विषय

• कदम
• भाग 1 का 4: एक समीकरण कैसे लिखें
• भाग 2 का 4: यूक्लिड का एल्गोरिथम कैसे लिखें
• भाग ३ का ४: यूक्लिड के एल्गोरिथम का उपयोग करके समाधान कैसे खोजें
• भाग ४ का ४: अनंत अन्य समाधान खोजें

एक रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण को हल करने के लिए, आपको चर "x" और "y" के मान खोजने होंगे, जो पूर्णांक हैं। एक पूर्णांक समाधान सामान्य से अधिक जटिल होता है और इसके लिए विशिष्ट क्रियाओं की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, आपको गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर एक समाधान खोजें। एक बार जब आपको रैखिक समीकरण का एक पूर्णांक हल मिल जाए, तो आप अनंत संख्या में अन्य समाधान खोजने के लिए एक साधारण पैटर्न का उपयोग कर सकते हैं।

कदम

भाग 1 का 4: एक समीकरण कैसे लिखें

1. 1 समीकरण को मानक रूप में लिखिए। रैखिक समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें चरों के घातांक 1 से अधिक नहीं होते हैं। ऐसे रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पहले इसे मानक रूप में लिखें। एक रैखिक समीकरण का मानक रूप इस तरह दिखता है: ${ डिस्प्लेस्टाइल एक्स + बाय = सी}$, कहाँ पे ${ डिस्प्लेस्टाइल ए, बी}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ - पूर्ण संख्या।
   • यदि समीकरण किसी भिन्न रूप में दिया गया है, तो मूल बीजीय संक्रियाओं का उपयोग करते हुए इसे मानक रूप में लाएं। उदाहरण के लिए, समीकरण दिया गया है ${ डिस्प्लेस्टाइल 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... समान पद दीजिए और समीकरण को इस प्रकार लिखिए: ${ डिस्प्लेस्टाइल 16x + 7y = 15}$.
2. 2 समीकरण को सरल कीजिए (यदि संभव हो)। जब आप समीकरण को मानक रूप में लिखते हैं, तो गुणांकों को देखें ${ डिस्प्लेस्टाइल ए, बी}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$... अगर इन ऑड्स में GCD है, तो तीनों ऑड्स को इससे भाग दें। ऐसे सरलीकृत समीकरण का हल भी मूल समीकरण का हल होगा।
   • उदाहरण के लिए, यदि सभी तीन गुणांक सम हैं, तो उन्हें कम से कम 2 से विभाजित करें। उदाहरण के लिए:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 42x + 36y = 48}$ (सभी सदस्य 2 से विभाज्य हैं)
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 21x + 18y = 24}$ (अब सभी सदस्य 3 से विभाज्य हैं)
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 7x + 6y = 8}$ (इस समीकरण को अब सरल नहीं किया जा सकता है)
3. 3 जांचें कि क्या समीकरण हल किया जा सकता है। कुछ मामलों में, आप तुरंत कह सकते हैं कि समीकरण का कोई हल नहीं है। यदि गुणांक "सी" गुणांक "ए" और "बी" के जीसीडी द्वारा विभाज्य नहीं है, तो समीकरण का कोई समाधान नहीं है।
   • उदाहरण के लिए, यदि दोनों गुणांक ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$ सम हैं, तो गुणांक ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ सम होना चाहिए। लेकिन अगर ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ अजीब है, तो कोई उपाय नहीं है।
     • समीकरण ${ डिस्प्लेस्टाइल 2x + 4y = 21}$ कोई पूर्णांक समाधान नहीं।
     • समीकरण ${ डिस्प्लेस्टाइल 5x + 10y = 17}$ कोई पूर्णांक समाधान नहीं हैं क्योंकि समीकरण का बायां पक्ष 5 से विभाज्य है और दायां पक्ष नहीं है।

