विषय

• कदम
• सलाह

किसी दिशा में किसी वस्तु की गति के रूप में वेग को परिभाषित किया जाता है। कई मामलों में, वेग ज्ञात करने के लिए हम समीकरण v = s / t का उपयोग करेंगे, जहाँ v वेग है, s अपनी मूल स्थिति से वस्तु के विस्थापन की कुल दूरी है, और t वह समय लगता है दूर तक जाओ। हालांकि, सिद्धांत रूप में यह सूत्र केवल वेग के लिए है मध्यम रास्ते में चीजों की। दूरी के साथ किसी भी समय वस्तु के वेग की गणना करके। अर्थात् परिवहन समय और समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है v = (ds) / (dt), या दूसरे शब्दों में, यह औसत वेग के लिए समीकरण का व्युत्पन्न है।

कदम

3 का भाग 1: तात्कालिक वेग की गणना करें

1. 

   
   
   विस्थापन दूरी द्वारा वेग की गणना के लिए एक समीकरण के साथ शुरू करें। तात्कालिक वेग को खोजने के लिए, हमारे पास पहले एक समीकरण होना चाहिए जो किसी भी क्षण में वस्तु की स्थिति (विस्थापन के संदर्भ में) को इंगित करता है। इसका मतलब है कि समीकरण में केवल एक चर होना चाहिए एस एक तरफ और बारी टी दूसरी तरफ (जरूरी नहीं कि केवल एक चर), इस तरह से:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   • इस समीकरण में, चर हैं:

     s = विस्थापन। वह वस्तु जो अपनी मूल स्थिति से चली गई हो। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 10 मीटर आगे और 7 मीटर पीछे चल सकती है, तो उसकी कुल यात्रा दूरी 10 - 7 = है 3 मीटर (10 + 7 = 17 मी नहीं)।

     टी = समय। स्पष्टीकरण के बिना यह चर सरल है, आमतौर पर सेकंड में मापा जाता है।

2. 

   
   
   समीकरण के व्युत्पन्न ले लो। समीकरण का व्युत्पन्न एक अन्य समीकरण है जो किसी विशेष समय में दूरी की ढलान को दर्शाता है। विस्थापन दूरी द्वारा समीकरण के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, व्युत्पन्न की गणना करने के लिए निम्नलिखित सामान्य नियम के अनुसार फ़ंक्शन का अंतर लें: यदि y = a * x, व्युत्पन्न = a * n * x। यह समीकरण के "टी" पक्ष पर सभी शर्तों पर लागू होता है।
   • दूसरे शब्दों में, समीकरण के "टी" पक्ष पर दाएं से बाएं अंतर को प्राप्त करना शुरू करें। जब भी आप "t" चर का सामना करते हैं, तो आप घातांक को 1 से घटाते हैं और मूल घातांक से शब्द को गुणा करते हैं। कोई भी स्थिर शब्द ("t" के बिना शब्द) गायब हो जाएंगे क्योंकि वे 0. से गुणा किए जाते हैं। यह प्रक्रिया उतनी कठिन नहीं है जितना आप सोच सकते हैं - चलो उदाहरण के रूप में उपरोक्त चरण में समीकरण लेते हैं:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5 टी + (1) 10 टी + (0) 4 टी
     -3 टी + 10 टी
     -3 टी + 10

     
     

3. 

   "S" को "ds / dt" से बदलें। यह दिखाने के लिए कि नया समीकरण मूल वर्ग का व्युत्पन्न है, हम "s" को प्रतीक "ds / dt" से बदल देते हैं। सिद्धांत रूप में, यह अंकन "t के संदर्भ में s का व्युत्पन्न" है। इस अंकन, डीएस / डीटी को समझने का एक सरल तरीका प्रारंभिक समीकरण में किसी भी बिंदु का ढलान है। उदाहरण के लिए, समीकरण t = 5 पर समीकरण s = -1.5t + 10t + 4 द्वारा वर्णित दूरी के ढलान को खोजने के लिए, हम समीकरण के व्युत्पन्न में t के लिए "5" को प्रतिस्थापित करते हैं।
   • उपरोक्त उदाहरण में, समीकरण का व्युत्पन्न इस तरह दिखता है:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   तात्कालिक वेग को खोजने के लिए नए समीकरण में t के लिए एक मान को प्रतिस्थापित करें। अब जबकि हमारे पास व्युत्पन्न समीकरण है, किसी भी समय तात्कालिक वेग को खोजना बहुत आसान है। आपको बस एक टी-वैल्यू चुनने और इसे व्युत्पन्न समीकरण के साथ बदलने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम t = 5 पर तात्कालिक वेग ज्ञात करना चाहते हैं, तो हमें व्युत्पन्न समीकरण d / dt = -3t + 10. में t के लिए "5" को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हम इस तरह समीकरण हल करेंगे:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 मीटर / सेकंड

   • ध्यान दें कि हम ऊपर "मीटर / सेकंड" यूनिट का उपयोग करते हैं।चूँकि हम मीटर और समय को सेकंड में विस्थापन के साथ समस्या को हल कर रहे हैं, जहाँ वेग समय में विस्थापन के लिए ठीक है, यह इकाई उपयुक्त है।
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भाग 2 का 3: तात्कालिक वेग का ग्राफिकल रूप से अनुमान लगाना

1. 

