विषय

• प्रारंभिक जानकारी
• कदम
• 3 का भाग 1 : मूल बातें
• 3 का भाग 2 : लाप्लास परिवर्तन के गुण
• 3 का भाग 3 : श्रृंखला विस्तार द्वारा लाप्लास परिवर्तन का पता लगाना

लाप्लास परिवर्तन एक अभिन्न परिवर्तन है जिसका उपयोग निरंतर गुणांक वाले अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। यह परिवर्तन व्यापक रूप से भौतिकी और इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है।

जब आप उपयुक्त तालिकाओं का उपयोग कर सकते हैं, तो लाप्लास परिवर्तन को समझना सहायक होता है ताकि यदि आवश्यक हो तो आप इसे स्वयं कर सकें।

प्रारंभिक जानकारी

• एक समारोह दिया ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ (टी)}$के लिए परिभाषित ${ डिस्प्लेस्टाइल टी गीक 0.}$ फिर लाप्लास ट्रांसफॉर्म समारोह ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ (टी)}$ प्रत्येक मान का अगला कार्य है ${ डिस्प्लेस्टाइल एस}$, जिस पर अभिन्न अभिसरण होता है:
  • ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ (एस) = { गणित {एल}} {एफ (टी) } = int _ {0} ^ { infty} एफ (टी) ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी}$
• लाप्लास परिवर्तन टी-क्षेत्र (समय के पैमाने) से एस-क्षेत्र (परिवर्तन क्षेत्र) में एक कार्य लेता है, जहां ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ (एस)}$ एक जटिल चर का एक जटिल कार्य है। यह आपको फ़ंक्शन को ऐसे क्षेत्र में ले जाने की अनुमति देता है जहां समाधान अधिक आसानी से मिल सकता है।
• जाहिर है, लैपलेस ट्रांसफॉर्म एक रैखिक ऑपरेटर है, इसलिए यदि हम शब्दों के योग के साथ काम कर रहे हैं, तो प्रत्येक इंटीग्रल की गणना अलग से की जा सकती है।
  • ${ डिस्प्लेस्टाइल int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• याद रखें कि लैपलेस ट्रांसफॉर्म तभी काम करता है जब इंटीग्रल कन्वर्ज हो। यदि समारोह ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ (टी)}$ असंतुलन है, अनिश्चितता से बचने के लिए सावधान रहना और एकीकरण की सीमा को सही ढंग से निर्धारित करना आवश्यक है।

