विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• शुरुआत
• 6 की विधि 1: परीक्षण और त्रुटि
• विधि 2 की 6: अपघटन
• 6 की विधि 3: ट्रिपल प्ले
• विधि 4 की 6: दो वर्गों के बीच का अंतर
• 5 की विधि 5: एबीसी फॉर्मूला
• 6 की विधि 6: कैलकुलेटर का उपयोग करना
• टिप्स
• चेतावनी
• नेसेसिटीज़

एक बहुपद में एक चर (x) एक निश्चित शक्ति और कई शब्द और / या स्थिरांक होते हैं। एक बहुपद को कारक करने के लिए, आपको अभिव्यक्ति को छोटे अभिव्यक्तियों में तोड़ना होगा जो एक साथ गुणा होते हैं। इसके लिए एक निश्चित स्तर के गणित की आवश्यकता होती है और इसलिए यह समझना मुश्किल हो सकता है कि क्या आप अभी तक काफी नहीं हैं।

कदम बढ़ाने के लिए

शुरुआत

1. समीकरण। द्विघात समीकरण के लिए मानक प्रारूप है:
   
   ax + bx + c = 0
   अपने समीकरण में उच्चतम से निम्नतम शक्ति तक की व्यवस्था करके शुरू करें। उदाहरण के लिए, लें:
   
   6 + 6x + 13x = 0
   हम इस अभिव्यक्ति को फिर से शुरू करने जा रहे हैं, इसलिए इसके साथ काम करना आसान हो जाता है - बस शर्तों को आगे बढ़ाकर
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. नीचे दिए गए तरीकों में से किसी एक का उपयोग करके कारकों का पता लगाएं। बहुपद को गुणन करने के परिणामस्वरूप दो छोटे अभिव्यक्तियाँ होंगी जिन्हें मूल बहुपद प्राप्त करने के लिए एक साथ गुणा किया जा सकता है:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   इस उदाहरण में, (2x +3) और (3x + 2) हैं कारकों मूल अभिव्यक्ति से, 6x + 13x + 6।
3. अपने काम की जांच करें! आपके द्वारा पाए गए कारकों को गुणा करें। समान शर्तों को मिलाएं और आप कर रहे हैं। के साथ शुरू:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   आइए, इस परीक्षण को EBBL (पहले - बाहरी - भीतरी - अंतिम) का उपयोग करते हुए बढ़ाएँ, जो हमें देता है:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   अब हम 4x और 9x को एक साथ जोड़ते हैं क्योंकि वे समान शब्द हैं। हम जानते हैं कि कारक सही हैं क्योंकि हम उस समीकरण को वापस लेते हैं जो हमने शुरू किया था:
   
   6x + 13x + 6

6 की विधि 1: परीक्षण और त्रुटि

यदि आपके पास काफी सरल बहुपद है, तो आप यह देखने में सक्षम हो सकते हैं कि कारक अभी क्या हैं। उदाहरण के लिए, कुछ अभ्यास के बाद, कई गणितज्ञ अभिव्यक्ति को देखने में सक्षम हैं 4x + 4x + 1 कारक (2x + 1) और (2x + 1) केवल इसलिए हैं क्योंकि उन्होंने ऐसा कई बार देखा है। (जाहिर है, यह अधिक जटिल बहुपद के साथ इतना आसान नहीं होगा।) आइए इस उदाहरण के लिए एक कम मानक अभिव्यक्ति लें:

3x + 2x - 8

1. के कारकों को लिखिए ए शब्द और सी शब्द। प्रारूप का उपयोग करें ax + bx + c = 0, पहचानो ए तथा सी शर्तें और ध्यान दें कि कौन से कारक हैं। 3x + 2x - 8 के लिए, इसका मतलब है:
   
   a = 3 और कारकों की 1 जोड़ी है: 1 * 3
   c = -8 और इसमें 4 जोड़े कारक हैं: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, और -1 * 8।
2. खाली जगह के साथ कोष्ठक के दो जोड़े लिखें। यहां आप प्रत्येक अभिव्यक्ति के स्थिरांक दर्ज करते हैं:
   
   (x) (x)
3. के संभावित कारकों की संख्या के साथ एक्स से पहले अंतरिक्ष भरें ए मान। के लिए ए हमारे उदाहरण में, 3x, केवल 1 संभावना है:
   
   (3x) (1x)
4. स्थिरांक के लिए कुछ कारकों के साथ x के बाद 2 रिक्त स्थान भरें। मान लीजिए कि हम 8 चुनते हैं और 1. इसे दर्ज करें:
   
