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• सलाह

एक द्विघात समीकरण एक-चर बहुपद है जहां 2 उस चर का उच्चतम घातांक है। द्विघात समीकरणों को हल करने के तीन मुख्य तरीके हैं: 1) यदि संभव हो तो कारकों में समीकरण को कारक करें, 2) द्विघात सूत्र का उपयोग करें, या 3) वर्ग को पूरा करें। इन तीन तरीकों के साथ कुशल बनने के लिए इन चरणों का पालन करें।

कदम

विधि 1 की 3: कारकों में समीकरणों का विश्लेषण

1. 

   सभी समान शब्द जोड़ें और समीकरण के एक तरफ ले जाएं। कारक विश्लेषण में पहला कदम अपनी सभी शर्तों को किनारे रखना है ताकि वे सकारात्मक हों। शर्तों को संयोजित करने के लिए, सभी शब्दों, किसी भी युक्त पद, और स्थिरांक (शब्द पूर्णांक हैं) को जोड़ने या घटाने के लिए, उन्हें एक तरफ कन्वर्ट करें, और दूसरी तरफ कुछ भी न छोड़ें। फिर आप समान चिह्न के दूसरी तरफ "0" लिख सकते हैं। यह कैसे करना है:

2. 

   
   
   कारक में अभिव्यक्ति का विश्लेषण करें। एक अभिव्यक्ति को कारक करने के लिए, आपको (3) और स्थिर (-4) के कारकों के शब्द का उपयोग करना चाहिए, उन्हें गुणा करना है और फिर इसे मध्य अवधि (-11) में जोड़ना है। । यह कैसे करना है:
   • चूंकि केवल एक ही संभव कारक सेट है, और, आप इसे इस तरह से कोष्ठक में फिर से लिख सकते हैं:।
   • अगला, गुणा -11x के संयोजन को खोजने के लिए 4 के कारकों के संयोजन में कमी का उपयोग करें। आप 4 और 1 या 2 और 2 का उपयोग कर सकते हैं क्योंकि उनके पास 4. का एक उत्पाद है। बस याद रखें कि एक कारक नकारात्मक होना चाहिए क्योंकि हमारा शब्द -4 है।
   • परीक्षण विधि से, हम कारकों के संयोजन की जांच करेंगे। जब हम गुणा लागू करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं। शब्द जोड़ें और, हमारे पास, सटीक मध्य अवधि है जिसका हम लक्ष्य कर रहे हैं। इसलिए हमने सिर्फ द्विघात फ़ंक्शन को फैक्टर किया है।
   • इस परीक्षण के एक उदाहरण के रूप में, आइए हम एक दोषपूर्ण (गलत) संयोजन की जाँच करें: =। इन शब्दों को मिलाकर, हम प्राप्त करेंगे। हालांकि यह सच है कि -2 और 2 में -4 के बराबर उत्पाद हैं, बीच में शब्द सही नहीं है, क्योंकि हमें इसकी आवश्यकता है, नहीं।

3. 

   
   
   कोष्ठकों में प्रत्येक अभिव्यक्ति शून्य होने दें व्यक्तिगत समीकरणों के रूप में। वहां से, दो मान पाते हैं कि कुल समीकरण को शून्य = 0. के बराबर बनाते हैं। अब, जब आप समीकरण को कारक बनाते हैं, तो आपको केवल शून्य के साथ कोष्ठक में अभिव्यक्ति को संलग्न करने की आवश्यकता होती है। क्यों? ऐसा इसलिए है क्योंकि शून्य उत्पाद के लिए, हमारे पास "सिद्धांत, कानून या संपत्ति" है कि एक कारक शून्य होना चाहिए। इसलिए, कोष्ठकों में कम से कम एक मान शून्य होना चाहिए; वह (3x + 1) या (x - 4) शून्य होना चाहिए। तो हमारे पास भी है।

4. 

