विषय

• कदम
• 3 का भाग 1 : संख्याओं और वर्गमूलों के वर्गों को समझना
• 3 का भाग 2: लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथम का उपयोग करना
• भाग ३ का ३: अधूरे वर्गों को शीघ्रता से गिनना
• टिप्स

जबकि वर्गमूल प्रतीक का डराने वाला रूप किसी ऐसे व्यक्ति को बना सकता है जो गणित में अच्छा नहीं है, वर्गमूल की समस्याएं उतनी कठिन नहीं हैं जितनी शुरू में लग सकती हैं। साधारण वर्गमूल की समस्याओं को अक्सर सामान्य गुणा या भाग की समस्याओं की तरह आसानी से हल किया जा सकता है। दूसरी ओर, अधिक जटिल कार्यों के लिए कुछ प्रयास की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन सही दृष्टिकोण के साथ, वे भी आपके लिए मुश्किल नहीं होंगे। इस मौलिक रूप से नए गणित कौशल को सीखने के लिए आज ही जड़-समाधान शुरू करें!

कदम

3 का भाग 1 : संख्याओं और वर्गमूलों के वर्गों को समझना

1. 1 संख्या को स्वयं से गुणा करके वर्ग करें। वर्गमूल को समझने के लिए, संख्याओं के वर्ग से शुरुआत करना सबसे अच्छा है। संख्याओं का वर्ग करना बहुत सरल है: किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे अपने आप से गुणा करना। उदाहरण के लिए, 3 वर्ग 3 × 3 = 9 के समान है, और 9 वर्ग 9 × 9 = 81 के समान है। वर्ग संख्या के ऊपर दाईं ओर छोटी संख्या "2" लिखकर वर्गों को चिह्नित किया जाता है। उदाहरण: ३, ९, १००, इत्यादि।
   • इस अवधारणा को आजमाने के लिए स्वयं कुछ और संख्याओं का वर्ग करने का प्रयास करें। याद रखें, किसी संख्या को चुकता करने का अर्थ है कि उस संख्या को अपने आप से गुणा किया जाना चाहिए। यह ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी किया जा सकता है। इस मामले में, परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। उदाहरण के लिए: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 जब वर्गमूलों की बात आती है, तो प्रक्रिया को वर्गमूल करने के लिए उलट दिया जाता है। मूल प्रतीक (√, जिसे मूलक भी कहा जाता है) का अर्थ अनिवार्य रूप से प्रतीक के विपरीत होता है। जब आप एक रेडिकल देखते हैं, तो आपको खुद से पूछना होगा: "मूल के नीचे की संख्या प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या अपने आप से गुणा कर सकती है?" उदाहरण के लिए, यदि आप (9) देखते हैं, तो आपको एक ऐसी संख्या ढूंढनी होगी, जिसे चुकता करने पर, संख्या नौ मिले। हमारे मामले में, वह संख्या तीन होगी, क्योंकि 3 = 9.
   • एक अन्य उदाहरण पर विचार करें और 25 (√ (25)) का मूल ज्ञात करें। इसका मतलब है कि हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है जो हमें 25 वर्ग देगा। 5 = 5 × 5 = 25 के बाद से, हम कह सकते हैं कि √ (25) = 5।
   • आप इसे स्क्वायरिंग को "पूर्ववत" करने के बारे में भी सोच सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें (६४), ६४ का वर्गमूल ज्ञात करना है, तो आइए इस संख्या को ८ मानते हैं। चूँकि मूल चिह्न वर्ग को "रद्द" करता है, हम कह सकते हैं कि √ (64) = ( 8 ) = 8.
3. 3 जानिए परफेक्ट और नॉट परफेक्ट स्क्वायरिंग के बीच का अंतर। अब तक, जड़ के साथ हमारी समस्याओं के उत्तर अच्छे और गोल नंबर रहे हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। वर्गमूल की समस्याओं के उत्तर बहुत लंबे और अजीब दशमलव संख्या हो सकते हैं। वे संख्याएँ जिनका मूल पूर्ण संख्याएँ होती हैं (दूसरे शब्दों में, वे संख्याएँ जो भिन्न नहीं होतीं) पूर्ण वर्ग कहलाती हैं। उपरोक्त सभी उदाहरण (9, 25 और 64) पूर्ण वर्ग हैं क्योंकि उनका मूल एक पूर्णांक (3.5 और 8) होगा।
