गणितीय प्रमाण तैयार करना

विषय

कदम बढ़ाने के लिए
विधि 1 की 3: समस्या को समझना
विधि 2 की 3: एक प्रमाण की संरचना
विधि 3 की 3: साक्ष्यों का निरूपण
टिप्स

गणितीय प्रमाण कठिन हो सकते हैं, लेकिन गणित और प्रमाण दोनों की सही पृष्ठभूमि के ज्ञान से आप निश्चित रूप से उन्हें सफलतापूर्वक तैयार कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, सबूत बनाने का तरीका सीखने का कोई त्वरित और आसान तरीका नहीं है। तार्किक रूप से अपने साक्ष्य को विकसित करने के लिए सही विषय और परिभाषा के साथ आने के लिए आपको अपने विषय ज्ञान में एक ठोस आधार की आवश्यकता है। उदाहरणों को पढ़ने और खुद का अभ्यास करने से, आप गणितीय प्रूफिंग के कौशल में महारत हासिल कर पाएंगे।

कदम बढ़ाने के लिए

विधि 1 की 3: समस्या को समझना

प्रश्न को समझें। आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह क्या है जिसे आप साबित करने की कोशिश कर रहे हैं। यह प्रश्न साक्ष्य के अंतिम थीसिस के रूप में भी काम करेगा। इस चरण में आप उन मान्यताओं को भी परिभाषित करेंगे, जिनके साथ आप काम करेंगे। प्रश्न की पहचान करना और आवश्यक धारणाएं बनाना आपको समस्या को समझने और सबूत विकसित करने के लिए एक प्रारंभिक बिंदु देता है।
चित्र बनाएं। एक गणित समस्या के आंतरिक कामकाज को समझने की कोशिश करते समय, जो भी हो रहा है उसका आरेख खींचना कभी-कभी आसान होता है। चार्ट ज्यामितीय साक्ष्यों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे आपको कल्पना करने की अनुमति देते हैं कि आप वास्तव में क्या साबित करना चाहते हैं।
- सबूत की एक तस्वीर खींचने के लिए समस्या में दी गई जानकारी का उपयोग करें। परिचितों और अजनबियों का नाम बताइए।
- सबूतों पर काम करते समय, सबूतों का समर्थन करने के लिए आवश्यक जानकारी का उपयोग करें।
संबंधित प्रमेयों के साक्ष्य का अध्ययन करें। साक्ष्य का निर्माण करना सीखना मुश्किल है, लेकिन इसे सीखने का एक उत्कृष्ट तरीका संबंधित बयानों का अध्ययन करना है और वे कैसे साबित हुए।
- इस बात को महसूस करें कि सबूत एक अच्छा तर्क है जहां हर कदम की पुष्टि की जाती है। आप ऑनलाइन और एक पाठ्यपुस्तक दोनों में अध्ययन करने के लिए बहुत सारे सबूत पा सकते हैं।
सवाल पूछो। प्रमाण में फंस जाना बहुत सामान्य बात है। अपने शिक्षक या सहपाठियों से पूछें कि क्या आप इसका पता नहीं लगा सकते हैं। उत्तरार्द्ध में समान प्रश्न हो सकते हैं और आप मुद्दों पर एक साथ काम कर सकते हैं। सवालों को पूछना बेहतर है और फिर सबूतों के माध्यम से आंख मूंदकर समझने की अपेक्षा।
- अतिरिक्त स्पष्टीकरण के लिए कक्षा के बाद अपने शिक्षक से परामर्श करें।