कदम

3 का भाग 1 : मूल बातें

1. 1 फ़ंक्शन को लाप्लास रूपांतरण सूत्र में बदलें। सैद्धांतिक रूप से, किसी फ़ंक्शन के लाप्लास रूपांतरण की गणना करना बहुत आसान है। एक उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें ${ डिस्प्लेस्टाइल f (t) = e ^ {at}}$, कहाँ पे ${ डिस्प्लेस्टाइल ए}$ के साथ एक जटिल स्थिरांक है ${ डिस्प्लेस्टाइल ऑपरेटरनाम {रे} (एस) ऑपरेटरनाम {रे} (ए)।}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {ई ^ {पर} } = int _ {0} ^ { infty} ई ^ {पर} ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी}$
2. 2 उपलब्ध विधियों का उपयोग करके समाकलन का अनुमान लगाएं। हमारे उदाहरण में, अनुमान बहुत सरल है और आप सरल गणनाओं से प्राप्त कर सकते हैं। अधिक जटिल मामलों में, अधिक जटिल तरीकों की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, भागों द्वारा एकीकरण या अभिन्न संकेत के तहत भेदभाव। बाधा की स्थिति ${ डिस्प्लेस्टाइल ऑपरेटरनाम {रे} (एस) ऑपरेटरनाम {रे} (ए)}$ इसका मतलब है कि अभिन्न अभिसरण होता है, अर्थात इसका मान 0 के रूप में होता है ${ डिस्प्लेस्टाइल टी से infty।}$
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {गठबंधन}}}$
   • ध्यान दें कि यह हमें दो प्रकार के लाप्लास रूपांतरण देता है, साइन और कोसाइन के साथ, क्योंकि यूलर के सूत्र के अनुसार ${ डिस्प्लेस्टाइल ई ^ {iat}}$... इस मामले में, हर में हमें मिलता है ${ डिस्प्लेस्टाइल एस-आईए,}$ और यह केवल वास्तविक और काल्पनिक भागों को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। आप सीधे परिणाम का मूल्यांकन भी कर सकते हैं, लेकिन इसमें थोड़ा अधिक समय लगेगा।
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { मैथकल {एल}} { cos at } = ऑपरेटरनाम {Re} लेफ्ट ({ frac {1} {s-ia}} राइट) = { frac {s} {s ^ {2} + ए ^ {2}}}}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { मैथकल {एल}} { sin at } = ऑपरेटरनाम {Im} लेफ्ट ({ frac {1} {s-ia}} राइट) = { frac {a} {s ^ {2} + ए ^ {2}}}}$
3. 3 एक शक्ति फलन के लाप्लास परिवर्तन पर विचार करें। सबसे पहले, आपको पावर फ़ंक्शन के परिवर्तन को परिभाषित करने की आवश्यकता है, क्योंकि रैखिकता गुण आपको के लिए परिवर्तन खोजने की अनुमति देता है के सभी बहुपद। फॉर्म का एक फंक्शन ${ डिस्प्लेस्टाइल टी ^ {एन},}$ कहाँ पे ${ प्रदर्शन शैली n}$ - कोई भी सकारात्मक पूर्णांक। पुनरावर्ती नियम को परिभाषित करने के लिए टुकड़े-टुकड़े एकीकृत किया जा सकता है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {टी ^ {एन} } = int _ {0} ^ { infty} टी ^ {n} ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी = { frac {n} {s}} { गणित {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • यह परिणाम परोक्ष रूप से व्यक्त किया जाता है, लेकिन यदि आप कई मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल एन,}$ आप एक निश्चित पैटर्न स्थापित कर सकते हैं (इसे स्वयं करने का प्रयास करें), जो आपको निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {टी ^ {एन} } = { फ्रैक {एन!} {एस ^ {एन + 1}}}}$
   • आप गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके भिन्नात्मक शक्तियों के लाप्लास परिवर्तन को भी परिभाषित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह आप किसी फ़ंक्शन का रूपांतरण पा सकते हैं जैसे कि ${ डिस्प्लेस्टाइल f (t) = { sqrt {t}}।}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {टी ^ {एन} } = { फ्रैक { गामा (एन + 1)} {एस ^ {एन + 1}}}}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {टी ^ {1/2} } = { फ्रैक { गामा (3/2)} {एस ^ {3/2}}} = { फ्रैक { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • हालांकि भिन्नात्मक शक्तियों वाले कार्यों में कटौती होनी चाहिए (याद रखें, कोई भी जटिल संख्या ${ डिस्प्लेस्टाइल जेड}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल अल्फा}$ के रूप में लिखा जा सकता है ${ डिस्प्लेस्टाइल जेड ^ { अल्फा}}$, क्यों कि ${ डिस्प्लेस्टाइल ई ^ { अल्फा ऑपरेटरनाम {लॉग} जेड}}$), उन्हें हमेशा इस तरह से परिभाषित किया जा सकता है कि कट बाएं आधे तल में हों, और इस प्रकार विश्लेषणात्मक समस्याओं से बचें।

