विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• 2 की विधि 1: विधि एक: क्रॉस गुणन
• विधि 2 की विधि 2: विधि दो: हर ​​के कम से कम सामान्य बहु (LCM) ज्ञात करना
• टिप्स

एक तर्कसंगत कार्य अंश या हर में एक या अधिक चर के साथ एक अंश है। एक तर्कसंगत समीकरण कोई भी समीकरण है जिसमें कम से कम एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति शामिल है। सामान्य बीजीय समीकरणों की तरह, समीकरण के दोनों किनारों पर समान संचालन को लागू करके तर्कसंगत अभिव्यक्ति को हल किया जा सकता है जब तक कि चर समान चिह्न के एक तरफ अलग-थलग न हो। दो विशेष विधियाँ, पार गुणन और कम से कम कई प्रकार के हर को खोजने के लिए, विशेष रूप से चर को अलग करने और तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी हैं।

कदम बढ़ाने के लिए

2 की विधि 1: विधि एक: क्रॉस गुणन

1. यदि आवश्यक हो, तो समीकरण को फिर से व्यवस्थित करें यह सुनिश्चित करने के लिए कि बराबर चिह्न के दोनों तरफ एक अंश है। क्रॉस गुणा, तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का एक तेज़ तरीका है। दुर्भाग्य से, यह विधि केवल तर्कसंगत समीकरणों के लिए काम करती है जिनके पास समान चिह्न के दोनों ओर बिल्कुल एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति या अंश हैं। यदि यह आपके समीकरण के लिए मामला नहीं है, तो आपको शर्तों को सही स्थान पर लाने के लिए संभवतः कुछ बीजीय संचालन की आवश्यकता होगी।
   • उदाहरण के लिए, समीकरण (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 को आसानी से सही क्रॉस गुणा के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, समीकरण के दोनों ओर x / (- 2) जोड़कर, इसे परिणाम बनाते हैं। इस तरह दिखता है: (x + 3) / 4 = x / (- 2)।
     • याद रखें कि दशमलव और पूर्णांक को हर 1 में बदलकर अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है। (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, उदाहरण के लिए, (x + 3) / 4 = 7.5 / 1 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो क्रॉस गुणा को लागू करने की अनुमति देता है।
   • कुछ तर्कसंगत समीकरणों को सही रूप में आसानी से परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। उन मामलों में, उन तरीकों का उपयोग करें जहां आप कम से कम बहु के सभी का उपयोग करते हैं।
2. क्रॉस गुणा। क्रॉस गुणा का मतलब बस एक अंश के अंश को दूसरे के भाजक से गुणा करना है और इसके विपरीत। अंश के दाईं ओर अंश के बाईं ओर अंश के अंश को गुणा करें। दाईं ओर अंश और बाईं ओर अंश के हर के साथ दोहराएं।
   • सामान्य बीजीय सिद्धांतों के अनुसार क्रॉस गुणन कार्य करता है। हर जगह को गुणा करके तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और अन्य अंशों को नियमित संख्याओं में परिवर्तित किया जा सकता है। मूल रूप से, क्रॉस गुणा कई समीकरणों के दोनों पक्षों द्वारा भिन्न के दोनों पक्षों को गुणा करने का एक आसान तरीका है। आप इस पर विश्वास नहीं करते? इसे आज़माएं - सरल बनाने के बाद आपको वही परिणाम दिखाई देंगे।
3. दो उत्पादों को एक दूसरे के बराबर बनाएं। क्रॉस गुणा के बाद, आपको दो उत्पादों के साथ छोड़ दिया जाता है। इन दोनों शब्दों को समान बनाएं और समीकरण के दोनों ओर सबसे सरल शब्दों को प्राप्त करने के लिए उन्हें सरल बनाएं।
   • उदाहरण के लिए, यदि (x + 3) / 4 = x / (- 2) आपकी मूल तर्कसंगत अभिव्यक्ति थी, तो क्रॉस गुणा के बाद यह -2 (x + 3) = 4x के बराबर हो जाती है। यह वैकल्पिक रूप से -2x - 6 = 4x के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
4. चर के लिए हल। समीकरण में चर का मान ज्ञात करने के लिए बीजीय संचालन का उपयोग करें। याद रखें, यदि x समान चिह्न के दोनों ओर दिखाई देता है, तो x शब्द जोड़कर या घटाकर, सुनिश्चित करें कि समान चिह्न के एक तरफ केवल x शब्द हैं।
   • हमारे उदाहरण में, समीकरण के दोनों किनारों को -2 से विभाजित करना संभव है, जो हमें x + 3 = -2x देता है। बराबर चिह्न के दोनों ओर से एक्सट्रैक्टिंग एक्स हमें 3 = -3x देता है। और अंत में, दोनों पक्षों को -3 से विभाजित करके हम -1 = x, या x = -1 प्राप्त करते हैं। अब हमें x मिला है जो हमारे तर्कसंगत समीकरण को हल करता है।