विधि 2 की 3: एक प्रमाण की संरचना

गणितीय प्रमाणों को परिभाषित करें। गणितीय प्रमाण एक तार्किक कथनों का एक सेट है जो प्रमेयों और परिभाषाओं द्वारा समर्थित है जो एक और गणितीय कथन की शुद्धता को सिद्ध करते हैं। सबूत यह जानने का एकमात्र तरीका है कि क्या कोई मान्यता गणितीय रूप से मान्य है।
- गणितीय प्रमाण तैयार करने में सक्षम होना समस्या की मूल समझ और समस्या में शामिल सभी अवधारणाओं को इंगित करता है।
- साक्ष्य भी आपको गणित को नए और रोमांचक तरीके से देखने के लिए मजबूर करता है। बस कुछ साबित करने की कोशिश करने से आपको इसके बारे में अधिक ज्ञान और अंतर्दृष्टि मिलेगी, भले ही आपके सबूत अंत में सही न हों।
अपने दर्शकों को जानें। प्रमाण लिखने से पहले, आपको उन दर्शकों के बारे में सोचना होगा जिन्हें आप इसे लिख रहे हैं और वे पहले से ही जानते हैं। यदि आप एक प्रकाशन के लिए प्रमाण लिखते हैं, तो आप इसे उच्च विद्यालय की कक्षा के लिए अलग तरीके से करेंगे।
- अपने दर्शकों को जानने से आपको इस तरह से साक्ष्य तैयार करने की अनुमति मिलती है, जिससे यह समझ में आ जाएगा कि दर्शकों के पास पृष्ठभूमि ज्ञान की मात्रा कितनी है।
आप जिस प्रकार के साक्ष्य सामने रख रहे हैं, उसे समझें। कुछ अलग-अलग प्रकार के प्रमाण हैं, और आप जो चुनते हैं वह आपके लक्षित दर्शकों और असाइनमेंट पर निर्भर करता है। यदि आप अनिश्चित हैं कि किस संस्करण का उपयोग करना है, तो अपने शिक्षक से सलाह लें। हाई स्कूल में, आपको एक विशिष्ट प्रारूप में साक्ष्य तैयार करने की उम्मीद की जा सकती है, जैसे कि औपचारिक दो-स्तंभ प्रमाण।
- एक दो-स्तंभ प्रमाण एक संरचना है जहां डेटा और अभिकथन को एक कॉलम में रखा जाता है और दूसरे कॉलम में उसके बगल में सहायक साक्ष्य। वे बहुत बार ज्यामिति में उपयोग किए जाते हैं।
- अनौपचारिक पैराग्राफ प्रमाण व्याकरणिक रूप से सही कथन और कम प्रतीकों का उपयोग करता है। उच्च स्तर पर आपको हमेशा एक अनौपचारिक प्रमाण का उपयोग करना चाहिए।
प्रमाण को दो कॉलम में अवलोकन के रूप में लिखें। अपने विचारों को व्यवस्थित करने और समस्या पर विचार करने के लिए एक आसान तरीका दो कॉलम में एक संरचना बनाना है। पृष्ठ के केंद्र के नीचे एक रेखा खींचें और बाईं ओर सभी डेटा और स्टेटमेंट लिखें। डेटा के समर्थन में दाईं ओर संबंधित परिभाषाएँ / कथन लिखें।
- उदाहरण के लिए:
- कोण ए और कोण बी एक रैखिक जोड़ी बनाते हैं। दिया हुआ।
- कॉर्नर एबीसी स्ट्रेट है। समकोण की परिभाषा।
- कोण ABC 180 ° है। एक पंक्ति की परिभाषा।
- कोण ए + कोण बी = कोण एबीसी। कोणों को जोड़ने के लिए नियत करें।
- कोण A + कोण B = 180 °। स्थानापन्न।
- कोण बी को कोण बी के पूरक के रूप में। अतिरिक्त कोणों की परिभाषा।
- Q.E.D.
दो कॉलम में प्रमाण को एक अनौपचारिक प्रमाण में परिवर्तित करें। दो स्तंभों में प्रमाण के आधार पर, बहुत सारे प्रतीकों और संक्षिप्त विवरणों के बिना एक पैराग्राफ के रूप में एक अनौपचारिक प्रमाण लिखें।
- उदाहरण के लिए, मान लें कि कोण A और B रैखिक जोड़े हैं। परिकल्पना यह है कि कोण A और कोण B एक दूसरे के पूरक हैं (पूरक हैं)। कोण A और कोण B एक सीधी रेखा बनाते हैं क्योंकि वे रैखिक जोड़े हैं। एक सीधी रेखा को 180 ° के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। कोणों के जोड़ के लिए अभिधारणा को देखते हुए, कोण A और B मिलकर ABC रेखा बनाते हैं। प्रतिस्थापन के माध्यम से, ए और बी एक साथ 180 ° हैं, इसलिए वे पूरक कोण हैं। Q.E.D.

