विषय

• कदम
• सलाह
• जिसकी आपको जरूरत है

गणित में, कारक विश्लेषण उन संख्याओं या अभिव्यक्तियों का पता लगाना है जिनमें किसी दी गई संख्या या समीकरण का गुणनफल है। बुनियादी बीजीय समस्याओं को हल करने के लिए सीखने के लिए कारक विश्लेषण एक उपयोगी कौशल है: जब यह काम करने की बात आती है तो अच्छी तरह से फैक्टर करने की क्षमता लगभग महत्वपूर्ण होती है। बीजीय समीकरणों या अन्य बहुपद रूपों के साथ। बीजीय अभिव्यक्तियों को कम करने के लिए कारक विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है, जिससे समस्या सरल हो जाती है। इसके लिए धन्यवाद, आप हाथ से हल करने की तुलना में बहुत तेजी से कुछ संभावित उत्तरों को भी समाप्त कर सकते हैं।

कदम

3 की विधि 1: कारकों में संख्याओं और मूल बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का विश्लेषण करें

1. 

   
   
   एकल संख्याओं पर लागू करते समय कारक विश्लेषण की परिभाषा को समझें। हालांकि वैचारिक रूप से सरल, व्यवहार में, जटिल समीकरणों को लागू करना काफी चुनौतीपूर्ण हो सकता है। इसलिए, सबसे आसान कारक विश्लेषण वैचारिक दृष्टिकोण एकल संख्याओं से शुरू करना और फिर अधिक उन्नत अनुप्रयोगों के साथ आगे बढ़ने से पहले सरल समीकरणों पर आगे बढ़ना है। फ़ैक्टर दिए गए नंबर के लिए एक ही नंबर के उत्पाद के साथ नंबर हैं। उदाहरण के लिए, 1, 12, 2, 6, 3 और 4 12 के कारक हैं क्योंकि 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4 सभी 12 के बराबर हैं।
   • दूसरे शब्दों में, किसी संख्या के कारक संख्याएँ हैं विभाजित है उस नंबर से।
   • क्या आप 60 का पूर्ण कारक पा सकते हैं? संख्या 60 का उपयोग कई अलग-अलग उद्देश्यों (एक घंटे में मिनट, एक मिनट में सेकंड, आदि) के लिए किया जाता है क्योंकि यह कई संख्याओं द्वारा विभाज्य है।
     • संख्या 60 में निम्नलिखित कारक हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60।

2. 

   
   
   समझें कि चर वाले भावों को भी कारक बनाया जा सकता है। स्वतंत्र संख्या के साथ-साथ अंकगणितीय गुणांक वाले चर को भी कारक बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हमें बस चर के गुणांक को खोजने की जरूरत है। यह जानना कि कैसे कारक का विश्लेषण किया जाता है, बस बीजगणितीय समीकरणों को बदलने में बहुत उपयोगी है जिनमें चर होते हैं।
   • उदाहरण के लिए 12x को 12 और x के परिणाम के लिए फिर से लिखा जा सकता है। 12x को 3 (4x), 2 (6x), आदि के रूप में लिखना संभव है, और जो भी कारक 12 के इच्छित उपयोग के लिए सबसे उपयुक्त है उसका उपयोग करें।
     • आप 12x विश्लेषण तक भी जा सकते हैं कई बार। दूसरे शब्दों में, 3 (4x) या 2 (6x) पर रुकने की आवश्यकता नहीं है - हम क्रमशः 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) प्राप्त करने के लिए 4x और 6x का विश्लेषण कर सकते हैं। यह सूत्र बराबर है।

3. 

   
   
   बीजीय समीकरणों को स्पष्ट करने के लिए गुणन के साहचर्य गुणों को लागू करें। कारकों में स्वतंत्र संख्या और गुणांक दोनों का विश्लेषण करने के अपने ज्ञान का उपयोग करते हुए, आप समीकरण में शामिल संख्याओं और चर के सामान्य कारकों को खोजकर सरल बीजीय समीकरणों को सरल बना सकते हैं। अक्सर, समीकरण यथासंभव सरल होने के लिए, हम सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की कोशिश करेंगे। गुणन के साहचर्य स्वभाव के लिए यह सरल परिवर्तन संभव है - प्रत्येक संख्या a, b और c के लिए, हमारे पास: a (b + c) = ab + ac.
   • आइए निम्नलिखित उदाहरण समस्या पर विचार करें। एक कारक में बीजगणितीय समीकरण 12x + 6 को फैक्टर करने के लिए, सबसे पहले हम 12x और 6. 6 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक ज्ञात करते हैं, सबसे बड़ी संख्या है जो 12x और 6 दोनों से विभाज्य है, इसलिए हम बदल सकते हैं 6 (2x + 1) के समीकरण को कम करें।
   • यही बात उन समीकरणों पर भी लागू होती है जो नकारात्मक संकेत और भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए x / 2 + 4 को केवल 1/2 (x + 8) में परिवर्तित किया जा सकता है, और -7x + -21 को -7 (x + 3) तक विघटित किया जा सकता है।
   विज्ञापन

विधि 2 का 3: कारकों में द्विघात समीकरणों का विश्लेषण

1. 

   सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप में है (अक्ष + bx + c = 0)। द्विघात समीकरण में रूप कुल्हाड़ी + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b, और c स्थिरांक होते हैं और एक गैर-अक्ष होता है (ध्यान दें कि a हो सकता है 1 या -1 के बराबर)। यदि एक-चर (x) समीकरण में एक या अधिक शब्द होते हैं जिसमें x का वर्ग होता है, तो आप आमतौर पर मूल बीजगणितीय ऑपरेटर को बराबर चिह्न के एक तरफ 0 में परिवर्तित कर सकते हैं और कुल्हाड़ी, और इतने पर। दूसरी तरफ।
   • उदाहरण के लिए, बीजगणितीय समीकरण 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 को x + 6x + 9 = 0 तक घटाया जा सकता है, जो एक द्विघात रूप है।
   • समीकरण जहाँ x का उच्च घातांक है, जैसे x, x, और इसी तरह। द्विघात नहीं हो सकता। वे द्विघात, चतुर्धातुक हैं, ... जब तक कि उन समीकरणों को समाप्त करके समीकरण को कम नहीं किया जा सकता है जिनमें 3 या उससे अधिक x की शक्तियां होती हैं।

2. 

   द्विघात समीकरणों के साथ, जब एक = 1, हम (x + d) (x + e) ​​से विघटित होते हैं, जहां d × e = c और d + e = b होता है। यदि द्विघात समीकरण x + bx + c = 0 के रूप में है (दूसरे शब्दों में, यदि x = 1 का गुणांक), तो एक संभावना है (लेकिन निश्चित नहीं) कि हम अपेक्षाकृत तेज़ गणना का उपयोग कर सकते हैं। इस समीकरण को कारक बनाना सरल है। C के बराबर दो संख्या ज्ञात कीजिए तथा राशि बराबर होती है b। एक बार जब आप डी और ई पा लेते हैं, तो उन्हें निम्नलिखित अभिव्यक्ति के साथ बदलें: (x + d) (x + e)। जब एक साथ गुणा किया जाता है, तो ये दो तत्व हमें द्विघात समीकरण देते हैं - दूसरे शब्दों में, वे समीकरण के कारक हैं।
   • उदाहरण के लिए द्विघात समीकरण x + 5x + 6 = 0. 3 और 2 में 6 का गुणनफल है और साथ ही, कुल 5 है। इसलिए, हम समीकरण को (x + 3) में बदल सकते हैं ( x + 2)।
   • यह मूल त्वरित सुधार थोड़ा अलग होगा जब समीकरण स्वयं थोड़ा अलग होगा:
     • यदि द्विघात समीकरण x-bx + c के रूप में है, तो आपका उत्तर फॉर्म का होगा: (x - _) (x - _)।
     • यदि यह x + bx + c के रूप में है, तो आपका उत्तर होगा: (x + _) (x + _)।
     • यदि यह x-bx-c में है, तो आपकी प्रतिक्रिया फॉर्म (x + _) (x - _) के रूप में होगी।
   • नोट: रिक्त स्थान में अंश या दशमलव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x + (21/2) x + 5 = 0 का विघटन (x + 10) (x + 1/2)।

3. 

   
   
   यदि संभव हो तो, परीक्षण करके कारक विश्लेषण करें। मानो या न मानो, द्विघात समीकरण के साथ, कारक के स्वीकृत तरीकों में से एक बस समस्या को देखने के लिए है, और फिर परिणाम मिलने तक सभी संभावित उत्तरों को तौलना। सही उत्तर। इसे परीक्षण विधि के रूप में भी जाना जाता है।यदि समीकरण में फार्म कुल्हाड़ी + bx + c और a> 1 है, तो आपके गुणनखंड में प्रपत्र (dx +/- _) (पूर्व +/- _) होगा, जहां d और e स्थिर हैं अन्य एक के बराबर नहीं है। डी या ई (या दोनों) हो सकता है 1 के बराबर है, हालांकि यह जरूरी नहीं होगा। यदि दोनों समान 1 हैं, तो आप मूल रूप से ऊपर दिखाए गए त्वरित कार्य का उपयोग करेंगे।
   • निम्नलिखित उदाहरण समस्या पर विचार करें। पहली नज़र में, 3x - 8x + 4 काफी डराने वाला लगता है। हालाँकि, जब आपको पता चलता है कि 3 में केवल दो कारक (3 और 1) हैं, तो समस्या आसान हो जाती है क्योंकि हमें पता है कि उत्तर फॉर्म का होना चाहिए (3x +/- _) (x +/-- _)। इस स्थिति में, दोनों स्थानों के साथ -2 की जगह सही उत्तर देता है। -2 × 3x = -6x और -2 × x = -2x। -6x और -2x कुल -8x के बराबर। -2 × -2 = 4 इसलिए, यह देखा जा सकता है कि कोष्ठक में पार्स किए गए तत्व हमें प्रारंभिक समीकरण देते हैं।

4. 