   
   
   इन "शून्य" समीकरणों में से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से हल करें। द्विघात समीकरण के दो संभावित समाधान हैं। चर को अलग करने और अंतिम परिणाम के रूप में इसके दो समाधान लिखकर चर x के लिए प्रत्येक संभव समाधान का पता लगाएं। ऐसे:
   • 3x + 1 = 0 को हल करें
     • दो पक्षों को घटाएं: 3x = -1 .....
     • दो पक्षों को विभाजित करें: 3x / 3 = -1/3 .....
     • संक्षिप्त करें: x = -1/3 .....
   • समाधान x - 4 = 0
     • दो पक्षों को घटाएं: x = 4 .....
   • अपने स्वयं के संभावित समाधान लिखें: x = (-1/3, 4) ....., अर्थात, x = -1/3, या x = 4 दोनों सही हैं।

5. 

   चेक x = -1/3 इन (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   एक अभिव्यक्ति के बजाय, हमारे पास है (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... संक्षिप्त करें: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... गुणा करें, हम प्राप्त करते हैं (0) (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... अधिकार, x = -1/3 एक समाधान है समीकरण।

6. 

   में x = 4 की जाँच करें (3x + 1) (x - 4) = 0:
   
   एक अभिव्यक्ति के बजाय, हमारे पास है (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... संक्षिप्त करें, हमें मिलता है: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... प्रदर्शन गुणा करें: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... अधिकार, x = 4 समीकरण का हल है।
   • इसलिए इन दोनों संभावित समाधानों को व्यक्तिगत रूप से "परीक्षण" किया गया है, और यह पुष्टि की जा सकती है कि दोनों समस्या को हल करते हैं और दो अलग-अलग सच्चे समाधान हैं।
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विधि 2 की 3: द्विघात सूत्र का उपयोग करें

1. 

   सभी समान शब्द जोड़ें और उन्हें समीकरण के एक तरफ ले जाएं। सभी शब्दों को समान चिह्न के एक तरफ ले जाता है ताकि शब्द में सकारात्मक चिह्न हो। अवरोही क्रम में शर्तों को फिर से लिखें, जिसका अर्थ है कि यह शब्द पहले आता है, उसके बाद और फिर स्थिर होता है। ऐसे:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0

2. 

   अपने द्विघात सूत्र को लिखिए। अर्थात्:

3. 

   द्विघात समीकरण में a, b और c के मानों का निर्धारण करें। बाहर ए x का गुणांक है, ख x का गुणांक है और सी एक स्थिर है। समीकरण के साथ 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, और c = -8। कृपया कागज पर लिख लें।

4. 

   समीकरण में a, b और c के मानों को प्लग करें। अब जब आप उपरोक्त तीन चरों के मूल्यों को जानते हैं, तो आप उन्हें इस तरह समीकरण में डाल सकते हैं:
   • {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)

5. 

   गणना करें। आपके द्वारा संख्याओं को बदलने के बाद, शेष गणनाओं को सकारात्मक या नकारात्मक संकेतों को कम करने के लिए करें, शेष शब्दों को गुणा या वर्ग करें। ऐसे:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6

6. 

   वर्गमूल को संक्षिप्त करें। यदि रेडिकल साइन के नीचे एक पूर्ण वर्ग है, तो आपको एक पूर्णांक मिलेगा। यदि यह एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो इसे अपने सबसे सरल मूल रूप में कम करें। यदि यह नकारात्मक है, और आपको यकीन है कि यह नकारात्मक होना चाहिएसमाधान काफी जटिल होगा। इस उदाहरण में, this (121) = 11. हम लिख सकते हैं: x = (5 +/- 11) / 6।

7. 

   सकारात्मक और नकारात्मक समाधान के लिए हल करें। यदि आपने वर्गमूल को हटा दिया है, तो आप तब तक चलते रह सकते हैं जब तक कि आपको x के सकारात्मक और नकारात्मक समाधान नहीं मिल जाते। अब आपके पास (5 +/- 11) / 6 है, आप दो विकल्प लिख सकते हैं:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6

8. 