विधि 3 की 3: साक्ष्यों का निरूपण

गणितीय प्रमाण की शब्दावली जानें। कुछ कथन और वाक्य हैं जिन्हें आप गणितीय प्रमाण में देखते रहते हैं। ये ऐसे वाक्यांश हैं जिनसे आपको परिचित होना चाहिए और अपने स्वयं के प्रमाण तैयार करते समय अच्छी तरह से उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए।
- "यदि, तो B" का अर्थ है कि आपको यह दिखाना होगा कि यदि A सत्य है, तो B को भी सत्य होना चाहिए।
- "एक और केवल अगर बी" का मतलब है कि आपको यह साबित करना होगा कि ए और बी एक ही समय में सच और झूठ हैं। दोनों को साबित करें "यदि ए, तो बी" और "यदि ए नहीं है, तो बी नहीं"।
- "केवल एक अगर बी" का अर्थ "यदि ए, तो बी" के समान है, तो इसका उपयोग अक्सर नहीं किया जाता है। इसके बारे में पता होना अच्छा है जब आप इसके पार आते हैं।
- सबूत बनाते समय, आपको "हम" के पक्ष में "मैं" के उपयोग से बचना चाहिए।
सभी डेटा नीचे लिखें। जब एक साथ एक सबूत डालते हैं, तो पहला कदम सभी डेटा को पहचानना और रिकॉर्ड करना होता है। यह शुरू करने के लिए सबसे अच्छी जगह है क्योंकि यह आपको यह सोचने में मदद करेगा कि क्या जाना जाता है और सबूत को पूरा करने के लिए आपको क्या जानकारी चाहिए। समस्या पढ़ें और जानकारी के प्रत्येक टुकड़े को लिखें।
- उदाहरण के लिए: सिद्ध कीजिए कि रैखिक युग्म (कोण A और कोण B) बनाने वाले दो कोण पूरक हैं।
- दिया गया: कोण A और कोण B एक रैखिक जोड़ी बनाते हैं
- प्रमाण: कोण A, कोण B का पूरक है।
सभी चर को परिभाषित करें। डेटा लिखने के अलावा, यह सभी चर को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है। पाठक के लिए भ्रम से बचने के लिए साक्ष्य की शुरुआत में परिभाषाएं लिखें। यदि चर को परिभाषित नहीं किया जाता है, तो एक पाठक आसानी से आपके सबूतों को समझने की कोशिश कर सकता है।
- अपने प्रमाण में ऐसे चरों का उपयोग न करें जिन्हें अभी तक परिभाषित नहीं किया गया है।
- उदाहरण के लिए: चर कोण ए और कोण बी के उपाय हैं।
सबूत के माध्यम से पीछे की ओर काम करें। किसी समस्या के बारे में पिछड़ जाना अक्सर आसान होता है। निष्कर्ष के साथ शुरू करें, जो आप साबित करने की कोशिश कर रहे हैं, और उन चरणों के बारे में सोचें जो आपको शुरुआत में वापस ला सकते हैं।
- शुरुआत और अंत में चरणों को संपादित करके देखें कि क्या वे समान हैं। डेटा, परिभाषाएँ जो आपने सीखी हैं और इसी तरह के साक्ष्य का उपयोग करें।
- रास्ते में अपने आप से सवाल पूछें। "ऐसा क्यों है?" और "क्या कोई तरीका है यह गलत है?" किसी भी कथन या दावे के लिए अच्छे प्रश्न हैं।
- अंतिम प्रमाण के लिए अनुक्रम में चरण लिखना न भूलें।
- उदाहरण के लिए: यदि कोण ए और बी पूरक हैं, तो एक साथ 180 ° होना चाहिए। दो कोने एक साथ लाइन एबीसी बनाते हैं। आप जानते हैं कि वे रैखिक रेखाओं की परिभाषा के कारण एक रेखा बनाते हैं। चूंकि एक सीधी रेखा 180 ° है, इसलिए आप यह साबित करने के लिए कि A और कोण B 180 ° तक जोड़ सकते हैं, प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं।