   
   
   वर्ग पूरा करके समस्या का समाधान करें। कुछ मामलों में, द्विघात समीकरणों को एक विशेष बीजगणितीय पहचान का उपयोग करके जल्दी और आसानी से गुणा किया जा सकता है। प्रपत्र x + 2xh + h = (x + h) के किसी भी द्विघात समीकरण। इसलिए, यदि समीकरण में, b, c के वर्गमूल से दोगुना है, समीकरण को x (x + (sqrt (c))) में विघटित किया जा सकता है।
   • उदाहरण के लिए, समीकरण x + 6x + 9 इस फॉर्म को फिट करेगा। 3 बराबर 9 और 3 × 2 बराबर 6. तो हम जानते हैं कि इस समीकरण का कारक रूप (x + 3) (x + 3), या (x + 3) है।

5. 

   
   
   कारकों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करें। किसी भी तरह से, एक बार द्विघात अभिव्यक्ति को कारक बना देने के बाद, आप प्रत्येक कारक को शून्य देकर और इसे हल करके x के मूल्य का संभावित उत्तर पा सकते हैं। चूँकि आप x के मान की तलाश कर रहे हैं जैसे कि समीकरण शून्य है, कोई भी x जिसके कारण कारक शून्य होता है, उस समीकरण का एक संभावित समाधान होगा।
   • समीकरण x + 5x + 6 = 0. पर वापस जाएं। यह विघटित होता है (x + 3) (x + 2) = 0. जब एक कारक शून्य होता है, तो पूरा समीकरण शून्य हो जाता है। X के संभावित समाधान क्रमशः (-3 + 3) और (x + 2) बनाने वाली संख्याएँ क्रमशः 0, -3 और -2 के बराबर हैं।

6. 

   अपने उत्तर की जाँच करें - कुछ विदेशी हो सकता है! जब आप x के संभावित समाधान खोजते हैं, तो उन्हें मूल समीकरण से बदलें कि क्या वे सही हैं या नहीं। कभी-कभी इसका उत्तर मिल जाता है कोई दिक्कत नहीं है मूल समीकरण शून्य होने का कारण बनता है। हम इन समाधानों को कहते हैं विदेशी और उन्हें खत्म करो।
   • X + 5x + 6 = 0. प्रथम, -2 के लिए -2 और 3 को बदलें:
     • (-2) + 5(-2) + 6 = 0
     • 4 + -10 + 6 = 0
     • 0 = 0. हां, इसलिए -2 समीकरण का एक वैध समाधान है।
   • अब, चलो -3 के साथ प्रयास करें:
     • (-3) + 5(-3) + 6 = 0
     • 9 + -15 + 6 = 0
     • 0 = 0. यह भी सच है और इसलिए, -3 भी समीकरण का एक वैध समाधान है।
   विज्ञापन

विधि 3 की 3: कारकों में अन्य प्रकार के समीकरणों का विश्लेषण करें

1. 

   यदि समीकरण ए-बी फॉर्म में है, तो इसे (ए + बी) (ए-बी) में विघटित करें। दो-चर समीकरण का विश्लेषण मूल द्विघात समीकरण की तुलना में अलग-अलग किया जाता है। कोई भी b-b समीकरण, जिसमें a और b नॉनज़ेरो हैं, (a + b) (a-b) में विघटित हो जाएगा।
   • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y)।

2. 

   यदि समीकरण a + 2ab + b के रूप में है, तो इसे (a + b) से विघटित करें। ध्यान दें कि अगर ट्रिनोमियल रूप में है a-2ab + b, गुणनखंड रूप थोड़ा अलग होगा: (ए-बी)।
   • समीकरण 4x + 8xy + 4y को 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। अब हम देखते हैं कि यह सही रूप में है और आत्मविश्वास से कह सकते हैं कि इस समीकरण का कारकत्व रूप (2x + 2y) है।

3. 

   यदि समीकरण ए-बी फॉर्म में है, तो इसे (ए-बी) (ए + एबी + बी) से विघटित करें। अंत में, यह कहा जाना चाहिए कि टर्नेरी समीकरण और इससे भी उच्च क्रम समीकरणों को कारक बनाया जा सकता है। हालांकि, विश्लेषण प्रक्रिया जल्दी से अविश्वसनीय रूप से जटिल हो जाएगी।
   • उदाहरण के लिए, 8x - 27y विघटित होता है (2x - 3y) (4x + (2x) (3y)) + 9y)
   विज्ञापन

सलाह

• a-b को कारक बनाया जा सकता है, और a + b नहीं कर सकता।
• ध्यान रखें कि कारक स्थिरांक कैसे हो - यह सहायक हो सकता है।
• कारक की प्रक्रिया में अंशों पर ध्यान दें, उन्हें सही ढंग से और उचित रूप से संभालें।
• X + bx + (b / 2) त्रिशूल के साथ, इसका गुणनखंडन (x + (b / 2)) होगा (आप वर्ग को पूरा करते समय इस स्थिति में आ सकते हैं)।
• याद रखें कि a0 = 0 (शून्य से गुणा की गई संपत्ति)।

जिसकी आपको जरूरत है

• कागज़
• पेंसिल
• गणित की पुस्तक (यदि आवश्यक हो)