विधि 2 की विधि 2: विधि दो: हर ​​के कम से कम सामान्य बहु (LCM) ज्ञात करना

1. समझें जब कम से कम बहु के कई स्पष्ट हो। भाजक के कम से कम सामान्य बहु (LCM) का उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को सरल बनाने में किया जा सकता है, जिससे उनके चर के मूल्यों का पता लगाना संभव हो जाता है। एक LCM ढूँढना एक अच्छा विचार है अगर तर्कसंगत समीकरण को आसानी से एक ऐसे रूप में नहीं लिखा जा सकता है जहाँ समान चिन्ह के प्रत्येक पक्ष पर केवल एक अंश या तर्कसंगत अभिव्यक्ति हो। तीन शब्दों या अधिक के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए, एलसीएम एक उपयोगी उपकरण हैं। लेकिन केवल दो शब्दों के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए, क्रॉस गुणा कई बार तेज होता है।
2. प्रत्येक अंश के हर की जाँच करें। किसी भी हर से पूरी तरह से विभाज्य है कि सबसे छोटी संख्या का पता लगाएं। यह आपके समीकरण का LCM है।
   • कभी-कभी कम से कम सामान्य कई - सबसे छोटी संख्या जो प्रत्येक भाजक द्वारा पूरी तरह से विभाज्य होती है - तुरंत स्पष्ट होती है। उदाहरण के लिए, यदि आपकी अभिव्यक्ति x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6 जैसी दिखती है, तो यह देखना आसान है कि LCM को 3, 2 और 6 से विभाजित किया जाना चाहिए और इस प्रकार 6 के बराबर होना चाहिए।
   • लेकिन अधिक बार एक तर्कसंगत तुलना के एलसीएम तुरंत स्पष्ट नहीं होते हैं। उन मामलों में, सबसे बड़े हर के गुणकों को तब तक आज़माएं जब तक आपको एक संख्या न मिल जाए जिसमें दूसरे के गुणक, छोटे भाजक शामिल हों। अक्सर LCM दो हर का एक उत्पाद है। उदाहरण के लिए, समीकरण x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9 को लें, जहां LCM 8 * 9 = 72 के बराबर होता है।
   • यदि एक या अधिक भाजक में एक चर होता है, तो यह प्रक्रिया कुछ अधिक कठिन होगी, लेकिन यह असंभव नहीं है। उन मामलों में, एलसीएम एक अभिव्यक्ति है (चर के साथ) जो पूरी तरह से सभी विभाजनों को फिट करता है, न कि केवल एक संख्या। एक उदाहरण के रूप में, समीकरण 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), जहां LCM 3x (x-1) के बराबर होता है, क्योंकि यह किसी भी भाजक द्वारा पूर्णतया विभाज्य है - (x- 1) ) पैदावार 3x, विभाजन 3x पैदावार (x-1), और x उपज 3 (x-1) द्वारा विभाजन।
3. तर्कसंगत समीकरण में प्रत्येक अंश को 1 से गुणा करें। प्रत्येक शब्द को 1 से गुणा करना बेकार लग सकता है, लेकिन यहां एक चाल है। अर्थात्, 1 को अंश के रूप में लिखा जा सकता है - जैसे 2/2 और 3/3। अपने परिमेय समीकरण में प्रत्येक अंश को 1 से गुणा करें, हर बार संख्या के रूप में लिखकर या प्रत्येक हर से गुणा करके LCM को एक भिन्न के रूप में दें।
