विषय

• कदम
• विधि १ का ३: भाग १: विभक्ति बिंदु का निर्धारण
• विधि 2 का 3 : किसी फलन के व्युत्पन्नों की गणना करना
• विधि 3 का 3: भाग 3: विभक्ति बिंदु खोजें
• टिप्स

डिफरेंशियल कैलकुलस में, एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु होता है, जिस पर इसकी वक्रता संकेत (प्लस से माइनस या माइनस से प्लस तक) में बदल जाती है। डेटा में महत्वपूर्ण परिवर्तनों की पहचान करने के लिए इस अवधारणा का उपयोग मैकेनिकल इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और सांख्यिकी में किया जाता है।

कदम

विधि १ का ३: भाग १: विभक्ति बिंदु का निर्धारण

1. 1 अवतल कार्य की परिभाषा। अवतल फलन के ग्राफ के किसी भी जीवा (दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड) का मध्य या तो ग्राफ के नीचे या उस पर होता है।
2. 2 उत्तल कार्य की परिभाषा। उत्तल फलन के ग्राफ के किसी भी जीवा (दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड) का मध्य या तो ग्राफ के ऊपर या उस पर स्थित होता है।
3. 3 फ़ंक्शन की जड़ों का निर्धारण। किसी फ़ंक्शन का मूल चर "x" का मान होता है जिस पर y = 0 होता है।
   • किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करते समय, रूट वे बिंदु होते हैं जिन पर ग्राफ़ x-अक्ष को पार करता है।

विधि 2 का 3 : किसी फलन के व्युत्पन्नों की गणना करना

1. 1 फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें। पाठ्यपुस्तक में विभेदीकरण के नियमों को देखें; आपको सीखना होगा कि पहले डेरिवेटिव कैसे लें, और उसके बाद ही अधिक जटिल गणनाओं पर आगे बढ़ें। पहले डेरिवेटिव को f '(x) नामित किया गया है। ax ^ p + bx ^ (p - 1) + cx + d के रूप के व्यंजकों के लिए, पहला अवकलज है: apx ^ (p - 1) + b (p - 1) x ^ (p - 2) + c।
   • उदाहरण के लिए, फलन f (x) = x ^ 3 + 2x -1 के विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए। इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है:
     
     f ′ (x) = (x ^ 3 + 2x - 1) ′ = (x ^ 3) ′ + (2x) ′ - (1) = 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. 2 फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें। दूसरा व्युत्पन्न मूल फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है। दूसरा व्युत्पन्न f (x) के रूप में दर्शाया गया है।
   • उपरोक्त उदाहरण में, दूसरा व्युत्पन्न है:
     
     f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
3. 3 दूसरे व्युत्पन्न को शून्य पर सेट करें और परिणामी समीकरण को हल करें। परिणाम अपेक्षित विभक्ति बिंदु होगा।
   • उपरोक्त उदाहरण में, आपकी गणना इस तरह दिखती है:
     
     एफ (एक्स) = 0
     6x = 0
     एक्स = 0
4. 4 फ़ंक्शन का तीसरा व्युत्पन्न खोजें। यह सत्यापित करने के लिए कि आपका परिणाम वास्तव में एक विभक्ति बिंदु है, तीसरा व्युत्पन्न खोजें, जो मूल फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है। तीसरा व्युत्पन्न f (x) के रूप में दर्शाया गया है।
   • उपरोक्त उदाहरण में, तीसरा व्युत्पन्न है:
     
     एफ (एक्स) = (6x) ′ = 6

विधि 3 का 3: भाग 3: विभक्ति बिंदु खोजें

1. 1 तीसरा व्युत्पन्न देखें। एक विभक्ति बिंदु का अनुमान लगाने के लिए मानक नियम यह है कि यदि तीसरा व्युत्पन्न शून्य नहीं है (अर्थात, f (x) 0), तो विभक्ति बिंदु सही विभक्ति बिंदु है। तीसरे व्युत्पन्न की जाँच करें; यदि यह शून्य नहीं है, तो आपको वास्तविक विभक्ति बिंदु मिल गया है।
   • ऊपर के उदाहरण में, तीसरा व्युत्पन्न 6 है, 0 नहीं।तो आपको वास्तविक विभक्ति बिंदु मिल गया है।
2. 2 विभक्ति बिंदु के निर्देशांक खोजें। विभक्ति बिंदु निर्देशांक (x, f (x)) के रूप में निरूपित किए जाते हैं, जहां x विभक्ति बिंदु पर स्वतंत्र चर "x" का मान है, f (x) विभक्ति पर आश्रित चर "y" का मान है बिंदु।
   • ऊपर के उदाहरण में, जब दूसरे अवकलज को शून्य से मिलाते हैं, तो आपने पाया कि x = 0. इसलिए, विभक्ति बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, f (0) खोजें। आपकी गणना इस तरह दिखती है:
     
     f (0) = 0 ^ 3 + 2 × 0−1 = -1।
3. 3 विभक्ति बिंदु के निर्देशांक लिखिए। विभक्ति बिंदु निर्देशांक पाए गए x और f (x) मान हैं।
   • उपरोक्त उदाहरण में, विभक्ति बिंदु निर्देशांक (0, -1) पर है।

टिप्स

• एक मुक्त पद (अभाज्य संख्या) का पहला व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है।