3 का भाग 2 : लाप्लास परिवर्तन के गुण

1. 1 आइए हम फलन के लाप्लास रूपान्तरण को से गुणा करते हैं इएटी{ डिस्प्लेस्टाइल ई ^ {पर}}. पिछले भाग में प्राप्त परिणामों ने हमें लाप्लास परिवर्तन के कुछ दिलचस्प गुणों का पता लगाने की अनुमति दी। कोसाइन, साइन और एक्सपोनेंशियल फंक्शन जैसे फंक्शन का लाप्लास ट्रांसफॉर्म पावर फंक्शन ट्रांसफॉर्म की तुलना में सरल लगता है। गुणा ${ डिस्प्लेस्टाइल ई ^ {पर}}$ टी-क्षेत्र में से मेल खाती है खिसक जाना एस-क्षेत्र में:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {डी} टी = एफ (एसए)}$
   • यह संपत्ति आपको तुरंत जैसे कार्यों के परिवर्तन को खोजने की अनुमति देती है ${ डिस्प्लेस्टाइल f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, अभिन्न की गणना किए बिना:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {ई ^ {3t} sin 2t } = { फ्रैक {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 आइए हम फलन के लाप्लास रूपान्तरण को से गुणा करते हैं टीएन{ डिस्प्लेस्टाइल टी ^ {एन}}. सबसे पहले, गुणा पर विचार करें ${ डिस्प्लेस्टाइल टी}$... परिभाषा के अनुसार, कोई एक फ़ंक्शन को एक अभिन्न के तहत अलग कर सकता है और आश्चर्यजनक रूप से सरल परिणाम प्राप्त कर सकता है:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { आंशिक} { आंशिक s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { फ्रैक { गणित {डी}} { गणित {डी} एस}} int _ {0} ^ { infty} एफ (टी) ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी & = - { फ्रैक { गणित {डी} एफ} { गणित {डी} एस}} अंत {गठबंधन}}}$
   • इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, हमें अंतिम परिणाम मिलता है:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {टी ^ {एन} एफ (टी) } = (- 1) ^ {एन} { फ्रैक { गणित {डी} ^ {एन} एफ} { गणित {डी} एस ^ {एन}}}}$
   • हालाँकि एकीकरण और विभेदन के संचालकों की पुनर्व्यवस्था के लिए कुछ अतिरिक्त औचित्य की आवश्यकता होती है, हम इसे यहाँ प्रस्तुत नहीं करेंगे, लेकिन केवल यह ध्यान दें कि यदि अंतिम परिणाम समझ में आता है तो यह ऑपरेशन सही है। आप इस तथ्य को भी ध्यान में रख सकते हैं कि चर ${ डिस्प्लेस्टाइल एस}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल टी}$ एक दूसरे पर निर्भर न हों।
   • इस नियम का उपयोग करते हुए, जैसे कार्यों के परिवर्तन को खोजना आसान है ${ डिस्प्लेस्टाइल टी ^ {2} cos 2t}$, भागों द्वारा पुन: एकीकरण के बिना:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {टी ^ {2} cos 2t } = { फ्रैक { गणित {डी} ^ {2}} { गणित {डी} एस ^ {2}}} { फ़्रैक {s} {s ^ {2} +4}} = { फ़्रेक {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 फ़ंक्शन का लाप्लास रूपांतर ज्ञात करें एफ(एटी){ डिस्प्लेस्टाइल एफ (पर)}. यह परिवर्तन की परिभाषा का उपयोग करके वेरिएबल को u से बदलकर आसानी से किया जा सकता है:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } यू & = { फ्रैक {1} {ए}} एफ बाएं ({ फ्रैक {एस} {ए}} दाएं) अंत {गठबंधन}}}$
   • ऊपर, हमने कार्यों के लैपलेस परिवर्तन को पाया ${ प्रदर्शन शैली पाप पर}$ तथा ${ डिस्प्लेस्टाइल cos at}$ सीधे घातीय फ़ंक्शन से। इस गुण का उपयोग करके, आप वास्तविक और काल्पनिक भागों को खोजने पर समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {ई ^ {आईटी} } = { फ्रैक {1} {एस-आई}}}$.
4. 4 व्युत्पन्न के लाप्लास परिवर्तन का पता लगाएं एफ′(टी){ डिस्प्लेस्टाइल एफ ^ { प्राइम} (टी)}. पिछले उदाहरणों के विपरीत, इस मामले में यह करना है टुकड़े-टुकड़े एकीकृत करें:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { शुरू {गठबंधन} { गणित {एल}} {एफ ^ { प्राइम} (टी) } और = int _ {0} ^ { infty} f ^ { प्राइम} (टी ) ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी, यू = ई ^ {- सेंट}, गणित {डी} वी = एफ ^ { प्राइम} (टी) गणित {डी} टी & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } टी और = एसएफ (एस) -एफ (0) अंत {गठबंधन}}}$
   • चूंकि दूसरा व्युत्पन्न कई भौतिक समस्याओं में होता है, इसलिए हम इसके लिए लाप्लास रूपान्तरण भी पाते हैं:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {एफ ^ { प्राइम प्राइम} (टी) } = एस ^ {2} एफ (एस) -एसएफ (0) -एफ ^ { प्राइम} (0) }$
   • सामान्य स्थिति में, nवें क्रम के व्युत्पन्न के लाप्लास रूपान्तरण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है (यह लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है):
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} {एफ ^ {(एन)} (टी) } = एस ^ {एन} एफ (एस) - योग _ {के = 0} ^ {एन -1} एस ^ {एनके-1} एफ ^ {(के)} (0)}$