   (3x)8)(एक्स1)
5. निर्धारित करें कि कौन से चिन्ह (प्लस या माइनस) x चर और संख्याओं के बीच होने चाहिए। मूल अभिव्यक्ति के पात्रों के आधार पर, यह पता लगाना संभव है कि स्थिरांक के वर्ण क्या होने चाहिए। चलो दो कारकों के दो स्थिरांक लेते हैं एच तथा क उल्लेख करने के लिए:
   
   यदि ax + bx + c तब (x + h) (x + k)
   यदि ax - bx - c या ax + bx - c तब (x - h) (x + k)
   यदि कुल्हाड़ी - bx + c तब (x - h) (x - k)
   हमारे उदाहरण में, 3x + 2x - 8, चिन्ह है: (x - h) (x + k), जो हमें निम्नलिखित दो प्रभाव देता है:
   
   (3x + 8) और (x - 1)
6. पहले-बाहरी-भीतरी-अंतिम गुणन के साथ अपनी पसंद का परीक्षण करें। यह देखने के लिए एक त्वरित पहला परीक्षण कि क्या मध्य अवधि कम से कम सही मूल्य है। यदि नहीं, तो आप शायद गलत है सी कारक चुने गए। आइए उत्तर का परीक्षण करें:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   गुणा से हम प्राप्त करते हैं:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   इस शब्द (-3x) और (8x) को जोड़कर इस अभिव्यक्ति को सरल कीजिए, और हम प्राप्त करते हैं:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   अब हम जानते हैं कि हमने गलत कारकों को लिया:
   
   3x + 5x - 8 8 3x + 2x - 8
7. यदि आवश्यक हो, तो अपने विकल्पों को स्विच करें। हमारे उदाहरण में, 1 और 8 के बजाय 2 और 4 आज़माएँ:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   अब हमारी सी -8 के बराबर शब्द, लेकिन (3x * -4) और (2 * x) का बाहरी / आंतरिक उत्पाद -12x और 2x है, जो सही नहीं है ख पद या + 2x।
   
   -12x + 2x = 10x
   10x ≠ 2x
8. यदि आवश्यक हो तो आदेश को उल्टा कर दें। आइए 2 और 4 पलटने की कोशिश करें:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   अब हमारी सी पद (4 * 2 = 8) और अभी भी ठीक है, लेकिन बाहरी / आंतरिक उत्पाद -6x और 4x हैं। जब हम इनको मिलाते हैं तो हम प्राप्त करते हैं:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x 2x -2x अब हम 2x के बहुत पास हो रहे हैं जहाँ हम होना चाहते हैं, लेकिन अभी तक संकेत सही नहीं है।
9. यदि आवश्यक हो तो अपने पात्रों को दोबारा जांचें। हम इस आदेश को जारी रखते हैं, लेकिन इसे ऋण चिह्न के साथ स्वैप करते हैं:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   अब सी शब्द अभी भी ठीक है, और बाहरी / आंतरिक उत्पाद अब (6x) और (-4x) हैं। चूंकि:
   
   6x - 4x = 2x
   2x = 2x अब हम मूल समस्या से सकारात्मक 2x को देखते हैं। ये सही कारक होने चाहिए।

विधि 2 की 6: अपघटन

यह विधि इसके सभी संभावित कारकों को बताती है ए तथा सी शब्द और उनका उपयोग यह पता लगाने के लिए कि कौन से कारक सही हैं। यदि संख्या बहुत बड़ी है, या अन्य तरीकों का अनुमान बहुत लंबा लगने वाला है, तो इस तरह से उपयोग करें। एक उदाहरण:

6x + 13x + 6

1. गुणा करें ए के साथ कार्यकाल सी शब्द। इस उदाहरण में, ए 6 है और सी 6 भी है।
   
   6 * 6 = 36
2. खोजें ख कारक और परीक्षण द्वारा शब्द। हम उन 2 नंबरों की तलाश कर रहे हैं, जिनके कारक हैं ए * सी , और साथ में ख कार्यकाल (13)।
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. अपने समीकरण में प्राप्त दो संख्याओं के योग के रूप में प्रतिस्थापित करें ख शब्द। के जाने क तथा एच हमारे पास 2 संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए, 4 और 9:
   
   ax + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. समूहन द्वारा बहुपद का गुणनखंड। समीकरण व्यवस्थित करें ताकि आप पहले दो शब्दों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक और अंतिम दो शब्दों को अलग कर सकें। दोनों कारक समान होने चाहिए। GGD को एक साथ जोड़ें और उन्हें कोष्ठक में रखें, कारकों के बगल में; परिणामस्वरूप आपको दो कारक मिलते हैं:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