भाग 2 का 4: यूक्लिड का एल्गोरिथम कैसे लिखें

1. 1 यूक्लिड के एल्गोरिथम को समझें। यह दोहराए गए विभाजनों की एक श्रृंखला है जिसमें पिछले शेष को अगले भाजक के रूप में उपयोग किया जाता है। अंतिम भाजक जो संख्याओं को अभिन्न रूप से विभाजित करता है, वह दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) होता है।
   • उदाहरण के लिए, आइए यूक्लिड के एल्गोरिथम का उपयोग करके संख्या 272 और 36 की जीसीडी खोजें:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 272 = 7 * 36 + 20}$ - बड़ी संख्या (272) को छोटी संख्या (36) से विभाजित करें और शेष (20) पर ध्यान दें;
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 36 = 1 * 20 + 16}$ - पिछले भाजक (36) को पिछले शेष (20) से विभाजित करें। नए अवशेष (16) पर ध्यान दें;
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 20 = 1 * 16 + 4}$ - पिछले भाजक (20) को पिछले शेष (16) से भाग दें। नए अवशेष (4) पर ध्यान दें;
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 16 = 4 * 4 + 0}$ - पिछले भाजक (16) को पिछले शेष (4) से भाग दें। चूँकि शेषफल 0 है, हम कह सकते हैं कि 4 मूल दो संख्याओं 272 और 36 का GCD है।
2. 2 यूक्लिड के एल्गोरिथ्म को गुणांक "ए" और "बी" पर लागू करें। जब आप मानक रूप में रैखिक समीकरण लिखते हैं, तो गुणांक "ए" और "बी" निर्धारित करें और फिर जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिड के एल्गोरिदम को लागू करें। उदाहरण के लिए, एक रैखिक समीकरण दिया गया है ${ डिस्प्लेस्टाइल 87x-64y = 3}$.
   • गुणांक ए = 87 और बी = 64 के लिए यूक्लिड का एल्गोरिदम यहां दिया गया है:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल १८ = ३ * ५ + ३}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 ग्रेटेस्ट कॉमन फैक्टर (जीसीडी) का पता लगाएं। चूँकि अंतिम भाजक 1 था, GCD 87 और 64 1 हैं। इस प्रकार, 87 और 64 एक दूसरे के सापेक्ष अभाज्य संख्याएँ हैं।
4. 4 परिणाम का विश्लेषण करें। जब आप gcd गुणांक पाते हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$, इसकी तुलना गुणांक से करें ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ मूल समीकरण। अगर ${ डिस्प्लेस्टाइल सी}$ जीसीडी . द्वारा विभाज्य ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल बी}$, समीकरण का एक पूर्णांक हल है; अन्यथा समीकरण का कोई हल नहीं है।
   • उदाहरण के लिए, समीकरण ${ डिस्प्लेस्टाइल 87x-64y = 3}$ हल किया जा सकता है क्योंकि 3 1 से विभाज्य है (gcd = 1)।
   • उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि GCD = 5 है। 3, 5 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, इसलिए इस समीकरण का कोई पूर्णांक हल नहीं है।
   • जैसा कि नीचे दिखाया गया है, यदि किसी समीकरण का एक पूर्णांक हल होता है, तो उसके पास अनंत संख्या में अन्य पूर्णांक समाधान भी होते हैं।

भाग ३ का ४: यूक्लिड के एल्गोरिथम का उपयोग करके समाधान कैसे खोजें

1. 1 जीसीडी की गणना के लिए चरणों की संख्या। एक रैखिक समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको प्रतिस्थापन और सरलीकरण प्रक्रिया के आधार के रूप में यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करने की आवश्यकता है।
   • GCD की गणना के लिए चरणों को क्रमांकित करके प्रारंभ करें। गणना प्रक्रिया इस तरह दिखती है:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {चरण 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {स्टेप 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {चरण 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {स्टेप 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {स्टेप 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {स्टेप 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { टेक्स्ट {स्टेप 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 अंतिम चरण पर ध्यान दें, जहां शेष है। शेष को अलग करने के लिए इस चरण के समीकरण को फिर से लिखें।
   • हमारे उदाहरण में, शेष के साथ अंतिम चरण चरण 6 है। शेष 1 है। चरण 6 में समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखें:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 पिछले चरण के शेष को अलग करें। यह प्रक्रिया चरण-दर-चरण "ऊपर ले जाना" है। हर बार आप पिछले चरण के समीकरण में शेष को अलग कर देंगे।
   • चरण 5 में शेष समीकरण को अलग करें:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 = 5- (1 * 3)}$ या ${ डिस्प्लेस्टाइल 2 = 5-3}$
4. 4 प्रतिस्थापित करें और सरल करें। ध्यान दें कि चरण 6 में समीकरण में संख्या 2 है, और चरण 5 में समीकरण में, संख्या 2 पृथक है। तो चरण ६ में समीकरण में "२" के बजाय, चरण ५ में व्यंजक को प्रतिस्थापित करें:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 3-2}$ (चरण ६ का समीकरण)
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 3- (5-3)}$ (२ के बजाय, एक व्यंजक प्रतिस्थापित किया गया था)
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 3-5 + 3}$ (खुले कोष्ठक)
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (3) -5}$ (सरलीकृत)
5. 5 प्रतिस्थापन और सरलीकरण प्रक्रिया को दोहराएं। यूक्लिडियन एल्गोरिथम के माध्यम से उल्टे क्रम में चलते हुए वर्णित प्रक्रिया को दोहराएं। हर बार आप पिछले चरण के समीकरण को फिर से लिखेंगे और उसे प्राप्त होने वाले अंतिम समीकरण में जोड़ देंगे।
   • अंतिम चरण जिसे हमने देखा वह चरण 5 था। इसलिए चरण 4 पर जाएं और शेष को उस चरण के समीकरण में अलग करें:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 3 = 18- (3 * 5)}$
   • अंतिम समीकरण में "3" के लिए इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 प्रतिस्थापन और सरलीकरण प्रक्रिया के साथ जारी रखें। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाएगी जब तक आप यूक्लिडियन एल्गोरिथम के प्रारंभिक चरण तक नहीं पहुंच जाते। प्रक्रिया का लक्ष्य हल किए जाने वाले मूल समीकरण के गुणांक 87 और 64 के साथ समीकरण लिखना है। हमारे उदाहरण में:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (चरण 3 से व्यंजक को प्रतिस्थापित करें)
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (चरण 2 से व्यंजक को प्रतिस्थापित करें)
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (चरण 1 से व्यंजक को प्रतिस्थापित करें)
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 मूल गुणांक के अनुसार परिणामी समीकरण को फिर से लिखें। जब आप यूक्लिडियन एल्गोरिथम के पहले चरण पर लौटते हैं, तो आप देखेंगे कि परिणामी समीकरण में मूल समीकरण के दो गुणांक हैं। समीकरण को फिर से लिखिए ताकि उसके पदों का क्रम मूल समीकरण के गुणांकों से मेल खाए।
   • हमारे उदाहरण में, मूल समीकरण ${ डिस्प्लेस्टाइल 87x-64y = 3}$... इसलिए, परिणामी समीकरण को फिर से लिखें ताकि गुणांकों को एक पंक्ति में लाया जा सके।गुणांक "64" पर विशेष ध्यान दें। मूल समीकरण में, यह गुणांक ऋणात्मक है, और यूक्लिडियन एल्गोरिथम में, यह धनात्मक है। इसलिए, कारक 34 को नकारात्मक बनाया जाना चाहिए। अंतिम समीकरण इस तरह लिखा जाएगा:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 समाधान खोजने के लिए उपयुक्त गुणक लागू करें। ध्यान दें कि हमारे उदाहरण में, GCD = 1 है, इसलिए अंतिम समीकरण 1 है। लेकिन मूल समीकरण (87x-64y) 3 है। इसलिए, समाधान प्राप्त करने के लिए अंतिम समीकरण के सभी पदों को 3 से गुणा किया जाना चाहिए:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 समीकरण का पूर्णांक हल लिखिए। जिन संख्याओं को मूल समीकरण के गुणांकों से गुणा किया जाता है, वे उस समीकरण के हल होते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, निर्देशांक की एक जोड़ी के रूप में समाधान लिखें: ${ डिस्प्लेस्टाइल (एक्स, वाई) = (- 75, -102)}$.

