विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• टिप्स

ग्राफ़ के रूप में द्विघात समीकरण देखें ax + bx + c , भी जो के रूप में लिखा है a (x - h) + k, यू-आकार में एक चिकनी वक्र की तरह देखें। हम इसे एक कहते हैं परवलय। द्विघात समीकरण को रेखांकन में शीर्ष, दिशा और अक्सर एक्स-अक्ष और y- अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजना शामिल है। अपेक्षाकृत सरल द्विघात समीकरण के मामले में, यह समन्वय प्रणाली में इन बिंदुओं को इंगित करने के लिए x के लिए कई मान दर्ज करने के लिए पर्याप्त हो सकता है, जिसके बाद parabola खींचा जा सकता है। आरंभ करने के लिए चरण 1 जारी रखें।

कदम बढ़ाने के लिए

1. निर्धारित करें कि आपके पास किस तरह का दूसरा-डिग्री समीकरण है। इसे दो तरीकों से लिखा जा सकता है: मानक संकेतन और शीर्षांक संकेतन (वर्गमूल सूत्र लिखने का दूसरा तरीका)। आप द्विघात समीकरण का ग्राफ बनाने के लिए दोनों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन प्रक्रिया प्रत्येक मामले में थोड़ी अलग है। अधिकांश समय आप मानक आकार का सामना करेंगे, लेकिन यह निश्चित रूप से दोनों आकृतियों का उपयोग करने के लिए सीखने के लिए चोट नहीं पहुंचाता है। द्विघात समीकरण के दो रूप हैं:
   • मानक आकार। द्विघात समीकरण को इस रूप में नोट किया जाता है: f (x) = ax + bx + c जहां a, b, और c वास्तविक संख्याएं हैं और शून्य के बराबर नहीं है।
     • मानक द्विघात समीकरणों के दो उदाहरण: f (x) = x + 2x + 1 और f (x) = 9x + 10x -8।
   • शीर्ष आकार। द्विघात समीकरण को इस रूप में नोट किया जाता है: f (x) = a (x - h) + k जहां a, h और k वास्तविक संख्या हैं और शून्य के बराबर नहीं है। इस आकृति को वर्टेक्स कहा जाता है क्योंकि h और k सीधे आपके parabola के शीर्ष पर बिंदु (h, k) को संदर्भित करते हैं।
     • शीर्ष प्रपत्र समीकरणों के दो उदाहरण हैं f (x) = 9 (x - 4) + 18 और -3 (x - 5) + 1
   • इन समीकरणों का ग्राफ बनाने के लिए, हम सबसे पहले ग्राफ के शीर्ष (h, k) को निर्धारित करते हैं। मानक समीकरण में आपको यह मिलेगा: h = -b / 2a और k = f (h), जबकि यह पहले से ही वर्टेक्स रूप में दिया गया है क्योंकि h और k समीकरण में होते हैं।
2. अपने चर निर्धारित करें। द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आमतौर पर चर, बी, और सी (या ए, एच, और के) को निर्धारित करना आवश्यक होता है। एक नियमित व्यायाम आपको मानक रूप में दूसरी डिग्री का समीकरण देगा, लेकिन शीर्ष अंकन भी हो सकता है।
   • उदाहरण के लिए: मानक फ़ंक्शन f (x) = 2x + 16x + 39. यहां हमारे पास a = 2, b = 16, और = 39 है।
   • शीर्ष संकेतन में: f (x) = 4 (x - 5) + 12. यहां हमारे पास a = 4, h = 5, और k = 12 है।
3. एच की गणना करें। शीर्ष संकेतन में, h का मान पहले से ही दिया गया है, लेकिन मानक संकेतन में इस मान की गणना की जानी बाकी है। याद रखें कि मानक समीकरण के साथ: h = -b / 2a।
   • उदाहरण 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2)। इसे हल करके हम देखते हैं कि h = -4.
   • उदाहरण 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), हम तुरंत उस h = 5 को देखते हैं।
4. गणना करें के। जैसा कि h, k पहले से ही वर्टेक्स फॉर्म समीकरणों से जाना जाता है। मानक अंकन में समीकरणों के लिए, याद रखें कि k = f (h)। दूसरे शब्दों में, आप किसी भी चर x को h के मान से बदलकर k पा सकते हैं।
   • हमने उदाहरण 1 के लिए देखा है कि h = -4। K खोजने के लिए, हम इस समीकरण को h के इस मान को चर x के लिए भरकर हल करते हैं:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39।
     • k = 2 (16) - 64 + 39।
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • उदाहरण 2 से हम जानते हैं कि k का मान किसी भी गणना की आवश्यकता के बिना 12 के बराबर है।
5. ग्राफ़ के ऊपर या नीचे ड्रा करें। आपके परबोला का शीर्ष या घाटी बिंदु (h, k) है - h का अर्थ x समन्वय है और k का अर्थ y समन्वय है। शीर्ष आपके परबोला का केंद्र है - उच्चतम या निम्नतम बिंदु, शीर्ष या घाटी, एक "यू" या इसके विपरीत के रूप में एक ग्राफ के।एक पेराबोला के शीर्ष को निर्धारित करने में सक्षम होना एक सही ग्राफ खींचने का एक अनिवार्य हिस्सा है - अक्सर पेराबोला के शीर्ष का निर्धारण करना स्कूल में एक गणित समस्या का हिस्सा है।