   • हमारे उदाहरण में, हम 2x / 6 प्राप्त करने के लिए x / 3 को 2/2 से गुणा कर सकते हैं और 1/2 को 3/3 से गुणा करके 3/6 कर सकते हैं। 3x +1/6 में पहले से ही इसके भाजक के रूप में 6 (lcm) है, इसलिए हम इसे 1/1 से गुणा कर सकते हैं या इसे छोड़ सकते हैं।
   • हर क्षेत्र में चर के साथ हमारे उदाहरण में, पूरी प्रक्रिया थोड़ी अधिक जटिल है। चूंकि LCM 3x (x-1) के बराबर होता है, हम हर तर्कसंगत अभिव्यक्ति को हर उस गुणन से गुणा करते हैं जो 3x (x-1) को हर के रूप में प्राप्त करता है। हम (3x) / (3x) से 5 / (x-1) गुणा करते हैं और यह 5 (3x) / (3x) (x-1) देता है, हम 1 / x को 3 (x-1) / 3 (3) से गुणा करते हैं -1) और यह 3 (x-1) / 3x (x-1) देता है और हम 2 (3x) को गुणा करते हैं (x-1) / (x-1) और यह अंत में 2 (x-1) / देता है 3x (x-1)।
4. सरल करें और x के लिए हल करें। अब जब आपके तर्कसंगत समीकरण के प्रत्येक शब्द में एक ही हर होता है, तो समीकरण से हर को समाप्त करना और अंक को हल करना संभव है। बस LCM द्वारा समीकरण के दोनों किनारों को हर से छुटकारा पाने के लिए गुणा करें ताकि आपको केवल संख्यात्मक के साथ छोड़ दिया जाए। अब यह एक नियमित समीकरण बन गया है जिसे आप चर के लिए बराबर चिह्न के एक तरफ से अलग करके हल कर सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, गुणा करने के बाद, 1 को भिन्न के रूप में उपयोग करके, हम 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6 प्राप्त करते हैं। दो अंशों को जोड़ा जा सकता है यदि उनके समान भाजक होता है, तो हम इस समीकरण को (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 के रूप में लिख सकते हैं। 2x + 3 = 3x + 1 को छोड़कर, दोनों पक्षों को 6 से गुणा कीजिये। यहां, 2x + 2 = 3x को छोड़ने के लिए दोनों तरफ से 1 घटाएं और 2 = x छोड़ने के लिए दोनों तरफ से 2x घटाएं, जिसे तब x = 2 भी लिखा जा सकता है।
   • भाजक में चर के साथ हमारे उदाहरण में, "1" के प्रत्येक शब्द को 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 से गुणा करने पर समीकरण x-1) / 3x (x-1)। LCM द्वारा प्रत्येक शब्द को गुणा करने से हर को रद्द करना संभव हो जाता है, जो अब हमें 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1) देता है। आगे विस्तार से, यह 15x = 3x - 3 + 2x -2 हो जाता है, जिसे फिर से 15x = x के रूप में सरल किया जा सकता है। 5. दोनों तरफ से x घटाना 14x = -5 होता है, ताकि अंतिम उत्तर को x = - तक सरल बनाया जा सके। 5/14 है।

टिप्स

• एक बार जब आप चर का मान पा लेते हैं, तो मूल समीकरण में इस मान को दर्ज करके अपने उत्तर की जांच करें। यदि आपको चर का मान सही मिलता है, तो आपको समीकरण को एक सरल, सही प्रमेय, जैसे कि 1 = 1 में सरल बनाने में सक्षम होना चाहिए।
• प्रत्येक समीकरण को एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है; बस इसे भाजक के ऊपर एक अंश के रूप में रखें। 1. समीकरण x + 3 को (x + 3) / 1 के रूप में लिखा जा सकता है, दोनों का मान समान है।