अपने कदम तार्किक क्रम में रखें। शुरुआत में सबूत शुरू करें और निष्कर्ष तक अपना काम करें। हालांकि निष्कर्ष के साथ शुरू करने और पीछे की ओर काम करने से, साक्ष्य के बारे में सोचना मददगार होता है, जब वास्तविक सबूत पेश करते हैं, तो आप निष्कर्ष को अंत में डाल देंगे। सबूत में बयानों को एक-दूसरे से प्रवाहित होना चाहिए, प्रत्येक कथन के लिए पुष्टि के साथ, ताकि आपके सबूतों की वैधता पर संदेह करने का कोई कारण न हो।
- उन मान्यताओं को सूचीबद्ध करके शुरू करें, जिनके साथ आप काम कर रहे हैं।
- उन्हें सरल और स्पष्ट चरणों में विभाजित करें ताकि पाठक को आश्चर्य न हो कि एक कदम दूसरे से तार्किक रूप से कैसे बहता है।
- अवधारणा के कई प्रमाण तैयार करना असामान्य नहीं है। जब तक सभी कदम सबसे तार्किक क्रम में न हों, तब तक पुन: व्यवस्थित करते रहें।
- उदाहरण के लिए: शुरुआत में शुरू करें।
  - कोण ए और कोण बी एक रैखिक जोड़ी बनाते हैं।
  - कॉर्नर एबीसी स्ट्रेट है।
  - कोण ABC 180 ° है।
  - कोण ए + कोण बी = कोण एबीसी।
  - कोण A + कोण B = 180 °।
  - कोण A कोण B का पूरक है।
लिखित प्रमाण में तीर और संक्षिप्तीकरण का उपयोग करने से बचें। अपने प्रमाण के लिए योजना की रूपरेखा बनाते समय, आप शॉर्टहैंड और प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन अंतिम प्रमाण लिखते समय, प्रतीक, जैसे कि तीर, पाठक को भ्रमित कर सकते हैं। इसके बजाय, "तब" या "ऐसा" जैसे शब्दों का उपयोग करें।
- संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग करने के लिए अपवाद हैं: उदा। (उदाहरण के लिए) और अर्थात् (अर्थात), लेकिन सुनिश्चित करें कि आप उनका सही उपयोग करते हैं।
एक प्रमेय (प्रमेय), कानून या परिभाषा के साथ सभी कथनों का समर्थन करें। साक्ष्य केवल उतना ही अच्छा है जितना कि उपयोग किए गए साक्ष्य। आप इसे एक परिभाषा के साथ पुष्टि किए बिना बयान नहीं कर सकते। एक उदाहरण के रूप में इसी तरह के अन्य सबूत देखें।
- एक मामले में अपने साक्ष्य को लागू करने का प्रयास करें जहां असत्य होना चाहिए, और सत्यापित करें कि यह वास्तव में मामला है। यदि परिणाम गलत नहीं है, तो सबूत समायोजित करें ताकि यह हो।
- कई ज्यामितीय प्रमाणों को कथन और प्रमाण के साथ दो-स्तंभ प्रमाण के रूप में लिखा जाता है। प्रकाशन के लिए एक औपचारिक गणितीय प्रमाण सही व्याकरण के साथ एक पैराग्राफ के रूप में लिखा गया है।
इसे किसी निष्कर्ष के साथ समाप्त करें या Q.E.D. सबूतों का अंतिम कथन वह परिकल्पना होना चाहिए जिसे आप साबित करने की कोशिश कर रहे थे। एक बार जब आप यह बयान कर देते हैं, तो प्रमाण को अंतिम प्रतीक के साथ बंद कर दें, जैसे कि Q.E.D. या एक ठोस वर्ग, यह इंगित करने के लिए कि प्रमाण पूरा हो गया है।
- Q.E.D. "क्वॉड एराट प्रदर्शन" (लैटिन के लिए "जो कि साबित होना था" के लिए खड़ा है)।
- यदि आप सुनिश्चित नहीं हैं कि आपके सबूत सही हैं, तो बस कुछ वाक्यों में लिखें कि आपका निष्कर्ष क्या है और यह महत्वपूर्ण क्यों है।