विषय

• कदम
• 3 का भाग 1 : एक साधारण उदाहरण के साथ घनमूल निकालना
• 3 का भाग 2: घनमूल अनुमान
• भाग ३ का ३: वर्णित गणना प्रक्रिया की व्याख्या
• टिप्स
• चेतावनी
• आपको किस चीज़ की जरूरत है

यदि आपके पास कैलकुलेटर है, तो आप किसी भी संख्या का घनमूल आसानी से निकाल सकते हैं। लेकिन अगर आपके पास कैलकुलेटर नहीं है, या आप दूसरों को प्रभावित करना चाहते हैं, तो क्यूब रूट को मैन्युअल रूप से निकालें। अधिकांश लोगों के लिए, यहां वर्णित प्रक्रिया बल्कि जटिल प्रतीत होगी, लेकिन अभ्यास के साथ घनमूल निकालना बहुत आसान हो जाएगा। इससे पहले कि आप इस लेख को पढ़ना शुरू करें, घन में संख्याओं के साथ बुनियादी गणितीय संक्रियाओं और गणनाओं को याद रखें।

कदम

3 का भाग 1 : एक साधारण उदाहरण के साथ घनमूल निकालना

1. 1 कार्य लिखिए। मैनुअल क्यूब रूट निष्कर्षण लंबे विभाजन के समान है, लेकिन कुछ बारीकियों के साथ। सबसे पहले, कार्य को एक विशिष्ट रूप में लिखें।
   • वह संख्या लिखिए जिससे आप घनमूल निकालना चाहते हैं। संख्या को तीन अंकों के समूहों में विभाजित करें, और दशमलव बिंदु से गिनना शुरू करें। उदाहरण के लिए, आपको 10 का घनमूल निकालने की आवश्यकता है। संख्या को इस तरह लिखें: 10,000,000। परिणाम की शुद्धता में सुधार के लिए अतिरिक्त शून्य का उपयोग किया जाता है।
   • संख्या के आगे और ऊपर एक मूल चिह्न बनाएं। कल्पना कीजिए कि ये क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं जिन्हें आप लंबे विभाजन में खींचते हैं। अंतर केवल दो वर्णों के आकार का है।
   • एक दशमलव बिंदु को क्षैतिज रेखा के ऊपर रखें। इसे सीधे मूल संख्या के दशमलव बिंदु के ऊपर करें।
2. 2 घन पूर्णांकों के परिणाम याद रखें। उनका उपयोग गणना में किया जाएगा।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3. 3 उत्तर का पहला अंक ज्ञात कीजिए। एक पूर्णांक घन का चयन करें जो तीन अंकों के पहले समूह से निकटतम लेकिन छोटा हो।
   • हमारे उदाहरण में, तीन अंकों का पहला समूह 10 है। सबसे बड़ा घन खोजें जो 10 से कम हो। वह घन 8 है, और 8 का घनमूल 2 है।
   • संख्या 10 के ऊपर क्षैतिज रेखा के ऊपर संख्या 2 लिखिए। फिर संक्रिया का मान लिखिए ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ {3}}$ = 8 अंडर १०. एक रेखा खींचिए और १० में से ८ घटाइए (जैसे कि लंबे भाग में)। परिणाम 2 है (यह पहला शेषफल है)।
   • इस प्रकार, आपको उत्तर की पहली संख्या मिल गई है। विचार करें कि क्या दिया गया परिणाम पर्याप्त सटीक है। ज्यादातर मामलों में, यह एक बहुत ही मोटा जवाब होगा। यह पता लगाने के लिए परिणाम को क्यूब करें कि यह मूल संख्या के कितना करीब है। हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ {3}}$ = 8, जो 10 के बहुत करीब नहीं है, इसलिए गणना जारी रखने की जरूरत है।
4. 4 उत्तर का अगला अंक ज्ञात कीजिए। पहले शेषफल में तीन संख्याओं का दूसरा समूह जोड़ें, और परिणामी संख्या के बाईं ओर एक लंबवत रेखा खींचें। परिणामी संख्या का उपयोग करके, आपको उत्तर का दूसरा अंक मिलेगा। हमारे उदाहरण में, संख्या 2000 प्राप्त करने के लिए तीन अंकों (000) के दूसरे समूह को पहले शेष (2) में जोड़ा जाना चाहिए।
   • ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर आप तीन संख्याएँ लिखते हैं, जिनका योग किसी प्रथम गुणनखंड के बराबर होता है। इन नंबरों के लिए खाली जगह छोड़ दें, और बीच में प्लस चिह्न लगाएं।
5. 5 पहला पद ज्ञात कीजिए (तीन में से)। पहले रिक्त स्थान में, उत्तर के पहले अंक के वर्ग से 300 गुणा करने का परिणाम लिखें (यह मूल चिह्न के ऊपर लिखा गया है)। हमारे उदाहरण में, उत्तर का पहला अंक 2 है, इसलिए 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200। पहले रिक्त स्थान में 1200 लिखें। पहला पद 1200 है (प्लस दो और संख्याएँ खोजने के लिए)।
