विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• विधि 1 की 3: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना
• विधि 2 की 3: उन्मूलन विधि का उपयोग करना
• 3 की विधि 3: समीकरणों को ग्राफ करें
• टिप्स
• चेतावनी

एक "समीकरणों की प्रणाली" में आपको एक ही समय में दो या अधिक समीकरणों को हल करने के लिए कहा जाता है। जब इन दोनों में अलग-अलग चर होते हैं, जैसे कि x और y, या a और b, तो पहली नज़र में यह देखना मुश्किल हो सकता है कि उन्हें कैसे हल किया जाए। सौभाग्य से, एक बार जब आप जानते हैं कि क्या करना है, तो आपको समस्या को हल करने के लिए केवल कुछ बुनियादी गणित कौशल (और कभी-कभी कुछ अंश ज्ञान) की आवश्यकता होती है। यदि आवश्यक हो, या यदि आप एक दृश्य छात्र हैं, तो समीकरणों को रेखांकन करना सीखें। रेखांकन (साजिश रचना) एक ग्राफ के लिए उपयोगी हो सकता है "देखें कि क्या चल रहा है," या अपने काम की जांच करने के लिए, लेकिन यह अन्य विधियों की तुलना में धीमा भी हो सकता है और यह सभी समीकरण प्रणालियों के साथ काम नहीं करता है।

कदम बढ़ाने के लिए

विधि 1 की 3: प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना

1. चर को समीकरण के विभिन्न पक्षों में ले जाएँ। यह "प्रतिस्थापन" विधि समीकरणों में से एक में "x के लिए हल करने" (या किसी अन्य चर) से शुरू होती है। उदाहरण के लिए, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं: 4x + 2y = 8 तथा 5x + 3x = 9। सबसे पहले, हम पहली तुलना को देखते हैं। प्रत्येक पक्ष से 2y को घटाकर पुनर्व्यवस्थित करें, और आप प्राप्त करें: 4x = 8-2y.
   • यह विधि अक्सर बाद के चरण में भिन्न का उपयोग करती है। यदि आप अंशों के साथ काम नहीं करना चाहते हैं, तो आप नीचे दिए गए उन्मूलन विधि का भी उपयोग कर सकते हैं।
2. समीकरण के दोनों किनारों को "x" के लिए हल करने के लिए विभाजित करें। एक बार जब आप समीकरण के एक तरफ एक्स (या जो भी चर का उपयोग करते हैं) शब्द होता है, तो चर को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों किनारों को विभाजित करें। उदाहरण के लिए:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. इसे वापस दूसरे समीकरण में प्लग करें। पर लौटना सुनिश्चित करें अन्य तुलना, वह नहीं जो आप पहले से उपयोग कर चुके हैं। उस समीकरण में, आप अपने द्वारा हल किए गए चर को प्रतिस्थापित करते हैं, केवल एक चर को छोड़कर। उदाहरण के लिए:
   • अब आप जानते हैं कि: x = 2 - ½y.
   • दूसरा समीकरण, जिसे आपने अभी तक नहीं बदला है, वह है: 5x + 3x = 9.
   • दूसरे समीकरण में, x को "2 - :y" से बदलें: 5 (2 - )y) + 3y = 9.
4. शेष चर के लिए हल करें। अब आपके पास केवल एक चर के साथ एक समीकरण है। उस चर को हल करने के लिए सामान्य बीजगणित तकनीकों का उपयोग करें। यदि चर एक दूसरे को रद्द करते हैं, तो अंतिम चरण पर जाएं। अन्यथा, आप अपने एक चर के जवाब के साथ समाप्त होते हैं:
   • 5 (2 - )y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (यदि आप इस चरण को नहीं समझते हैं, तो अंशों को जोड़ना सीखें। यह अक्सर होता है, लेकिन हमेशा नहीं, इस पद्धति के साथ आवश्यक)।
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. अन्य चर के हल के लिए उत्तर का उपयोग करें। समस्या को आधा करने की गलती न करें। आपको उस उत्तर को फिर से दर्ज करना होगा जो आपको मूल समीकरणों में मिला है ताकि आप दूसरे चर के लिए हल कर सकें:
   • अब आप जानते हैं कि: y = -2
   • मूल समीकरणों में से एक है: 4x + 2y = 8। (इस चरण के लिए दोनों समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है)।
   • Y के बजाय -2 में प्लग करें: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. जानिए क्या करें यदि दोनों चर एक दूसरे को रद्द कर दें। जब आप x = 3y + 2 या दूसरे समीकरण में एक समान उत्तर मिलता है, आप केवल एक चर के साथ एक समीकरण प्राप्त करने की कोशिश कर रहे हैं। कभी-कभी आप इसके बजाय एक समीकरण के साथ समाप्त होते हैं के बग़ैर चर। अपने काम की दोहरी जांच करें, और दूसरे समीकरण में पहले समीकरण को (फिर से व्यवस्थित) और न कि पहले समीकरण को स्थानापन्न करना सुनिश्चित करें। यदि आप सुनिश्चित हैं कि आपने कोई गलती नहीं की है, तो आपको निम्नलिखित में से एक परिणाम मिलेगा:
   • यदि आप कोई चर के साथ एक समीकरण के साथ समाप्त होते हैं और जो सच नहीं है (जैसे 3 = 5), तो आपको समस्या है कोई हल नहीं। (यदि आपने समीकरणों को रेखांकन किया है, तो आप देखेंगे कि वे समानांतर हैं और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं)।
   • यदि आप चर के बिना एक समीकरण के साथ समाप्त होते हैं, लेकिन उन कुंआ सच है (उदाहरण के लिए, 3 = 3), तो यह समस्या है समाधान की एक अनंत संख्या। दो समीकरण बिल्कुल बराबर हैं। (यदि आप दो समीकरणों को रेखांकन करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे वास्तव में ओवरलैप करते हैं)।