   • दूसरी ओर, वे संख्याएँ जिन्हें मूल में ले जाने पर पूर्णांक नहीं मिलता, अपूर्ण वर्ग कहलाती हैं। यदि आप इनमें से किसी एक संख्या को मूल के नीचे रखते हैं, तो आपको दशमलव भिन्न वाली संख्या प्राप्त होती है। कई बार यह संख्या काफी लंबी भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, (13) = 3.605551275464 ...
4. 4 पहले 1-12 पूर्ण वर्गों को याद करें। जैसा कि आप शायद पहले ही देख चुके हैं, एक पूर्ण वर्ग का मूल खोजना बहुत आसान है! चूंकि ये कार्य इतने आसान हैं, इसलिए पहले दर्जन पूर्ण वर्गों की जड़ों को याद रखना उचित है। आप इन नंबरों को एक से अधिक बार देखेंगे, इसलिए उन्हें जल्दी याद करने के लिए थोड़ा समय निकालें और भविष्य में समय बचाएं।
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 यदि संभव हो तो इसमें से पूर्ण वर्ग हटाकर जड़ों को सरल बनाएं। अधूरे वर्ग का मूल ढूँढना कभी-कभी मुश्किल हो सकता है, खासकर यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर रहे हैं (इस प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए कुछ युक्तियों के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें)। हालांकि, आप काम करना आसान बनाने के लिए अक्सर रूट के नीचे की संख्या को सरल बना सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको केवल मूल के नीचे की संख्या को गुणनखंड करना होगा, और फिर गुणनखंड का मूल ज्ञात करना होगा, जो एक पूर्ण वर्ग है, और इसे मूल के बाहर लिखें। यह सुनने में जितना आसान लगता है, उससे कहीं ज्यादा आसान है।अधिक जानकारी के लिए आगे पढ़िए।
   • मान लें कि हमें 900 का वर्गमूल निकालने की आवश्यकता है। पहली नज़र में, यह एक बहुत ही कठिन काम लगता है! हालाँकि, यह इतना कठिन नहीं होगा यदि हम संख्या 900 को कारकों से विभाजित करें। गुणक वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें एक दूसरे से गुणा करके एक नई संख्या दी जाती है। उदाहरण के लिए, संख्या ६ को १ × ६ और २ × ३ से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, इसके गुणनखंड १, २, ३ और ६ होंगे।
   • 900 के मूल की तलाश करने के बजाय, जो थोड़ा मुश्किल है, आइए 900 को 9 × 100 के रूप में लिखें। अब जब 9, जो एक पूर्ण वर्ग है, को 100 से अलग किया जाता है, तो हम इसका मूल ज्ञात कर सकते हैं। (९ × १००) = (९) × (१००) = ३ × (१००)। दूसरे शब्दों में, (900) = 3√ (100)।
   • हम 100 को दो कारकों, 25 और 4 से विभाजित करके और भी आगे जा सकते हैं। (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. तो हम कह सकते हैं, कि (900) = 3 (10) = 30
6. 6 एक ऋणात्मक संख्या का मूल ज्ञात करने के लिए काल्पनिक संख्याओं का प्रयोग करें। अपने आप से पूछें, कौन सी संख्या जब स्वयं से गुणा की जाएगी -16 देगी? यह 4 या -4 नहीं है, क्योंकि उन संख्याओं का वर्ग करने से हमें एक धनात्मक संख्या 16 प्राप्त होगी। छोड़ दें? वास्तव में, सामान्य संख्या में मूल -16 या कोई अन्य ऋणात्मक संख्या लिखने का कोई तरीका नहीं है। इस मामले में, हमें काल्पनिक संख्याओं (आमतौर पर अक्षरों या प्रतीकों के रूप में) को प्रतिस्थापित करना चाहिए ताकि वे ऋणात्मक संख्या के मूल के स्थान पर दिखाई दें। उदाहरण के लिए, चर "i" आमतौर पर रूट -1 के लिए प्रयोग किया जाता है। आमतौर पर, ऋणात्मक संख्या का मूल हमेशा काल्पनिक संख्या (या उसमें शामिल) होगा।
   • विदित हो कि यद्यपि काल्पनिक संख्याओं को साधारण संख्याओं द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, फिर भी उन्हें ऐसा माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का वर्गमूल इन ऋणात्मक संख्याओं को, किसी अन्य की तरह, वर्गमूल देने के लिए दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैं = -1

3 का भाग 2: लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथम का उपयोग करना

