देने के लिए चुकता किया जा सकता है, किसी भी अन्य वर्गमूल की तरह। उदाहरण के लिए: i = -1.

भाग 2 का 3: लंबी श्रेणी के एल्गोरिदम का उपयोग करना

1. अपनी वर्गमूल समस्या को लंबे विभाजन की तरह व्यवस्थित करें। हालांकि यह थोड़ा समय लेने वाला हो सकता है, लेकिन कैलकुलेटर के बिना मुश्किल अपूर्ण वर्गों की जड़ों की गणना करना संभव है। ऐसा करने के लिए, हम एक समाधान विधि (या) का उपयोग करते हैं कलन विधि) जो समान है - लेकिन लंबे विभाजन के समान नहीं है।
   • सबसे पहले, एक लंबे विभाजन के रूप में उसी तरह वर्गमूल लिखिए। उदाहरण के लिए, मान लें कि हम 6.45 के वर्गमूल की गणना करना चाहते हैं, जो कि किसी भी तरह से एक आसान पूर्ण वर्ग नहीं है। पहले हम एक नियमित वर्गमूल चिन्ह (√) लिखते हैं, फिर हम उसके नीचे संख्या लिखते हैं। अगला, हम संख्या के ऊपर एक रेखा खींचते हैं ताकि यह एक छोटे से "बॉक्स" में हो - जैसे कि लंबे विभाजन में। जब हम कर रहे हैं, हम एक लम्बी "ated" इसके नीचे 6.45 के साथ होगा।
   • हम समस्या के ऊपर संख्या लिखते हैं, इसलिए कुछ स्थान छोड़ दें।
2. जोड़े में संख्याओं का समूह बनाएं। अपनी समस्या को हल करने के लिए, दशमलव बिंदु से शुरू होकर, जोड़े में वर्गमूल के तहत संख्या के अंकों को समूहबद्ध करें। आप उन्हें अलग-अलग बताने के लिए अपनी जोड़ी के बीच छोटे निशान (जैसे पीरियड्स, स्लैश, कॉमा इत्यादि) लगा सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हम 6.45 को जोड़े में विभाजित करते हैं: 6-,45-00। ध्यान दें कि बाईं ओर "शेष" अंक है जो इरादा है।
3. सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिसका वर्ग पहले "समूह" से कम या बराबर है। बाईं ओर पहले नंबर या जोड़ी से शुरू करें। एक वर्ग के साथ सबसे बड़ी संख्या चुनें जो "समूह" से कम या उसके बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि समूह 37 है, तो आप 6 का चयन करेंगे क्योंकि 6 = 36 (37 से कम), लेकिन 7 = 49 (37 से अधिक)। इस संख्या को पहले समूह के ऊपर लिखें। यह आपके उत्तर का पहला अंक है।
   • हमारे उदाहरण में, 6-, 45-00 में पहला समूह 6. 6 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ी संख्या है 2 - 2 = 4. वर्गमूल चिह्न के नीचे 6 से ऊपर "2" लिखें।
4. अपने द्वारा लिखे गए नंबर को दोगुना करें, इसे पहले समूह के नीचे लिखें और घटाएं। अपने उत्तर का पहला अंक लें (जो संख्या आपको अभी मिली है) और उसे दोगुना करें। अपने पहले समूह के तहत इसे लिखें और अंतर खोजने के लिए घटाएं। नीचे दिए गए उत्तर के बगल में संख्याओं की अगली जोड़ी रखें। अंत में, बाईं ओर अपने उत्तर के पहले अंक के दोहरे अंक को लिखें, इसके बगल में कुछ स्थान छोड़ दें।