   सकारात्मक और नकारात्मक समाधान खोजें। हमें सिर्फ गणना करनी है:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6

9. 

   ढहने। अपने उत्तरों को छोटा करने के लिए, आपको केवल अंश और मॉडल दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है। पहले अंश के अंश और भाजक को 2 से विभाजित करें और हर के भिन्न को 6 से हर के भाजक और x को मिला है।
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)
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विधि 3 की 3: वर्ग को पूरा करें

1. 

   समीकरण के एक तरफ सभी शब्दों को स्थानांतरित करें। निश्चित करें कि ए या x के पास एक सकारात्मक चिन्ह है। ऐसे:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • इस समीकरण में, ए बराबर 2, ख बराबर -12 और सी -9 के बराबर।

2. 

   आगे बढ़ा सी या दूसरी तरफ निरंतर। स्थिरांक संख्यात्मक शब्द हैं जिनमें कोई चर नहीं है। आइए इसे समीकरण के दाईं ओर ले जाएं:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9

3. 

   गुणांक द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करें ए या x का गुणांक। यदि x के सामने कोई पद नहीं है, तो इसका गुणांक 1 है और आप इस चरण को छोड़ सकते हैं। हमारे मामले में, आपको समीकरण के सभी शब्दों को 2 से भाग देना होगा, जैसे:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2

4. 

   शेयर ख दो से, इसे वर्गाकार करें और परिणाम को दोनों ओर जोड़ दें। इस उदाहरण में, ख बराबर -6। हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9

5. 

   दो पक्षों को संकुचित करें। एक कारक में बाईं ओर का विश्लेषण करें, हमारे पास (x-3) (x-3), या (x-3) है। 9/2 + 9, या 9/2 + 18/2 प्राप्त करने के लिए दाईं ओर जोड़ें, और 2/27 प्राप्त करें।

6. 

   दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात कीजिए। (X-3) का वर्गमूल (x-3) है। आप 27/2 के वर्गमूल को root 27 (27/2) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। तो, x - 3 = = = (27/2)।

7. 

   रेडिकल साइन को संक्षिप्त करें और x ज्ञात करें। We reduce (27/2) को कम करने के लिए, हम 27, 2 या इसके एक कारक के भीतर एक वर्ग पाते हैं। सही वर्ग 9 27 में है, क्योंकि 9x3 = 27 है। मूलांक 9 से निकालने के लिए, हम इसे बाहर निकालते हैं और मूलांक चिह्न के अलावा 3, इसकी वर्गमूल लिखते हैं। अंश में 3 का शेष कारक आउटपुट नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह रेडिकल साइन के नीचे रहता है। उसी समय, हम अंश के नमूने में 2 भी छोड़ते हैं। अगला, समीकरण के बाईं ओर स्थिर 3 को दाईं ओर ले जाएं, और नीचे दो समाधान लिखें:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)
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सलाह

• जैसा कि देखा जा सकता है, कट्टरपंथी संकेत पूरी तरह से गायब नहीं होता है। इसलिए, अंश में शर्तें संचयी नहीं हो सकती हैं (क्योंकि वे एक ही संपत्ति के नियम नहीं हैं)। इसलिए, प्लस-या-माइनस विभाजन अर्थहीन है। इसके बजाय, हम सभी सामान्य कारकों को विभाजित कर सकते हैं लेकिन बस जब स्थिर तथा किसी भी कट्टरपंथी के गुणांक में वह कारक भी होता है।
• यदि कट्टरपंथी चिन्ह एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो पिछले कुछ चरणों को थोड़ा अलग तरीके से लिया जा सकता है। जैसे कि:
• यदि "b" एक सम संख्या है, तो सूत्र होगा: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a।