1. 1 जड़ वाली समस्या को दीर्घ विभाजन समस्या के रूप में लिखिए। हालांकि यह काफी समय लेने वाला हो सकता है, इस तरह आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना अधूरी वर्गमूल समस्या को हल कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक समाधान विधि (या एल्गोरिथ्म) का उपयोग करेंगे जो नियमित लंबे विभाजन के समान (लेकिन बिल्कुल समान नहीं) है।
   • सबसे पहले, समस्या को जड़ के साथ उसी रूप में लिखें जैसे लंबे विभाजन के लिए। मान लीजिए हम 6.45 का वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं, जो पूर्णतः पूर्ण वर्ग नहीं है। सबसे पहले, हम सामान्य वर्ग चिन्ह लिखेंगे, और फिर हम उसके नीचे एक संख्या लिखेंगे। इसके बाद, हम संख्या के ऊपर एक रेखा खींचेंगे ताकि यह एक छोटे "बॉक्स" में दिखाई दे, जैसे कि लंबे विभाजन में। उसके बाद हमारे पास एक लंबी पूंछ वाली एक जड़ होती है और उसके नीचे एक 6.45 नंबर होता है।
   • हम संख्याएँ जड़ के ऊपर लिखेंगे, इसलिए वहाँ कुछ जगह छोड़ना सुनिश्चित करें।
2. 2 संख्याओं को जोड़े में समूहित करें। समस्या को हल करना शुरू करने के लिए, आपको संख्या के अंकों को जोड़े में रेडिकल के तहत समूहित करना होगा, जो दशमलव बिंदु से शुरू होता है। आप चाहें तो भ्रम से बचने के लिए जोड़े के बीच छोटे-छोटे निशान (जैसे बिंदु, तिरछी रेखाएं, अल्पविराम आदि) बना सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हमें संख्या 6.45 को इस प्रकार जोड़ना है: 6-, 45-00। ध्यान दें कि बाईं ओर "शेष" अंक है - यह सामान्य है।
3. 3 सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग पहले "समूह" से कम या उसके बराबर है। बाईं ओर पहले नंबर या जोड़ी से शुरू करें। वह सबसे बड़ी संख्या चुनें जिसका वर्ग शेष "समूह" से कम या उसके बराबर हो। उदाहरण के लिए, यदि समूह 37 था, तो आप संख्या 6 चुनेंगे क्योंकि 6 = 36 37 और 7 = 49> 37. इस संख्या को पहले समूह के ऊपर लिखें। यह आपके उत्तर में पहला नंबर होगा।
   • हमारे उदाहरण में, ६-, ४५-०० पर पहला समूह संख्या ६ होगा। वर्ग में ६ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ी संख्या २ = ४ है। मूल के नीचे संख्या ६ के ऊपर संख्या २ लिखें। .
4. 4 आपके द्वारा अभी लिखी गई संख्या को दोगुना करें, फिर उसे रूट करें और घटाएं। अपने उत्तर का पहला अंक लें (वह संख्या जो आपको अभी मिली है) और इसे दोगुना करें। अपने पहले समूह के तहत परिणाम लिखें और अंतर खोजने के लिए घटाएं। उत्तर के आगे अगली दो संख्याएँ छोड़ें। अंत में, अपने उत्तर के पहले अंक का अंतिम दोहरा अंक बाईं ओर लिखें, और उसके आगे एक स्थान छोड़ दें।