6 की विधि 3: ट्रिपल प्ले

अपघटन विधि के समान। "ट्रिपल प्ले" विधि उत्पाद के संभावित कारकों की जांच करती है ए तथा सी और इसका उपयोग यह जानने के लिए करें कि क्या है ख होना चाहिए। उदाहरण के रूप में समीकरण को लें:

8x + 10x + 2

1. गुणा करें ए के साथ कार्यकाल सी शब्द। अपघटन विधि के साथ, हम इसका उपयोग उम्मीदवारों के लिए निर्धारित करने के लिए करते हैं ख शब्द। इस उदाहरण में: ए 8 है और सी 2 है।
   
   8 * 2 = 16
2. इस संख्या के साथ 2 संख्याओं को उत्पाद के रूप में और के बराबर राशि के साथ खोजें ख शब्द। यह चरण अपघटन विधि के समान है - हम स्थिरांक के लिए उम्मीदवारों का परीक्षण करते हैं। के उत्पाद ए तथा सी शर्तें 16 है, और सी अवधि 10 है:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. इन 2 नंबरों को लें और उन्हें "ट्रिपल प्ले" फॉर्मूले में स्थानापन्न करें। पिछले चरण से 2 नंबर लें - चलो उन्हें प्राप्त करें एच तथा क उन्हें कॉल करें - और उन्हें अभिव्यक्ति में डालें:
   
   ((ax + h) (ax + k)) / a
   
   इसके साथ ही हम प्राप्त करते हैं:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. देखें कि हर में दो शब्दों में से किसको पूरी तरह से विभाजित किया जा सकता है ए. इस उदाहरण में, हम देख रहे हैं कि (8x + 8) या (8x + 2) को 8. से विभाजित किया जा सकता है (8x + 8) 8 से विभाज्य है, इसलिए हम इस शब्द को विभाजित करते हैं ए और हम दूसरे को अप्रभावित छोड़ देते हैं।
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   हमारे द्वारा यहां रखा गया शब्द वह है जो विभाजन के बाद बना रहता है ए शब्द: (x + 1)
5. यदि संभव हो तो या तो या दोनों शर्तों से सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) लें। इस उदाहरण में हम देखते हैं कि दूसरे शब्द में 2 का gcd है, क्योंकि 8x + 2 = 2 (4x + 1)। पिछले चरण में आपके द्वारा खोजे गए शब्द के साथ इस उत्तर को मिलाएं। ये आपकी तुलना के कारक हैं।
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

विधि 4 की 6: दो वर्गों के बीच का अंतर

आप एक बहुपद में कुछ गुणांक को "वर्गों" के रूप में, या 2 समान संख्याओं के उत्पाद के रूप में भी पहचान सकते हैं। यह पता लगाने से कि कौन से वर्ग हैं, आप बहुत तेजी से बहुपद का कारक हो सकते हैं। हम समीकरण लेते हैं:

27x - 12 = 0

1. यदि संभव हो तो समीकरण से gcd निकालें। इस मामले में हम देखते हैं कि 27 और 12 दोनों 3 से विभाज्य हैं, इसलिए हम उन्हें अलग से रख सकते हैं:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. निर्धारित करें कि क्या आपके समीकरण के गुणांक वर्ग हैं। इस पद्धति का उपयोग करने के लिए शर्तों की जड़ निर्धारित करना आवश्यक है। (ध्यान दें कि हमने ऋण चिह्न को छोड़ दिया है - चूंकि ये संख्या वर्ग हैं, वे 2 ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल हो सकते हैं)
   
   9x = 3x * 3x और 4 = 2 * 2
3. आपके द्वारा निर्धारित वर्गमूल का उपयोग करके, आप अब कारकों को लिख सकते हैं। हम लेते हैं ए तथा सी पिछले चरण से मान: ए = 9 और सी = 4, तो इस की जड़ें हैं: - rootsए = 3 और √सी = 2. ये कारक अभिव्यक्तियों के गुणांक हैं:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

5 की विधि 5: एबीसी फॉर्मूला

यदि कुछ भी काम नहीं करता है और आप समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं, तो एबीसी सूत्र का उपयोग करें। निम्नलिखित उदाहरण लें:

x + 4x + 1 = 0

1. Abc सूत्र में संबंधित मान दर्ज करें:
   
   x = -b = ± (b - 4ac)
         ---------------------
   २ अ
   अब हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
   
   x = -4 = √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. X के लिए हल करें। अब आपको x के लिए 2 मान प्राप्त करने चाहिए। ये:
   
   
   x = -2 + = (3) या x = -2 - √ (3)
3. कारकों को निर्धारित करने के लिए x के मूल्यों का उपयोग करें। दो समीकरणों में प्राप्त x मानों को स्थिरांक के रूप में दर्ज करें। ये आपके कारक हैं। अगर हम दोनों का जवाब दें एच तथा क हम दो कारकों को इस प्रकार लिखते हैं:
   
