विषय

• कदम
• विधि 1 का 3: दो रेखाओं के ढलानों की तुलना करना
• विधि 2 का 3: एक रेखीय समीकरण का उपयोग करना
• विधि 3 का 3: एक समानांतर रेखा का समीकरण ढूँढना

समानांतर सीधी रेखाएं सीधी रेखाएं होती हैं जो एक ही विमान में होती हैं और कभी भी (अनंत में) नहीं मिलती हैं। समांतर रेखाओं का ढाल समान होता है।ढलान एब्सिस्सा अक्ष के लिए सीधी रेखा के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, अर्थात्, "y" में परिवर्तन का अनुपात "x" समन्वय में परिवर्तन के लिए समन्वय करता है। समानांतर सीधी रेखाएं अक्सर "ll" आइकन द्वारा इंगित की जाती हैं। उदाहरण के लिए, ABllCD का अर्थ है कि रेखा AB, रेखा CD के समानांतर है।

कदम

विधि 1 का 3: दो रेखाओं के ढलानों की तुलना करना

1. 1 ढलान की गणना के लिए सूत्र लिखिए। सूत्र: k = (y₂ - आप₁) / (एक्स₂ - एक्स₁), जहां "x" और "y" एक सीधी रेखा पर स्थित दो बिंदुओं (कोई भी) के निर्देशांक हैं। पहले बिंदु के निर्देशांक जो मूल के करीब हैं, उन्हें (x .) के रूप में दर्शाया गया है₁, आप₁); दूसरे बिंदु के निर्देशांक, जो मूल से आगे है, के रूप में निरूपित करते हैं (x₂, आप₂).
   • उपरोक्त सूत्र निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: ऊर्ध्वाधर दूरी (दो बिंदुओं के बीच) और क्षैतिज दूरी (दो बिंदुओं के बीच) का अनुपात।
   • यदि रेखा बढ़ रही है (ऊपर की ओर इशारा करते हुए), तो इसका ढलान सकारात्मक है।
   • यदि रेखा घट रही है (नीचे की ओर इशारा करते हुए), तो इसका ढलान ऋणात्मक है।
2. 2 प्रत्येक रेखा पर स्थित दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। बिंदुओं के निर्देशांक फॉर्म (x, y) में लिखे गए हैं, जहां "x" एक्स-अक्ष (एब्सिसा) के साथ समन्वय है, "y" "y" अक्ष (ऑर्डिनेट) के साथ समन्वय है। ढलान की गणना करने के लिए, प्रत्येक पंक्ति पर दो बिंदु अंकित करें।
   • यदि निर्देशांक तल पर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं तो बिंदुओं को चिह्नित करना आसान होता है।
   • किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, उससे प्रत्येक अक्ष पर लम्ब (बिंदीदार रेखाएँ) खींचिए। x-अक्ष के साथ बिंदीदार रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु x-निर्देशांक है, और y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु y-निर्देशांक है।
   • उदाहरण के लिए: रेखा l पर निर्देशांक (1, 5) और (-2, 4) के साथ बिंदु हैं, और रेखा r पर - निर्देशांक (3, 3) और (1, -4) के साथ बिंदु हैं।
3. 3 सूत्र में बिंदुओं के निर्देशांक में प्लग करें। फिर संबंधित निर्देशांक घटाएं और प्राप्त परिणामों का अनुपात ज्ञात करें। निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते समय, उनके क्रम को भ्रमित न करें।
   • एक सीधी रेखा के ढलान की गणना l: k = (5 - (-4)) / (1 - (-2))
   • घटाव: कश्मीर = 9/3
   • डिवीजन: के = 3
   • एक सीधी रेखा के ढलान की गणना r: k = (3 - (-4)) / (3 - 1) = 7/2
4. 4 ढलानों की तुलना करें। याद रखें कि समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। चित्र में, रेखाएँ समानांतर दिखाई दे सकती हैं, लेकिन यदि ढलान समान नहीं हैं, तो रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर नहीं होती हैं।
   • हमारे उदाहरण में, 3 7/2 के बराबर नहीं है, इसलिए डेटा लाइनें समानांतर नहीं हैं।