   • हमारे उदाहरण में, हम संख्या 2 को दोगुना करके शुरू करेंगे, जो कि हमारे उत्तर में पहली संख्या है। २ × २ = ४फिर हम 2 प्राप्त करने के लिए 6 (हमारा पहला "समूह") से 4 घटाते हैं। फिर हम 245 प्राप्त करने के लिए अगले समूह (45) को छोड़ देते हैं। और अंत में, बाईं ओर, हम संख्या 4 को फिर से लिखेंगे, एक छोटी सी जगह छोड़कर अंत, यहाँ इस तरह: 4_
5. 5 कृपया रिक्त स्थान भरें। फिर आपको दर्ज की गई संख्या के दाईं ओर एक अंक जोड़ना होगा, जो बाईं ओर है। एक अंक चुनें, जिसे अपनी नई संख्या से गुणा करने पर, आपको सबसे बड़ा संभावित परिणाम प्राप्त होगा, लेकिन जो "छोड़े गए" संख्या से कम या उसके बराबर होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपकी "छोड़ी गई" संख्या 1700 है, और बाईं ओर आपकी संख्या 40_ है, तो आपको रिक्त स्थान में संख्या 4 लिखनी होगी, क्योंकि 404 × 4 = 1616 1700, जबकि 405 × 5 = 2025। अंक मिला इस चरण में और आपके उत्तर का दूसरा अंक होगा, इसलिए आप इसे मूल चिह्न के ऊपर लिख सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हमें एक संख्या ढूंढनी है और इसे रिक्त स्थान 4_ × _ में लिखना है, जो उत्तर को जितना संभव हो उतना बड़ा कर देगा, लेकिन फिर भी 245 से कम या उसके बराबर होगा। हमारे मामले में, यह 5 है। 45 × 5 = 225, जबकि 46 × 6 = 276
6. 6 उत्तर खोजने के लिए रिक्त संख्याओं का उपयोग करना जारी रखें। इस संशोधित लंबे विभाजन को तब तक हल करना जारी रखें जब तक कि आप "छोड़े गए" संख्या को घटाते समय शून्य प्राप्त करना शुरू न कर दें, या जब तक आपको वांछित सटीकता का स्तर न मिल जाए। जब आप काम पूरा कर लेंगे, तो प्रत्येक चरण में रिक्त स्थान भरने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्याएं (साथ ही सबसे पहली संख्या) आपके उत्तर की संख्या बन जाएंगी।
   • अपने उदाहरण को जारी रखते हुए, हम 20 प्राप्त करने के लिए 245 से 225 घटाते हैं। फिर, हम 2000 प्राप्त करने के लिए संख्याओं की अगली जोड़ी, 00 को छोड़ देते हैं। मूल चिह्न के ऊपर की संख्या को दोगुना करें। हमें 25 × 2 = 50 मिलता है। रिक्त स्थान के साथ उदाहरण को हल करने पर, 50_ × _ = / 2,000, हमें 3 मिलता है। इस स्तर पर, हमारे पास 253 रेडिकल के ऊपर लिखा होगा, और इस प्रक्रिया को फिर से दोहराते हुए, हमारी अगली संख्या 9 होगी। .
7. 7 मूल लाभांश संख्या से दशमलव बिंदु को आगे बढ़ाएं। अपना उत्तर पूरा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को सही जगह पर रखना होगा। सौभाग्य से, यह करना काफी आसान है। आपको बस इसे मूल संख्या बिंदु के साथ संरेखित करना है। उदाहरण के लिए, यदि संख्या 49.8 जड़ के नीचे है, तो आपको नौ और आठ से ऊपर की दो संख्याओं के बीच पूर्ण विराम लगाना होगा।
   • हमारे उदाहरण में, रेडिकल के तहत 6.45 है, इसलिए हम केवल अवधि को स्थानांतरित करते हैं और इसे हमारे उत्तर में संख्या 2 और 5 के बीच रखते हैं, और 2.539 के बराबर उत्तर प्राप्त करते हैं।