6. 6 उत्तर का दूसरा अंक ज्ञात कीजिए। पता करें कि आपको किस संख्या को 1200 गुणा करने की आवश्यकता है ताकि परिणाम करीब हो, लेकिन 2000 से अधिक न हो। यह संख्या केवल 1 हो सकती है, क्योंकि 2 * 1200 = 2400, जो कि 2000 से अधिक है। 1 लिखें (दूसरा अंक) उत्तर) 2 के बाद और दशमलव अल्पविराम मूल चिह्न के ऊपर।
7. 7 दूसरा और तीसरा पद (तीन में से) ज्ञात कीजिए। गुणनखंड में तीन संख्याएँ (शर्तें) होती हैं, जिनमें से पहली आप पहले ही पा चुके हैं (1200)। अब हमें शेष दो पद ज्ञात करने हैं।
   • ३ को १० से गुणा करें और उत्तर के प्रत्येक अंक से (वे मूल चिह्न के ऊपर लिखे गए हैं)। हमारे उदाहरण में: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. इस परिणाम को 1200 में जोड़ें और 1260 प्राप्त करें।
   • अंत में, अपने उत्तर के अंतिम अंक का वर्ग करें। हमारे उदाहरण में, उत्तर का अंतिम अंक 1 है, इसलिए 1 ^ 2 = 1। तो पहला कारक निम्नलिखित संख्याओं का योग है: 1200 + 60 + 1 = 1261। इस संख्या को लंबवत बार के बाईं ओर लिखें .
8. 8 गुणा और घटाना। उत्तर के अंतिम अंक (हमारे उदाहरण में यह 1 है) को पाए गए कारक (1261) से गुणा करें: 1 * 1261 = 1261। इस संख्या को 2000 के तहत लिखें और इसे 2000 से घटाएं। आपको 739 मिलेगा (यह दूसरा है) शेष)।
9. 9 विचार करें कि क्या आपको प्राप्त उत्तर पर्याप्त सटीक है। ऐसा हर बार करें जब आप अगला घटाव पूरा करें। पहले घटाव के बाद, उत्तर 2 था, जो सटीक परिणाम नहीं है। दूसरे घटाव के बाद, उत्तर 2.1 है।
   • उत्तर की सटीकता की जांच करने के लिए, इसे क्यूब करें: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261।
   • यदि आपको लगता है कि उत्तर पर्याप्त सटीक है, तो आपको गणना जारी रखने की आवश्यकता नहीं है; अन्यथा, एक और घटाव करें।
10. 10 दूसरा कारक खोजें। अपनी गणनाओं का अभ्यास करने और अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए, ऊपर दिए गए चरणों को दोहराएं।
    • तीन अंकों (000) के तीसरे समूह को दूसरे शेष (739) में जोड़ें। आपको 739000 नंबर मिलेगा।
    • मूल चिह्न (21) के ऊपर लिखी संख्या के वर्ग से 300 गुणा करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
    • उत्तर का तीसरा अंक ज्ञात कीजिए। पता करें कि आपको किस संख्या को 132300 से गुणा करने की आवश्यकता है ताकि परिणाम करीब हो, लेकिन 739000 से अधिक न हो। वह संख्या 5: 5 * 132200 = 661500 है। मूल चिह्न के ऊपर 1 के बाद 5 (उत्तर का तीसरा अंक) लिखें।
    • 3 को 10 से 21 से गुणा करें और उत्तर के अंतिम अंक से (वे मूल चिह्न के ऊपर लिखे गए हैं)। हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$.
    • अंत में, अपने उत्तर के अंतिम अंक का वर्ग करें। हमारे उदाहरण में, उत्तर का अंतिम अंक 5 है, इसलिए ${ डिस्प्लेस्टाइल 5 ^ {2} = 25.}$
    • इस प्रकार, दूसरा गुणनखंड है: 132300 + 3150 + 25 = 135,475।
11. 11 अपने उत्तर के अंतिम अंक को दूसरे कारक से गुणा करें। उत्तर का दूसरा गुणनखंड और तीसरा अंक मिलने के बाद, इस प्रकार आगे बढ़ें:
    • उत्तर के अंतिम अंक को पाए गए कारक से गुणा करें: 135475 * 5 = 677375।
    • घटाना: 739000 - 677375 = 61625।
    • विचार करें कि क्या आपको प्राप्त उत्तर पर्याप्त सटीक है। ऐसा करने के लिए, इसे क्यूब करें: ${ डिस्प्लेस्टाइल 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$.
12. 12 अपना उत्तर लिखिए। मूल चिह्न के ऊपर लिखा गया परिणाम दो दशमलव स्थानों वाला उत्तर है। हमारे उदाहरण में, 10 का घनमूल 2.15 है। अपने उत्तर को घन करके देखें: २.१५ ^ ३ = ९.९४, जो लगभग १० है। यदि आपको अधिक सटीकता की आवश्यकता है, तो गणना जारी रखें (जैसा कि ऊपर वर्णित है)।