विधि 2 का 3: एक रेखीय समीकरण का उपयोग करना

1. 1 एक रैखिक समीकरण लिखिए। रैखिक समीकरण का रूप y = kx + b है, जहाँ k ढलान है, b, Y अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का "y" निर्देशांक है, "x" और "y" द्वारा निर्धारित चर हैं सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक। इस सूत्र का उपयोग करके, आप आसानी से ढलान k की गणना कर सकते हैं।
   • उदाहरण के लिए। समीकरण 4y - 12x = 20 और y = 3x -1 को रैखिक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें। समीकरण 4y - 12x = 20 को आवश्यक रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है, लेकिन समीकरण y = 3x -1 पहले से ही एक रैखिक समीकरण के रूप में लिखा गया है।
2. 2 समीकरण को एक रैखिक समीकरण के रूप में फिर से लिखिए। कभी-कभी एक समीकरण दिया जाता है जो रैखिक समीकरण के रूप में प्रदर्शित नहीं होता है। इस तरह के समीकरण को फिर से लिखने के लिए, आपको कई सरल गणितीय संक्रियाओं को करने की आवश्यकता है।
   • उदाहरण के लिए: समीकरण 4y - 12x = 20 को एक रैखिक समीकरण के रूप में फिर से लिखें।
   • समीकरण के दोनों पक्षों में 12x जोड़ें: 4y - 12x + 12x = 20 + 12x
   • y को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करें: 4y / 4 = 12x / 4 + 20/4
   • एक रैखिक के रूप में समीकरण: y = 3x + 5।
3. 3 ढलानों की तुलना करें। याद रखें कि समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। समीकरण y = kx + b का उपयोग करके, जहां k ढलान है, आप दो रेखाओं के ढलानों को ढूंढ सकते हैं और उनकी तुलना कर सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, पहली पंक्ति को समीकरण y = 3x + 5 द्वारा वर्णित किया गया है, इसलिए ढलान 3 है। दूसरी पंक्ति को समीकरण y = 3x - 1 द्वारा वर्णित किया गया है, इसलिए ढलान भी 3 है। चूंकि ढलान बराबर हैं , ये रेखाएँ समानांतर हैं।
   • ध्यान दें कि यदि समान ढलान वाली रेखाओं में समान गुणांक b (Y-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक) भी समान है, तो ऐसी रेखाएं संपाती होती हैं, और समानांतर नहीं होती हैं।

विधि 3 का 3: एक समानांतर रेखा का समीकरण ढूँढना

1. 1 समीकरण लिखिए। निम्नलिखित समीकरण आपको समानांतर (दूसरी) सीधी रेखा के समीकरण को खोजने की अनुमति देगा, यदि पहली सीधी रेखा का समीकरण और उस बिंदु के निर्देशांक जो मांगी गई समानांतर (दूसरी) सीधी रेखा पर स्थित है: y - y₁= के (एक्स - एक्स₁), जहां k ढलान है, x₁ और तुम₁ - वांछित सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक, "x" और "y" - पहली सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्धारित चर।
   • उदाहरण के लिए: एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा y = -4x + 3 के समानांतर है और जो निर्देशांक (1, -2) के साथ बिंदु से गुजरती है।
2. 2 इस (पहली) सीधी रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए। एक समांतर (दूसरी) सीधी रेखा के समीकरण को खोजने के लिए, आपको पहले इसकी ढलान निर्धारित करने की आवश्यकता है। सुनिश्चित करें कि समीकरण रैखिक समीकरण रूप में है और फिर ढलान मान (k) ज्ञात करें।
   • दूसरी पंक्ति इस रेखा के समानांतर होनी चाहिए, जिसे समीकरण y = -4x + 3 द्वारा वर्णित किया गया है। इस समीकरण में, k = -4, इसलिए दूसरी पंक्ति का ढलान समान होगा।
3. 3 दूसरी सीधी रेखा पर स्थित बिंदु के निर्देशांकों को प्रस्तुत समीकरण में रखें। यह विधि तभी लागू होती है जब दूसरी सीधी रेखा पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक दिए गए हों, जिसका समीकरण ज्ञात करना हो। ऐसे बिंदु के निर्देशांक को उस बिंदु के निर्देशांक के साथ भ्रमित न करें जो इस (पहली) सीधी रेखा पर स्थित है। याद रखें कि यदि समान ढलान वाली रेखाओं का गुणांक b (Y-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक) भी समान है, तो ये रेखाएँ मेल खाती हैं, और समानांतर नहीं हैं।
   • हमारे उदाहरण में, दूसरी पंक्ति के बिंदु के निर्देशांक (1, -2) हैं।
4. 4 दूसरी पंक्ति के लिए समीकरण लिखिए। ऐसा करने के लिए, ज्ञात मानों को समीकरण y - y . में प्लग करें₁= के (एक्स - एक्स₁) दूसरी सीधी रेखा पर पाए गए ढलान और बिंदु के निर्देशांक में प्लग करें।
   • हमारे उदाहरण में, k = -4, और बिंदु के निर्देशांक (1, -2): y - (-2) = -4 (x - 1)
5. 5 समीकरण को सरल कीजिए। समीकरण को सरल कीजिए और इसे एक रैखिक समीकरण के रूप में लिखिए। यदि आप निर्देशांक तल पर दूसरी रेखा खींचते हैं, तो यह इस (पहली) रेखा के समानांतर होगी।
   • उदाहरण के लिए: y - (-2) = -4 (x - 1)
   • दो "माइनस" एक "प्लस" देते हैं: y + 2 = -4 (x -1)
   • कोष्ठक का विस्तार करें: y + 2 = -4x + 4।
   • समीकरण के दोनों पक्षों से -2 घटाएं: y + 2 - 2 = -4x + 4 - 2
   • सरलीकृत समीकरण: y = -4x + 2