   • हमारे उदाहरण में, हम 2 के दोहरे से शुरू करते हैं, हमारे उत्तर का पहला अंक। 2 × 2 = 4. फिर हम 6 से 4 घटाते हैं (हमारा पहला "समूह") और हमें उत्तर के लिए 2 मिलता है। फिर हम 245 प्राप्त करने के लिए अगले समूह (45) को एक पंक्ति से नीचे ले जाते हैं। अंत में, हम बाईं ओर एक और 4 लिखते हैं, अंत में जोड़ने के लिए थोड़ा स्थान छोड़ते हैं, जैसे: 4_।
5. खाली जगह भरें। फिर इरादा उस नंबर के दाईं ओर एक अंक जोड़ने का है जिसे आपने बाईं ओर लिखा है। एक ऐसी संख्या चुनें जो आपके नए नंबर से गुणा हो, सबसे बड़ा संभावित उत्पाद प्राप्त करेगी, फिर भी "खींची गई" संख्या से कम या बराबर। उदाहरण के लिए, यदि आपकी 'डाउन डाउन' संख्या 1700 है और बाईं ओर की संख्या 40_ है, तो आप '404' के साथ रिक्त स्थान भरेंगे क्योंकि 404 × 4 = 1616 (1700 से कम), जबकि 405 × 5 - 2025 यह संख्या आपको इस चरण में मिलती है यह आपके उत्तर का दूसरा अंक है, इसलिए आप इसे वर्गमूल चिह्न के ऊपर जोड़ सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हम 4_ × _ में खाली स्थान को भरने के लिए संख्या की तलाश कर रहे हैं; जो उत्तर को यथासंभव बड़ा बनाता है, लेकिन फिर भी 245 से कम या उसके बराबर होता है। इस मामले में, उत्तर है 5। 45 × 5 = 225, जबकि 46 × 6 = 276।
6. अपने उत्तर के लिए अपनी "रिक्त" संख्या का उपयोग करना जारी रखें। जब तक आप "खींचा गया" संख्या को घटाते हैं, या आप वांछित सटीकता तक पहुंच चुके हों, तब तक इस समायोजित लंबे विभाजन को जारी रखें। जब आप किए जाते हैं, तो आप प्रत्येक चरण में रिक्त स्थान भरने के लिए उपयोग किए गए नंबर (साथ ही आपके द्वारा उपयोग किया गया पहला नंबर) आपके उत्तर के अंक होते हैं।
   • हम अपने उदाहरण के साथ जारी रखेंगे और 225 - 245 = 20 के साथ जारी रखेंगे। फिर हम 2000 बनाने के लिए अंकों की अगली जोड़ी, 00 को नीचे लाते हैं। यदि हम वर्गमूल चिह्न के ऊपर संख्या को दोगुना करते हैं, तो हमें 25 × 2 = 50 मिलते हैं। यदि हम अज्ञात के लिए 50_ × _ = / 2000 में हल करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं 3 जवाब में। इस बिंदु पर हमारे पास स्क्वायर रूट साइन के ऊपर "253" है - यदि हम इसे फिर से दोहराते हैं, तो 9 अगला अंक है।
7. अपने मूल "विभाजक" के अल्पविराम को ऊपर ले जाएं। अपने उत्तर को अंतिम रूप देने के लिए, अल्पविराम (दशमलव बिंदु) को सही जगह पर रखें। सौभाग्य से, यह आसान है - आपको बस इतना करना है कि इसे अपने मूल अंक में दशमलव बिंदु के साथ संरेखित करें। यदि वर्गमूल के अंतर्गत संख्या 49.8 है, तो 9 और 8 से ऊपर दो संख्याओं के बीच दशमलव बिंदु को ऊपर ले जाएँ।
   • हमारे उदाहरण में, वर्गमूल के नीचे की संख्या 6.45 है, इसलिए हम बस दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करते हैं और इसे हमारे उत्तर के 2 और 5 के बीच रखते हैं, जो हमें देता है 2,539 पैदावार।