   समय के साथ ऑब्जेक्ट की मूवमेंट दूरी को ग्राफ करें। उपरोक्त खंड में, हमने कहा कि व्युत्पन्न भी एक सूत्र है जो हमें व्युत्पन्न से लिए गए समीकरण में किसी भी बिंदु पर ढलान को खोजने की अनुमति देता है। वास्तव में, यदि आप किसी ग्राफ़ पर ऑब्जेक्ट की चलती दूरी दिखाते हैं, किसी भी बिंदु पर ग्राफ का ढलान उस बिंदु पर वस्तु का तात्कालिक वेग है.
   • गति दूरियों को ग्राफ करने के लिए, समय के लिए x- अक्ष और विस्थापन के लिए y- अक्ष का उपयोग करें। आप तब गति समीकरण में t के मानों को जोड़कर कई बिंदुओं को निर्धारित करते हैं, परिणाम s मान है, और आप ग्राफ़ पर t, s (x, y) बिंदुओं को डॉट करते हैं।
   • ध्यान दें कि ग्राफ x- अक्ष के नीचे विस्तारित हो सकता है। यदि ऑब्जेक्ट की गति को दर्शाने वाली रेखा x- अक्ष से नीचे जाती है, तो इसका मतलब है कि ऑब्जेक्ट अपनी मूल स्थिति से पीछे की ओर बढ़ता है। सामान्य तौर पर, ग्राफ y- अक्ष के पीछे का विस्तार नहीं करेगा - हम आमतौर पर समय में वापस जाने वाली वस्तुओं के वेग को मापते नहीं हैं!

2. 

   ग्राफ पर बिंदु P के पास स्थित बिंदु P और बिंदु Q का चयन करें। बिंदु P पर ग्राफ़ की ढलान को खोजने के लिए, हम "सीमा खोजने" की तकनीक का उपयोग करते हैं। एक सीमा को खोजने का मतलब वक्र पर दो बिंदु (पी और क्यू (पी के पास एक बिंदु)) लेना और उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की ढलान को खोजना है, जो इस प्रक्रिया को पी और क्यू के बीच की दूरी को दोहराता है। धीरे - धीरे।
   • मान लें कि विस्थापन की दूरी के अंक (1; 3) और (4; 7) हैं। इस मामले में, यदि हम ढलान (1; 3) को ढूंढना चाहते हैं, तो हम सेट कर सकते हैं (1; 3) = पी तथा (4; 7) = क्यू.

3. 

   P और Q के बीच ढलान का पता लगाएं। P और Q के बीच का ढलान P और Q के लिए y मान का अंतर है। P और Q के लिए x मान के अंतर पर। दूसरे शब्दों में, ह = (y)_क्यू - y_पी) / (एक्स_क्यू - एक्स_पी), जहां H दो बिंदुओं के बीच ढलान है। इस उदाहरण में, P और Q के बीच ढलान है:
   

   ह = (y)_क्यू - y_पी) / (एक्स_क्यू - एक्स_पी)
   एच = (7 - 3) / (4 - 1)
   एच = (4) / (3) = 1,33

4. 

   P के पास Q को स्थानांतरित करके कई बार दोहराएं। लक्ष्य एक बिंदु तक पहुँचने तक P और Q के बीच की दूरी को कम करना है। P और Q के बीच की दूरी जितनी कम होगी, असीम रूप से छोटे खंड के ढलान के करीब बिंदु P पर ढलान के लिए होगा। हमारे उदाहरण समीकरण के लिए कुछ बार दोहराएं, बिंदुओं का उपयोग करते हुए (2; 4) , 8), (1.5; 3.95) और (1.25; 3.49) Q को दें और P के प्रारंभिक निर्देशांक हैं (1; 3):
   

   क्यू = (2; 4.8): एच = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   एच = (1.8) / (1) = 1,8
   
   क्यू = (1.5; 3.95): एच = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   एच = (0.95) / (0.5) = 1,9
   