विधि 2 की 3: उन्मूलन विधि का उपयोग करना

1. चर को समाप्त करने के लिए निर्धारित करता है। जैसे ही आप उन्हें एक साथ जोड़ते हैं कभी-कभी समीकरण एक दूसरे को एक चर में "समाप्त" कर देंगे। उदाहरण के लिए, जब आप समीकरण करते हैं 3x + 2y = 11 तथा 5x - 2y = 13 जोड़ती है, "+ 2y" और "-2y" एक दूसरे को रद्द कर देंगे, सभी "y" के साथs समीकरण से निकाले जाते हैं। अपनी समस्या में समीकरणों को देखें कि क्या इस तरह से कोई भी चर समाप्त हो जाएगा। यदि कोई भी चर समाप्त नहीं होता है, तो सलाह के लिए अगले चरण पर पढ़ें।
2. एक चर को रद्द करने के लिए एक समीकरण को गुणा करें। (यदि चर पहले ही एक दूसरे को समाप्त कर चुके हों तो इस कदम को छोड़ दें)। यदि समीकरणों में से कोई भी चर खुद से रद्द नहीं होता है, तो आपको समीकरणों में से एक को बदलना होगा ताकि यह हो। यह एक उदाहरण के साथ समझना सबसे आसान है:
   • मान लीजिए कि आपके पास समीकरणों की प्रणाली है 3x - y = 3 तथा -x + 2y = 4.
   • चलो पहले समीकरण को बदलते हैं ताकि चर हो य समाप्त हो गया है। (आप इसके लिए भी कर सकते हैं एक्स करते हैं और एक ही जवाब मिलता है)।
   • - y " पहले समीकरण के साथ समाप्त किया जाना चाहिए + 2y दूसरे समीकरण में। हम यह कर सकते हैं - y 2 से गुणा करें।
   • हम पहले समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करते हैं, निम्नानुसार है: 2 (3x - y) = 2 (3), और इस तरह 6x - 2y = 6। अब करेंगे - 2y के खिलाफ दूर चले जाओ + 2y दूसरे समीकरण में।
3. दो समीकरणों को मिलाएं। दो समीकरणों को संयोजित करने में सक्षम होने के लिए, बाएँ और दाएँ पक्षों को एक साथ जोड़ें। यदि आपने समीकरण को सही ढंग से लिखा है, तो चर में से एक को दूसरे के खिलाफ रद्द करना चाहिए। यहां अंतिम चरण के समान समीकरणों का उपयोग करके एक उदाहरण दिया गया है:
   • आपके समीकरण हैं: 6x - 2y = 6 तथा -x + 2y = 4.
   • बाईं ओर मिलाएं: 6x - 2y - x + 2y =?
   • सही पक्षों को मिलाएं: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. अंतिम चर के लिए हल करें। संयुक्त समीकरण को सरल बनाएं और फिर अंतिम चर को हल करने के लिए मूल बीजगणित का उपयोग करें। यदि सरलीकरण के बाद कोई चर नहीं बचा है, तो इस खंड में अंतिम चरण तक जारी रखें। अन्यथा, आपको अपने किसी एक चर का सरल उत्तर देना चाहिए। उदाहरण के लिए:
   • आपके पास: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • चर समूह एक्स तथा य एक दूसरे के साथ: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • सरलीकृत करें: 5x = 10
   • X के लिए हल करें: (5x) / 5 = 10/5, ताकि x = 2.
5. अन्य चर के लिए हल करें। आपको एक चर मिल गया है, लेकिन आप अभी तक काफी नहीं हैं। अपने जवाब को मूल समीकरणों में से एक में बदलें ताकि आप दूसरे चर के लिए हल कर सकें। उदाहरण के लिए:
   • आप जानते हैं कि x = 2, और आपके मूल समीकरणों में से एक है 3x - y = 3 है।
   • X के बजाय प्लग 2: 3 (2) - y = 3.
   • समीकरण में y हल करें: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, तोह फिर 6 = 3 + y
   • 3 = वाई
6. जानिए क्या करें जब दोनों चर एक दूसरे को रद्द कर दें। कभी-कभी एक समीकरण में दो समीकरणों के संयोजन का कोई अर्थ नहीं होता है या समस्या को हल करने में मदद नहीं करता है। अपने काम को शुरू से ही दोहराएं, लेकिन अगर आपने कोई गलती नहीं की है, तो नीचे दिए गए उत्तरों में से एक लिखें:
   • यदि आपके संयुक्त समीकरण में कोई चर नहीं है और यह सच नहीं है (जैसे 2 = 7) तो है कोई हल नहीं जो दोनों समीकरणों के लिए है। (यदि आप दोनों समीकरणों को रेखांकन करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे समानांतर हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं)।
   • यदि आपके संयुक्त समीकरण में कोई चर नहीं है और यह सच है (जैसे 0 = 0), तो हैं समाधान की एक अनंत संख्या। दो समीकरण वास्तव में समान हैं। (यदि आप इन्हें एक ग्राफ में रखते हैं, तो आप देखेंगे कि वे पूरी तरह से एक दूसरे को ओवरलैप करते हैं)।