भाग ४ का ४: अनंत अन्य समाधान खोजें

1. 1 समझें कि अनंत संख्या में समाधान हैं। यदि एक रैखिक समीकरण का एक पूर्णांक हल होता है, तो उसके अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक हल होने चाहिए। यहाँ एक त्वरित प्रमाण है (बीजीय रूप में):
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल एक्स + बाय = सी}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल ए (एक्स + बी) + बी (वाई-ए) = सी}$ (यदि आप "बी" को "एक्स" में जोड़ते हैं और "ए" को "वाई" से घटाते हैं, तो मूल समीकरण का मान नहीं बदलेगा)
2. 2 मूल x और y मान रिकॉर्ड करें। अगले (अनंत) समाधानों की गणना करने के लिए टेम्प्लेट एकमात्र समाधान से शुरू होता है जिसे आप पहले ही पा चुके हैं।
   • हमारे उदाहरण में, समाधान निर्देशांक की एक जोड़ी है ${ डिस्प्लेस्टाइल (एक्स, वाई) = (- 75, -102)}$.
3. 3 "बी" कारक को "एक्स" मान में जोड़ें। नया x मान ज्ञात करने के लिए ऐसा करें।
   • हमारे उदाहरण में, x = -75, और B = -64:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • इस प्रकार, नया मान "x": x = -139।
4. 4 "ए" कारक को "वाई" मान से घटाएं। ताकि मूल समीकरण का मान न बदले, "x" में एक संख्या जोड़ते समय, आपको "y" से दूसरी संख्या घटानी होगी।
   • हमारे उदाहरण में, y = -102, और A = 87:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = -102-87 = -189}$
   • इस प्रकार, "y" के लिए नया मान: y = -189।
   • निर्देशांक की नई जोड़ी इस प्रकार लिखी जाएगी: ${ डिस्प्लेस्टाइल (एक्स, वाई) = (- 139, -189)}$.
5. 5 समाधान की जाँच करें। यह सत्यापित करने के लिए कि नया समन्वय युग्म मूल समीकरण का समाधान है, मानों को समीकरण में प्लग करें।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 87x-64y = 3}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल ३ = ३}$
   • चूंकि समानता पूरी हो गई है, इसलिए निर्णय सही है।
6. 6 अनेक समाधान खोजने के लिए व्यंजक लिखें। "x" मान मूल समाधान और "बी" कारक के किसी भी गुणक के बराबर होगा। इसे निम्नलिखित अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जा सकता है:
   • एक्स (के) = एक्स + के (बी), जहां "एक्स (के)" "एक्स" मानों का सेट है और "एक्स" "एक्स" का मूल (पहला) मान है जो आपको मिला है।
     • हमारे उदाहरण में:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल एक्स (के) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), जहाँ y (k) y मानों का समुच्चय है और y मूल (प्रथम) y मान है जो आपको मिला है।
     • हमारे उदाहरण में:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई (के) = - 102-87k}$