भाग ३ का ३: अधूरे वर्गों को शीघ्रता से गिनना

1. 1 अपूर्ण वर्गों को गिनकर ज्ञात कीजिए। एक बार जब आप पूर्ण वर्गों को याद कर लेते हैं, तो अधूरे वर्गों का मूल खोजना बहुत आसान हो जाता है। चूंकि आप पहले से ही एक दर्जन पूर्ण वर्गों को जानते हैं, इन दो पूर्ण वर्गों के बीच के क्षेत्र में आने वाली कोई भी संख्या इन मानों के बीच किसी न किसी संख्या को कम करके पाई जा सकती है। बीच में अपनी संख्या के साथ दो पूर्ण वर्ग ढूंढकर प्रारंभ करें। फिर निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा नंबर आपकी संख्या के करीब है।
   • उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमें 40 का वर्गमूल निकालने की आवश्यकता है। चूंकि हमने पूर्ण वर्गों को याद किया है, हम कह सकते हैं कि 40 6 और 7 के बीच है, या 36 और 49 है। चूंकि 40, 6 से बड़ा है, इसलिए इसका मूल 6 से बड़ा होगा। , और चूंकि यह 7 से कम है, इसलिए इसकी जड़ भी 7 से कम होगी। 40, 49 की तुलना में 36 के थोड़ा करीब है, इसलिए उत्तर 6 के करीब होने की संभावना है। अगले कुछ चरणों में, हम अपने उत्तर।
2. 2 पहले दशमलव स्थान पर वर्गमूल की गणना करें। एक बार जब आप दो पूर्ण वर्गों का चयन कर लेते हैं, जिनके बीच आपका नंबर होता है, तो यह सब आपकी गिनती में तब तक आता है जब तक आपको मनचाहा उत्तर नहीं मिल जाता। जितना अधिक आप गिनेंगे, आपका उत्तर उतना ही सटीक होगा। अपने उत्तर में दशमलव बिंदु कहां रखना है, यह चुनकर प्रारंभ करें। यह सही होना जरूरी नहीं है, लेकिन यदि आप तर्क का उपयोग करते हैं और सही उत्तर के जितना करीब हो सके समाप्त कर देते हैं, तो यह आपका समय बचाएगा।
   • हमारे उदाहरण में, ४० के वर्गमूल का एक उचित अनुमान ६.४ हो सकता है, क्योंकि उपरोक्त जानकारी से, हम जानते हैं कि उत्तर ७ के बजाय ६ के करीब है।
3. 3 अनुमानित संख्या को अपने आप से गुणा करें। अगली चीज़ जो आपको करनी चाहिए वह है अनुमानित संख्या का वर्ग करना। आप सबसे अधिक भाग्य से बाहर होंगे और मूल संख्या प्राप्त नहीं करेंगे। यह या तो थोड़ा बड़ा होगा या थोड़ा छोटा।यदि आपका परिणाम बहुत अधिक है, तो फिर से प्रयास करें, लेकिन थोड़े कम अनुमान के साथ (और यदि परिणाम बहुत कम है तो इसके विपरीत)।
   • 6.4 को अपने आप से गुणा करें, और आपको 6.4 x 6.4 = 40.96 मिलता है, जो मूल संख्या से थोड़ा अधिक है।
   • चूँकि हमारा उत्तर बड़ा निकला, हमें संख्या को सन्निकट से दसवें कम से गुणा करना चाहिए और निम्नलिखित प्राप्त करना चाहिए: 6.3 × 6.3 = 39.69। यह मूल संख्या से थोड़ा कम है। इसका मतलब है कि 40 का वर्गमूल 6.3 और 6.4 के बीच है। फिर, चूंकि 39.69 40.96 की तुलना में 40 के करीब है, हम जानते हैं कि वर्गमूल 6.4 की तुलना में 6.3 के करीब होगा।
4. 4 गणना जारी रखें। इस बिंदु पर, यदि आप अपने उत्तर से खुश हैं, तो आप केवल अपने अनुमान के अनुसार पहला अनुमान लगा सकते हैं। हालाँकि, यदि आप अधिक सटीक उत्तर चाहते हैं, तो आपको केवल दो दशमलव स्थानों के साथ एक अनुमानित मान चुनना होगा जो उस अनुमानित मान को पहले दो नंबरों के बीच रखता है। इस गिनती को जारी रखते हुए, आप अपने उत्तर के लिए तीन, चार या अधिक दशमलव स्थान प्राप्त कर सकते हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप कितनी दूर जाना चाहते हैं।
   • हमारे उदाहरण के लिए, आइए 6.33 को दो दशमलव स्थानों के साथ अनुमानित मान के रूप में चुनें। 6.33 को स्वयं से गुणा करके 6.33 × 6.33 = 40.0689 प्राप्त करें। चूंकि यह हमारी संख्या से थोड़ा बड़ा है, हम एक छोटी संख्या लेंगे, उदाहरण के लिए, 6.32। 6.32 × 6.32 = 39.9424। यह उत्तर हमारी संख्या से थोड़ा कम है, इसलिए हम जानते हैं कि सटीक वर्गमूल 6.32 और 6.33 के बीच है। यदि हम जारी रखना चाहते हैं, तो हम अधिक से अधिक सटीक उत्तर प्राप्त करने के लिए उसी दृष्टिकोण का उपयोग करना जारी रखेंगे।

टिप्स

• जल्दी से समाधान खोजने के लिए, कैलकुलेटर का उपयोग करें। अधिकांश आधुनिक कैलकुलेटर तुरंत किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। आपको बस अपना नंबर दर्ज करना है और फिर रूट बटन पर क्लिक करना है। उदाहरण के लिए, रूट 841 खोजने के लिए, आपको 8, 4, 1 और (√) दबाना होगा। परिणामस्वरूप, आपको 39 का उत्तर प्राप्त होगा।