3 की विधि 3: समीकरणों को ग्राफ करें

1. निर्दिष्ट होने पर केवल इस पद्धति का उपयोग करें। जब तक आप कंप्यूटर या ग्राफिंग कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर रहे हैं, समीकरणों के कई सिस्टम केवल इस पद्धति का उपयोग करके लगभग हल किए जा सकते हैं। आपका शिक्षक या गणित पाठ्यपुस्तक आपको इस पद्धति का उपयोग करने के लिए कह सकता है, इसलिए आप शायद रेखाओं जैसे चित्रमय समीकरणों से परिचित हैं। आप इस विधि का उपयोग यह जांचने के लिए भी कर सकते हैं कि किसी अन्य विधि से आपके उत्तर सही हैं या नहीं।
   • मूल विचार यह है कि आप दोनों समीकरणों को ग्राफ करते हैं और उस बिंदु को निर्धारित करते हैं जहां वे अंतर करते हैं। इस बिंदु पर x और y मान समीकरण के सिस्टम में x का मान और y का मान देते हैं।
2. Y के लिए दोनों समीकरणों को हल करें। दो समीकरणों को अलग रखें, और प्रत्येक समीकरण को "y = __x + __" रूप में परिवर्तित करने के लिए बीजगणित का उपयोग करें। उदाहरण के लिए:
   • पहला समीकरण है: 2x + y = 5। इसे इसमें बदलें: y = -2x + 5.
   • दूसरा समीकरण है: -3x + 6y = 0। इसे बदलें 6y = 3x + 0, और सरल करने के लिए y = ½x + 0.
   • क्या दोनों समीकरण समान हैं, तो पूरी लाइन एक "प्रतिच्छेदन बिंदु" बन जाती है। लिखना: अनंत समाधान.
3. एक समन्वय प्रणाली बनाएं। ग्राफ पेपर की एक शीट पर एक ऊर्ध्वाधर "y- अक्ष" और एक क्षैतिज "x- अक्ष" खींचें। उस बिंदु पर शुरू करें जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, और y अक्ष पर संख्या 1, 2, 3, 4, आदि को लेबल करें और x अक्ष के साथ फिर से दाईं ओर। संख्या -1, -2, आदि को y अक्ष के साथ और x अक्ष के साथ बाईं ओर लेबल करें।
   • यदि आपके पास ग्राफ पेपर नहीं है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए एक शासक का उपयोग करें कि संख्या समान रूप से दूरी पर है।
   • यदि आप बड़ी संख्या या दशमलव स्थानों का उपयोग कर रहे हैं, तो आपको चार्ट को स्केल करने की आवश्यकता हो सकती है। (उदाहरण के लिए 1, 2, 3 के बजाय 10, 20, 30 या 0.1, 0.2, 0.3)।
4. प्रत्येक पंक्ति के लिए y चौराहा ड्रा करें। एक बार जब आप फार्म में एक समीकरण है y = __x + __ आप इसे उस बिंदु पर सेट करके रेखांकन करना शुरू कर सकते हैं जहां रेखा y- अक्ष को स्वीकार करती है। यह हमेशा एक y मान पर होता है, इस समीकरण में अंतिम संख्या के बराबर।
   • पहले वर्णित उदाहरणों में, एक पंक्ति (y = -2x + 5) y- अक्ष में 5। दूसरी पंक्ति (y = ½x + 0) शून्य बिंदु से गुजरता है 0। (ये ग्राफ में बिंदु (0.5) और (0.0) हैं)।
   • यदि संभव हो तो प्रत्येक रेखा को एक अलग रंग के साथ इंगित करें।