   (x - h) (x - k)
   इस मामले में, अंतिम उत्तर है:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - + (3)) = (x + 2 -) (3)) (x + 2 + √ (3))

6 की विधि 6: कैलकुलेटर का उपयोग करना

यदि यह एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करने की अनुमति (या अनिवार्य) है, तो यह विशेष रूप से परीक्षा और परीक्षा के लिए फैक्टरिंग को बहुत आसान बना देता है। निम्नलिखित निर्देश एक TI रेखांकन कैलकुलेटर के लिए हैं। हम उदाहरण से समीकरण का उपयोग करते हैं:

y = x - x - 2

1. समीकरण को अपने कैलकुलेटर में दर्ज करें। आप समीकरण सॉल्वर का उपयोग करेंगे, जिसे [Y =] स्क्रीन के रूप में भी जाना जाता है।
2. कैलकुलेटर के साथ समीकरण को ग्राफ करें। एक बार जब आप समीकरण में प्रवेश कर लेते हैं, तो [GRAPH] दबाएं - आपको अब एक घुमावदार रेखा, एक परवलय को अपने समीकरण के चित्रमय प्रतिनिधित्व के रूप में देखना चाहिए (और यह एक परबोला है क्योंकि हम एक बहुपद के साथ काम कर रहे हैं)।
3. पता लगाएं कि परबाला एक्स अक्ष के साथ कहां प्रतिच्छेद करती है। चूँकि द्विघात समीकरण को पारंपरिक रूप से ax + bx + c = 0 के रूप में लिखा जाता है, ये दो x मान हैं जो समीकरण को शून्य के बराबर बनाते हैं:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1, x = 2
   • यदि आप यह नहीं देख सकते हैं कि पराबोला एक्स-एक्सिस के साथ कहां अंतर करती है, तो [2] और फिर [TRACE] दबाएँ। [2] दबाएं या "शून्य" चुनें। कर्सर को एक चौराहे के बाईं ओर ले जाएँ और [ENTER] दबाएँ। कर्सर को एक चौराहे के दाईं ओर ले जाएँ और [ENTER] दबाएँ। कर्सर को संभव के रूप में चौराहे बिंदु के करीब ले जाएं और [ENTER] दबाएं। कैलकुलेटर x मान को इंगित करेगा। इसे अन्य चौराहे के लिए भी करें।
4. दो वास्तविक अभिव्यक्तियों में प्राप्त x मान दर्ज करें। यदि हम दो x मान लेते हैं एच तथा क एक शब्द के रूप में, हम जिस अभिव्यक्ति का उपयोग करते हैं वह इस प्रकार है:
   
   (x - h) (x - k) = 0
   तो हमारे दो कारक फिर बन जाते हैं:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

टिप्स

• यदि आपने एबीसी सूत्र के साथ बहुपद का गुणन किया है, और आपके उत्तर में जड़ें हैं, तो आप x मानों को उनकी जांच करने के लिए अंशों में परिवर्तित कर सकते हैं।
• यदि किसी शब्द के पहले गुणांक नहीं है, तो गुणांक 1 के बराबर है, उदाहरण के लिए x = 1x।
• यदि आपके पास TI-84 कैलकुलेटर है, तो एक कार्यक्रम है जिसे SOLVER कहा जाता है जो आपके लिए द्विघात समीकरण को हल कर सकता है। यह उच्च स्तर के बहुपद को भी हल करता है।
• बहुत अभ्यास के बाद, आप अंततः दिल से बहुपदों को हल करने में सक्षम होंगे। लेकिन सुरक्षित पक्ष पर रहने के लिए हमेशा उन्हें बाहर लिखना बेहतर होता है।
• यदि कोई शब्द मौजूद नहीं है, तो गुणांक शून्य है। तब समीकरण को फिर से लिखना उपयोगी हो सकता है। जैसे x + 6 = x + 0x + 6।

चेतावनी

• यदि आप गणित वर्ग में इस अवधारणा को सीख रहे हैं, तो ध्यान दें कि शिक्षक क्या समझा रहा है और सिर्फ अपनी पसंदीदा पद्धति का उपयोग न करें। आपको परीक्षण के लिए एक विशिष्ट विधि का उपयोग करने के लिए कहा जा सकता है, या गणना करने वाले रेखांकन की अनुमति नहीं दी जा सकती है।

नेसेसिटीज़

• पेंसिल
• कागज़
• द्विघात समीकरण (इसे दूसरी डिग्री समीकरण भी कहा जाता है)
• रेखांकन कैलकुलेटर (वैकल्पिक)