3 का भाग 3 : श्रृंखला विस्तार द्वारा लाप्लास परिवर्तन का पता लगाना

1. 1 आइए हम एक आवर्त फलन के लिए लाप्लास रूपांतर ज्ञात करें। आवधिक कार्य स्थिति को संतुष्ट करता है ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ (टी) = एफ (टी + एनटी),}$ कहाँ पे ${ डिस्प्लेस्टाइल टी}$ समारोह की अवधि है, और ${ प्रदर्शन शैली n}$ एक धनात्मक पूर्णांक है। सिग्नल प्रोसेसिंग और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग सहित कई अनुप्रयोगों में आवधिक कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सरल परिवर्तनों का उपयोग करके, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { start {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { डी} टी और = योग _ {एन = 0} ^ { infty} int _ {एनटी} ^ {(एन + 1) टी} एफ (टी) ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी और = योग _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {टी} एफ (टी + एनटी) ई ^ {- एस (टी + एनटी)} गणित {डी} टी और = योग _ {n = 0} ^ { infty} ई ^ {- एसएनटी} int _ {0} ^ {टी} एफ (टी) ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी & = { फ्रैक {1} {1-ई ^ {- एसटी}}} int _ {0} ^ {टी} एफ (टी) ई ^ {- सेंट} गणित {डी} टी अंत { संरेखित}}}$
   • जैसा कि आप देख सकते हैं, एक आवधिक कार्य के मामले में, एक अवधि के लिए लाप्लास परिवर्तन करने के लिए पर्याप्त है।
2. 2 प्राकृतिक लघुगणक के लिए लाप्लास परिवर्तन करें। इस मामले में, अभिन्न को प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। गामा फ़ंक्शन और इसकी श्रृंखला विस्तार का उपयोग करने से आप प्राकृतिक लघुगणक और इसकी डिग्री का अनुमान लगा सकते हैं। यूलर-माशेरोनी स्थिरांक की उपस्थिति ${ डिस्प्लेस्टाइल गामा}$ दिखाता है कि इस अभिन्न का अनुमान लगाने के लिए, एक श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना आवश्यक है।
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल { गणित {एल}} { एलएन टी } = - { फ्रैक { गामा + एलएन एस} {एस}}}$
3. 3 असामान्य sinc फ़ंक्शन के लाप्लास परिवर्तन पर विचार करें। समारोह ${ डिस्प्लेस्टाइल ऑपरेटरनाम {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, अंतर समीकरणों में यह पहली तरह के गोलाकार बेसेल फ़ंक्शन और शून्य क्रम के बराबर है ${ डिस्प्लेस्टाइल j_ {0} (x).}$ इस फ़ंक्शन के लाप्लास परिवर्तन की गणना भी मानक विधियों द्वारा नहीं की जा सकती है। इस मामले में, श्रृंखला के अलग-अलग सदस्यों का परिवर्तन किया जाता है, जो कि शक्ति कार्य हैं, इसलिए उनके परिवर्तन आवश्यक रूप से एक निश्चित अंतराल पर अभिसरण करते हैं।
   • सबसे पहले, हम टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार लिखते हैं:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक { पाप टी} {टी}} = योग _ {एन = 0} ^ { infty} { फ्रैक {(-1) ^ {एन} टी ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • अब हम पावर फंक्शन के पहले से ज्ञात लैपलेस ट्रांसफॉर्म का उपयोग करते हैं। फैक्टोरियल रद्द कर दिए जाते हैं, और परिणामस्वरूप हमें आर्कटैंगेंट के लिए टेलर विस्तार मिलता है, यानी एक वैकल्पिक श्रृंखला जो साइन के लिए टेलर श्रृंखला के समान होती है, लेकिन बिना फैक्टोरियल के:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { शुरू {गठबंधन} { गणित {एल}} बाएं {{ फ्रैक { पाप टी} {टी}} दाएं } और = योग _ {n = 0} ^ { infty } { फ़्रेक {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { फ़्रेक {1} {s ^ {2n + 1}}} और = योग _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = तन ^ {- 1} { frac {1} {s}} अंत {गठबंधन}}}$