भाग 3 की 3: जल्दी अपूर्ण वर्गों का अनुमान है

1. अनुमान लगाकर अपूर्ण वर्गों का पता लगाएं। एक बार जब आप अपने वर्गों को याद करते हैं, तो अपूर्ण वर्गों की जड़ें ढूंढना बहुत आसान हो जाता है। चूंकि आप पहले से ही एक दर्जन वर्गों को जानते हैं, इन मानों के बीच अनुमान लगाकर इन पूर्ण वर्गों में से दो के बीच में आने वाली कोई भी संख्या पाई जा सकती है। शुरू करने के लिए, दो वर्गों को ढूंढें जहां आपका नंबर बीच में पड़ता है। फिर निर्धारित करें कि इन दोनों वर्गों में से कौन सा संख्या के सबसे करीब है।
   • उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें 40 का वर्गमूल खोजने की आवश्यकता है। चूंकि हमने अपने वर्ग को याद किया है, इसलिए हम कह सकते हैं कि 40 6 और 7 के बीच, या 36 और 49 के बीच आता है। चूंकि 40 6 से अधिक है, इसलिए इसका वर्गमूल 6 से अधिक है, और क्योंकि यह 7 से कम है, इसका वर्गमूल 7 से छोटा होगा। संख्या ४०, ४ ९ की तुलना में ३६ के करीब है, इसलिए उत्तर शायद ६ के करीब होगा। निम्नलिखित चरणों में, हम अपने उत्तर को अधिक सटीक बनाएंगे।
2. एक दशमलव स्थान पर वर्गमूल का अनुमान लगाएं। एक बार जब आप दो वर्गों को चुन लेते हैं, जिसके बीच आपका नंबर निहित होता है, तो यह केवल अनुमान लगाने की बात है जब तक कि आप एक ऐसा उत्तर नहीं पा लेते हैं जिसके साथ आप खुश हैं। आप जितना आगे जाएंगे, आपका जवाब उतना ही सटीक होगा। शुरू करने के लिए, अपने उत्तर के लिए एक दर्जन चुनें - यह सही होना जरूरी नहीं है, लेकिन आप समय बचाते हैं यदि आप सही उत्तर के करीब संख्या का चयन करके सामान्य ज्ञान का उपयोग करते हैं।
   • हमारे उदाहरण की समस्या में, 40 के वर्गमूल के लिए एक उचित अनुमान शायद है 6,4, क्योंकि हम ऊपर से जानते हैं कि उत्तर शायद 6 से 7 के करीब थोड़ा सा है।
3. अनुमान को खुद से गुणा करें। फिर आप अनुमान को चौकोर करते हैं। जब तक आप भाग्यशाली नहीं होते, तब तक शायद आपको अपना मूल नंबर नहीं मिलेगा - आप या तो थोड़ा अधिक या कम समाप्त करेंगे। यदि आपका उत्तर बहुत अधिक है, तो थोड़े छोटे अनुमान के साथ फिर से प्रयास करें (और इसके विपरीत अगर यह बहुत कम है)।
   • अपने आप में 6.4 गुणा करें, इसलिए 6.4 × 6.4 = 40,96, जो मूल संख्या से थोड़ा अधिक है।
   • फिर हम अपने अनुमान से ऊपर एक दसवें से कम को गुणा करते हैं (क्योंकि हमारा उत्तर बहुत अधिक निकला है), 6.3 × 6.3 = प्राप्त करने के लिए 39,69। यह हमारी मूल संख्या से थोड़ा कम है। इसका मतलब है कि 40 का वर्गमूल कहीं नहीं है 6.3 और 6.4 के बीच झूठ है। इसके अलावा, क्योंकि 39.69 40.96 की तुलना में 40 के करीब है, आप जानते हैं कि वर्गमूल 6.4 से 6.4 के करीब है।
4. आवश्यकतानुसार अनुमान लगाते रहें। जब आप अपने उत्तरों से संतुष्ट हो जाते हैं, तो आप अपने शुरुआती अनुमानों में से एक का उपयोग करना चाह सकते हैं। हालाँकि, यदि आप अधिक सटीक उत्तर चाहते हैं, तो आपको बस इतना करना है कि आप अपने "सौवें" के लिए एक अनुमान चुनें जो इसे पहले दो के बीच रखेगा। इस पैटर्न के साथ जारी रखते हुए, आप तीन, चार या अधिक दशमलव स्थानों में उत्तर प्राप्त कर सकते हैं - यह सिर्फ इस बात पर निर्भर करता है कि आप कितनी दूर जाना चाहते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, आइए दो दशमलव स्थानों के लिए हमारे अनुमान के लिए 6.33 चुनें। स्क्वायर 6.33 और आपको 6.33 × 6.33 = 40.0689 मिलते हैं। चूंकि यह हमारी मूल संख्या से थोड़ा ऊपर है, इसलिए हम थोड़ी कम संख्या, जैसे कि 6.32 की कोशिश करेंगे। 6.32 × 6.32 = 39.9424। यह हमारी मूल संख्या से थोड़ा नीचे है, इसलिए हम इसके बीच के सटीक वर्गमूल को जानते हैं 6.33 और 6.32 है झूठ है। यदि हम आगे जाना चाहते हैं, तो हम उत्तर पाने के लिए उसी दृष्टिकोण का उपयोग करना जारी रख सकते हैं जो तेजी से सटीक है।

टिप्स

• त्वरित सुधार के लिए, एक कैलकुलेटर का उपयोग करें। अधिकांश आधुनिक कैलकुलेटर सीधे जड़ों की गणना कर सकते हैं। अधिकांश समय, आपको बस अपना नंबर दर्ज करना होगा और फिर दूसरी शक्ति (वर्गमूल) का वर्गमूल बटन दबाना होगा। उदाहरण के लिए, 841 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, निम्न कुंजियों को दबाएँ: 8, 4, 1, (√) और इसे वापस लौटाएँ 29 जवाब में।