5. रेखाओं को खींचने के लिए ढलान का उपयोग करें। प्रपत्र में y = __x + __, x th के लिए संख्या है ढाल लाइन से बाहर। हर बार x एक से बढ़ जाता है, y मान ढलान के मूल्य के साथ बढ़ जाएगा। प्रत्येक पंक्ति के लिए ग्राफ पर बिंदु को खोजने के लिए इस जानकारी का उपयोग करें जब x = 1. (वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक समीकरण के लिए x = 1 स्थानापन्न करें और y के लिए हल करें)।
   • हमारे उदाहरण में, लाइन है y = -2x + 5 की ढलान -2। X = 1 पर पंक्ति 2 उतरती है नीचे बिंदु x = 0. से रेखा खंड को (0.5) और (1.3) के बीच खींचिए।
   • नियम y = ½x + 0की ढलान है ½। X = 1 पर, रेखा the जाती है यूपी बिंदु x = 0. से रेखा खंड को (0,0) और (1,।) के बीच खींचिए।
   • जब लाइनों में एक ही ढलान होता है रेखाएं कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी, इसलिए समीकरणों की प्रणाली का कोई हल नहीं है। लिखना: कोई हल नहीं.
6. जब तक वे अंतर नहीं करते तब तक लाइनों को प्लॉट करना जारी रखें। बंद करो और अपने चार्ट को देखो। यदि लाइनें पहले से ही एक दूसरे को पार कर चुकी हैं, तो अगले चरण पर जाएं। अन्यथा, आप इस आधार पर निर्णय लेते हैं कि लाइनें क्या करती हैं:
   • जैसे-जैसे लाइनें एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, आप उस दिशा में अंक बनाते रहते हैं।
   • यदि रेखाएं एक-दूसरे से दूर जा रही हैं, तो x = -1 से शुरू होकर वापस दूसरी दिशा में बिंदु खींचें।
   • यदि रेखाएं एक-दूसरे के करीब नहीं हैं, तो आगे कूदें और दूर के बिंदुओं को प्लॉट करें, जैसे कि x = 10।
7. लाइनों के चौराहे पर उत्तर का पता लगाएं। एक बार जब दो रेखाएँ परस्पर टकरा जाती हैं, तो उस बिंदु पर x और y मान समस्या का समाधान होते हैं। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो उत्तर पूर्णांक होगा। उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरणों में, दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं (2,1) तो आपका जवाब है x = 2 और y = 1। समीकरण की कुछ प्रणालियों में, रेखाएं दो पूर्णांकों के बीच एक मान पर प्रतिच्छेद करेंगी, और जब तक आपका ग्राफ अत्यंत सटीक नहीं होगा, यह बताना मुश्किल होगा कि यह कहां है। यदि यह मामला है, तो आप एक उत्तर दे सकते हैं जैसे: "x 1 और 2 के बीच है"। आप सटीक उत्तर खोजने के लिए प्रतिस्थापन विधि या उन्मूलन विधि का भी उपयोग कर सकते हैं।

टिप्स

• आप मूल समीकरणों में वापस उत्तर दर्ज करके अपने काम की जांच कर सकते हैं। यदि समीकरण सही हैं (उदाहरण के लिए, 3 = 3), तो आपका उत्तर सही है।
• उन्मूलन विधि में, आपको कभी-कभी एक चर को खत्म करने के लिए एक समीकरण को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करना होगा।

चेतावनी

• इन विधियों का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि आप एक शक्ति संख्या, जैसे कि x के साथ काम कर रहे हैं। इस प्रकार के समीकरणों के बारे में अधिक जानने के लिए, आपको दो चर वाले कारक के लिए एक मार्गदर्शिका की आवश्यकता होगी।