3 का भाग 2: घनमूल अनुमान

1. 1 ऊपरी और निचली सीमा निर्धारित करने के लिए संख्याओं के घनों का उपयोग करें। यदि आपको लगभग किसी भी संख्या का घनमूल निकालने की आवश्यकता है, तो ऐसे घन (कुछ संख्याएँ) ज्ञात कीजिए जो दी गई संख्या के निकट हों।
   • उदाहरण के लिए, आपको 600 का घनमूल निकालना होगा। चूँकि ${ डिस्प्लेस्टाइल 8 ^ {3} = 512}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल 9 ^ {3} = 729}$, तो 600 का घनमूल 8 और 9 के बीच है। इसलिए, अपने उत्तर की ऊपरी और निचली सीमा के रूप में 512 और 729 का उपयोग करें।
2. 2 दूसरी संख्या का अनुमान लगाएं। पूर्णांकों के घनों के बारे में आपके ज्ञान के कारण आपको पहला नंबर मिला। अब एक पूर्णांक को दशमलव भिन्न में (दशमलव बिंदु के बाद) 0 से 9 तक कुछ अंक निर्दिष्ट करके परिवर्तित करें। आपको एक दशमलव अंश खोजने की आवश्यकता है, जिसका घन करीब होगा, लेकिन मूल संख्या से कम होगा।
   • हमारे उदाहरण में, संख्या ६०० ५१२ और ७२९ के बीच है। उदाहरण के लिए, पहली मिली संख्या (८) में, संख्या ५ जोड़ें। आपको संख्या ८.५ मिलती है।
3. 3 परिणामी संख्या का घन बनाकर अनुमान लगाएं। यह जाँचने के लिए करें कि घन करीब है लेकिन मूल संख्या से बड़ा नहीं है।
   • हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1।}$
4. 4 यदि आवश्यक हो तो एक अलग संख्या का मूल्यांकन करें। परिणामी संख्या के घन की तुलना मूल संख्या से करें। यदि परिणामी संख्या का घन मूल संख्या से बड़ा है, तो कम संख्या का मूल्यांकन करने का प्रयास करें। यदि परिणामी संख्या का घन मूल संख्या से बहुत छोटा है, तो बड़ी संख्याओं का मूल्यांकन तब तक करें जब तक कि उनमें से किसी एक का घन मूल संख्या से अधिक न हो जाए।
   • हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.5 ^ {3}}$ > 600. इस प्रकार, छोटी संख्या 8.4 का अनुमान कीजिए। इस संख्या को घन कीजिए और मूल संख्या से इसकी तुलना कीजिए: ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$... यह परिणाम मूल संख्या से कम है। इस प्रकार, 600 का घनमूल 8.4 और 8.5 के बीच होता है।
5. 5 अपने उत्तर की सटीकता में सुधार करने के लिए अगली संख्या का मूल्यांकन करें। आपके द्वारा पिछली बार रेट की गई प्रत्येक संख्या के लिए, सटीक उत्तर प्राप्त होने तक 0 से 9 तक की संख्या जोड़ें। प्रत्येक मूल्यांकन दौर में, आपको उन ऊपरी और निचली सीमाओं का पता लगाना होगा जिनके बीच मूल संख्या है।
   • हमारे उदाहरण में: ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.4 ^ {3} = 592.7}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.5 ^ {3} = 614.1}$... मूल संख्या ६००, ६१४ की तुलना में ५९२ के करीब है। इसलिए, आपके द्वारा अनुमानित अंतिम संख्या में, एक अंक जोड़ें जो ९ से ० के करीब है। उदाहरण के लिए, यह संख्या ४ है। इसलिए, संख्या ८.४४ को क्यूब करें।
6. 6 यदि आवश्यक हो तो एक अलग संख्या का मूल्यांकन करें। परिणामी संख्या के घन की तुलना मूल संख्या से करें। यदि परिणामी संख्या का घन मूल संख्या से बड़ा है, तो कम संख्या का मूल्यांकन करने का प्रयास करें। संक्षेप में, आपको ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनके घन मूल संख्या से थोड़े बड़े और थोड़े छोटे हों।
   • हमारे उदाहरण में ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$... यह मूल संख्या से थोड़ा बड़ा है, इसलिए दूसरी (छोटी) संख्या का मूल्यांकन करें, उदाहरण के लिए 8.43: ${ डिस्प्लेस्टाइल 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$... इस प्रकार, 600 का घनमूल 8.43 और 8.44 के बीच होता है।
7. 7 इस प्रक्रिया का पालन तब तक करें जब तक आपको कोई संतोषजनक उत्तर न मिल जाए। अगली संख्या का मूल्यांकन करें, उसकी तुलना मूल संख्या से करें, फिर यदि आवश्यक हो तो दूसरी संख्या का मूल्यांकन करें, इत्यादि। ध्यान दें कि दशमलव बिंदु के बाद प्रत्येक अतिरिक्त अंक आपके उत्तर की सटीकता को बढ़ाता है।
   • हमारे उदाहरण में, संख्या 8.43 का घन मूल संख्या से 1 से कम है। यदि आपको अधिक सटीकता की आवश्यकता है, तो संख्या 8.434 को घन करें और वह प्राप्त करें ${ डिस्प्लेस्टाइल 8,434 ^ {3} = 599.93}$, अर्थात्, परिणाम मूल संख्या से 0.1 कम है।