   क्यू = (1.25; 3.49): एच = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   एच = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   ग्राफ वक्र पर अत्यंत छोटे खंड के ढलान का अनुमान लगाता है। जैसे-जैसे Q, P के करीब और करीब आता है, H, P के साथ धीरे-धीरे ढलान के करीब आता जाएगा। अंत में, एक बहुत छोटी रेखा पर, H, P पर ढलान होगा। क्योंकि हम माप या गणना नहीं कर सकते हैं। एक पंक्ति की लंबाई बहुत छोटी है, इसलिए केवल P पर ढलान का अनुमान लगाते हैं जब यह उन बिंदुओं से स्पष्ट रूप से दिखाई देता है जो हम गणना करते हैं।
   • उपरोक्त उदाहरण में, जैसे ही हम H को P के करीब ले जाते हैं, हमारे पास H के 1,8 के मान हैं; 1.9 और 1.96 है। चूंकि ये संख्या 2 के करीब हो रही है इसलिए हम कह सकते हैं 2 P पर ढलान का अनुमानित मूल्य है।
   • याद रखें कि ग्राफ़ पर किसी भी बिंदु पर ढलान उस बिंदु पर ग्राफ़ समीकरण का व्युत्पन्न है। चूंकि ग्राफ समय के साथ एक वस्तु के विस्थापन को दर्शाता है, जैसा कि हमने पिछले अनुभाग में देखा था, किसी भी बिंदु पर इसका तात्कालिक वेग समस्या बिंदु पर वस्तु के विस्थापन की दूरी का व्युत्पन्न है। पहुँच, हम कह सकते हैं 2 मीटर प्रति सेकंड t = 1 होने पर तात्कालिक वेग का अनुमानित अनुमान है।
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भाग 3 की 3: नमूना समस्या

1. 

   विस्थापन समीकरण s = 5t - 3t + 2t + 9 के साथ t = 1 होने पर तात्कालिक वेग ज्ञात कीजिए। पहले खंड में उदाहरण की तरह, लेकिन यह द्विघात के बजाय एक घन है, इसलिए हम समस्या को उसी तरह से हल कर सकते हैं।
   • सबसे पहले, समीकरण का व्युत्पन्न लें:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • तब हम t (4) के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 मीटर प्रति सेकंड

2. 

   विस्थापन समीकरण s = 4t - t पर तात्कालिक वेग को खोजने के लिए ग्राफ अनुमान विधि का प्रयोग करें। इस समस्या के लिए, हम निर्देशांक (1; 3) का उपयोग बिंदु P के रूप में करते हैं, लेकिन हमें इसके पास स्थित अन्य Q बिंदुओं को खोजना होगा। फिर हम सभी को एच मूल्यों को खोजने और अनुमानित मूल्य में कटौती करने की आवश्यकता है।
   • सबसे पहले, हम Q अंक तब पाते हैं जब t = 2; 1.5; १.१ और १.०१।
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, इसलिए क्यू = (२; १४)
     
     t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, इसलिए क्यू = (१.५; 7.5.५)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, इसलिए क्यू = (1.1; 3.74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1,0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, तो यह बात है क्यू = (1.01; 3.0704)

   • आगे हमें H मान मिलेगा:
     

     क्यू = (2; 14): एच = (14 - 3) / (2 - 1)
     एच = (11) / (1) = 11
     
     क्यू = (1.5; 7.5): एच = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     एच = (4,5) / (0.5) = 9
     
     क्यू = (1.1; 3.74): एच = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     एच = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     क्यू = (1.01; 3.0704): एच = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     एच = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • चूँकि H मान 7 के करीब लगते हैं, हम ऐसा कह सकते हैं 7 मीटर प्रति सेकंड समन्वय (1; 3) पर तात्कालिक वेग का अनुमानित अनुमान है।
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सलाह

• त्वरण (समय के साथ वेग में परिवर्तन) को खोजने के लिए, विस्थापन समीकरण के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए भाग एक में विधि का उपयोग करें। फिर व्युत्पन्न समीकरण के लिए फिर से व्युत्पन्न लें जो आपने अभी पाया है। परिणाम यह है कि आपके पास किसी दिए गए बिंदु पर त्वरण के लिए एक समीकरण है - आपको बस इतना करना है कि समय पर प्लग करना है।
• Y (विस्थापन दूरी) और X (समय) के बीच संबंध दिखाने वाला समीकरण Y = 6x + 3. बहुत सरल हो सकता है, इस मामले में, ढलान स्थिर है और इसे लेना आवश्यक नहीं है ढलान की गणना के लिए व्युत्पन्न, अर्थात, यह एक रेखीय ग्राफ के लिए मूल समीकरण फॉर्म Y = mx + b का अनुसरण करता है, अर्थात ढलान 6 के बराबर है।
• विस्थापन दूरी दूरी की तरह है, लेकिन एक दिशा है, इसलिए यह एक वेक्टर मात्रा है, और गति एक अदिश राशि है। यात्रा की दूरी नकारात्मक हो सकती है, जबकि दूरी केवल सकारात्मक हो सकती है।