भाग ३ का ३: वर्णित गणना प्रक्रिया की व्याख्या

1. 1 द्विपद श्रृंखला याद रखें। एक द्विपद श्रृंखला एक द्विपद (द्विपद) को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाने का परिणाम है, इस मामले में एक घन तक। यहाँ वर्णित घनमूल निष्कर्षण एल्गोरिथ्म को समझने के लिए, पहले यह याद रखें कि द्विपद घन कैसे होता है। संभावना है, आपने इसे स्कूल में सीखा (और शायद जल्द ही भूल गए, जैसा कि ज्यादातर लोग करते हैं)। चर ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ कुछ एकल अंकों को चिह्नित करें। तब दो अंकों की संख्या को द्विपद के रूप में लिखा जा सकता है ${ डिस्प्लेस्टाइल (10A + B)}$.
   • यहाँ सदस्य ${ डिस्प्लेस्टाइल १०ए}$ दहाई के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात यदि ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ क्या कोई एकल अंक संख्या है, तो ${ डिस्प्लेस्टाइल १०ए}$ - यह पहले से ही दो अंकों की संगत संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ = 2, और ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ = 6, तब ${ डिस्प्लेस्टाइल (10A + B)}$ = 26, यानी आपको दो अंकों की संख्या 26 मिली है।
2. 2 द्विपद को घन कीजिए। पहले खंड में वर्णित घनमूल निष्कर्षण प्रक्रिया को समझने के लिए ऐसा करें। गणना ${ डिस्प्लेस्टाइल (10ए + बी) ^ {3}}$ = ${ डिस्प्लेस्टाइल (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)}$ = ${ डिस्प्लेस्टाइल 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}}$ (यहां हमने क्यूब निर्माण के कई चरणों को छोड़ दिया है, ताकि गणना के साथ लेख को अव्यवस्थित न करें)।
   • एक विस्तृत स्पष्टीकरण यहां पाया जा सकता है।
3. 3 लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथम को समझें। ध्यान दें कि यहां वर्णित घनमूल विधि लंबे विभाजन के समान है। एक कॉलम में विभाजित करते समय, आपको संख्या (भागफल) खोजने की आवश्यकता होती है, जब भाजक से गुणा किया जाता है, तो आपको लाभांश मिलता है। वर्णित विधि में घनमूल निकालने के परिणाम (यह मूल चिह्न के ऊपर लिखा होता है) को भागफल के रूप में प्रयोग किया जाता है। अर्थात्, घनमूल निकालने के परिणाम को द्विपद (10A + B) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस स्तर पर ए और बी के सटीक मान महत्वपूर्ण नहीं हैं: बस याद रखें कि परिणाम द्विपद के रूप में लिखा जा सकता है।
4. 4 द्विपद श्रेणी को देखें। यह चार मोनोमियल का योग है, जिसकी बदौलत आप क्यूब रूट एक्सट्रैक्शन एल्गोरिथम के संचालन के सिद्धांत को समझ सकते हैं। कृपया ध्यान दें कि मूल निकालने के प्रत्येक चरण के लिए गुणक उन चार शब्दों के योग के बराबर होता है जिन्हें परिकलित करने और जोड़ने की आवश्यकता होती है।
   • पहले पद का गुणनखंड 1000 है। उत्तर के पहले अंक की गणना करने के लिए, आप पहले एक पूर्णांक का घन ज्ञात करते हैं जो एक निश्चित संख्या (अर्थात् तीन अंकों का पहला समूह) से निकटतम लेकिन कम है। यह द्विपद श्रृंखला के 1000A ^ 3 सदस्य को परिभाषित करता है।
   • द्विपद श्रेणी के दूसरे पद का गुणक संख्या 300 है (${ डिस्प्लेस्टाइल 3 * 10 ^ {2}}$ = 300)। याद रखें कि घनमूल निकालने के प्रत्येक चरण में, उत्तर के संगत अंक (अंकों) को 300 से गुणा किया गया था।
   • जड़ निष्कर्षण के प्रत्येक चरण में दूसरा पद द्विपद श्रृंखला के तीसरे पद से निर्धारित होता है, जो कि 30AB ^ 2 के बराबर है।
   • जड़ निष्कर्षण के प्रत्येक चरण में तीसरा पद द्विपद श्रृंखला के चौथे पद से निर्धारित होता है, जो कि B ^ 3 के बराबर है।
5. 5 उत्तर की सटीकता में वृद्धि पर ध्यान दें। आप जड़ निष्कर्षण के जितने अधिक चरणों से गुजरेंगे, उत्तर उतना ही सटीक होगा। उदाहरण के लिए, इस लेख में, आपको 10 का घनमूल निकालने की आवश्यकता है। पहले चरण में, उत्तर 2 है, क्योंकि ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 ^ {3}}$ = 8, जो करीब है, लेकिन 10 से कम है। दूसरे चरण में, उत्तर 2.1 है, क्योंकि ${ डिस्प्लेस्टाइल 2.1 ^ {3} = 9.261}$, जो 10 के काफी करीब है। तीसरे चरण में, उत्तर 2.15 है, क्योंकि ${ डिस्प्लेस्टाइल 2.15 ^ {3} = 9.94}$... आप अपने उत्तर की सटीकता में सुधार करने के लिए तीन अंकों के समूहों का उपयोग करके गणना जारी रख सकते हैं।

टिप्स

• वर्णित विधियों में महारत हासिल करने का अभ्यास करें। जितना अधिक आप अभ्यास करेंगे, उतनी ही तेजी से आप गणनाओं में सफल होंगे।

चेतावनी

• गणना प्रक्रिया में गलती करना काफी आसान है। तो उत्तर की जांच करना सुनिश्चित करें।

आपको किस चीज़ की जरूरत है

• पेन या पेंसिल
• कागज़
• शासक
• रबड़