   • उदाहरण 1 में, ग्राफ का शीर्ष (-4.7) है। अपने ग्राफ पर बिंदु बनाएं और सुनिश्चित करें कि आप निर्देशांक को सही ढंग से नाम दें।
   • उदाहरण 2 में, शीर्ष (5.12) है। तो बिंदु (0,0) से आप दाईं ओर 5 स्थान पर जाते हैं और फिर 12 तक।
6. यदि आवश्यक हो, तो परवलय का समरूपता अक्ष खींचें। एक पेराबोला की सममिति अक्ष वह रेखा है जो आकृति को बीच में काटती है, इसे बिल्कुल आधे हिस्से में विभाजित करती है। ग्राफ के एक तरफ ग्राफ के दूसरे पक्ष में इस रेखा के साथ प्रतिबिम्बित किया जाता है। अक्ष या bx + c या a (x - h) + k के द्विघात समीकरणों में, यह अक्ष parabola के शीर्ष से गुजरने वाले y अक्ष के समानांतर की रेखा है।
   • उदाहरण 1 के मामले में, समरूपता का अक्ष y अक्ष के समानांतर रेखा है और बिंदु (-4,7) से होकर गुजरता है। हालाँकि यह स्वयं पेराबोला का हिस्सा नहीं है, लेकिन इस दिशानिर्देश को हल्के ढंग से उजागर करना आपको दिखा सकता है कि पेराबोला वक्र कितना सममित है।
7. परबोला की दिशा निर्धारित करें। यह पता लगाने के बाद कि परबोला का शीर्ष क्या है, यह जानना आवश्यक है कि आप किसी पहाड़ या घाटी के परबोला के साथ काम कर रहे हैं, यानी कि उद्घाटन नीचे या शीर्ष पर है या नहीं। सौभाग्य से, यह बहुत आसान है। यदि "ए" सकारात्मक है, तो आप एक घाटी परबोला के साथ काम कर रहे हैं; यदि "a" ऋणात्मक है तो यह एक पर्वत परबोला है (तल पर खुलने के साथ)
   • उदाहरण 1 में हम फ़ंक्शन (f (x) = 2x + 16x + 39) के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए यह एक घाटी परबोला है, क्योंकि a = 2 (धनात्मक)।
   • उदाहरण 2 में हम फ़ंक्शन f (x) = 4 (x - 5) + 12) के साथ काम कर रहे हैं, और यह एक घाटी परबोला भी है क्योंकि a = 4 (धनात्मक) है।
8. यदि आवश्यक हो तो परवलय के चौराहे बिंदुओं का निर्धारण करें। अक्सर जब एक गणित समस्या को एक्स-अक्ष के साथ परबोला के चौराहों को देने के लिए कहा जाता है (ये "शून्य" हैं,) ए या दो अंक जहां परबोला एक्स अक्ष को हिट या हिट करता है)। यहां तक ​​कि अगर अनुरोध नहीं किया गया है, तो ये बिंदु एक सटीक ग्राफ खींचने में सक्षम होने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं। लेकिन सभी परबोलों में एक्स-अक्ष के साथ एक चौराहा नहीं होता है। यदि आप एक घाटी परबाला के साथ काम कर रहे हैं और घाटी बिंदु x-अक्ष के ऊपर है या, पर्वत-पराबोला के मामले में, x- अक्ष के ठीक नीचे, तो बस कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं। यदि ऐसा है, तो निम्न विधियों में से एक का उपयोग करें:
   • निर्धारित करें कि f (x) = 0 और समीकरण हल करें। यह विधि सरल द्विघात समीकरणों के लिए काम कर सकती है, विशेष रूप से शीर्ष रूप में, लेकिन आप पाएंगे कि यह तेजी से कठिन हो जाता है क्योंकि फ़ंक्शन अधिक जटिल हो जाते हैं। नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (एक्स - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- १ = x -१२ x = 11 और 13 Parabola के एक्स-अक्ष के साथ चौराहे बिंदु हैं।
   • कारक का समीकरण। अक्ष में कुछ समीकरण + bx + c को आसानी से (dx + e) ​​(fx + g) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जहाँ dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, और e × जी = सी। इस स्थिति में, x चौराहे x के मान हैं जहां कोष्ठकों के भीतर प्रत्येक पद 0. के बराबर हो जाता है। उदाहरण के लिए:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • इस मामले में, प्रतिच्छेदन बिंदु -1 है, क्योंकि दोनों कारकों में प्रवेश किया गया है, यह शून्य पैदा करता है।
   • एबीसी सूत्र का उपयोग करें। यदि चौराहों का पता लगाना आसान नहीं है, या समीकरण को कारक बनाना है, तो विशेष रूप से इस उद्देश्य के लिए "एबीसी सूत्र" का उपयोग करें। अक्ष में एक समीकरण मान लें + bx + c। फिर सूत्र x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a में a, b, और c के मान दर्ज करें। ध्यान दें कि यह अक्सर आपको एक्स के लिए दो उत्तर देता है, जो ठीक है - इसका मतलब है कि आपके पेराबोला में एक्स अक्ष के साथ दो चौराहे हैं। यहाँ एक उदाहरण है:
     • निम्नलिखित तरीके से समीकरण में -5x + 1x + 10 दर्ज करें:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10)) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) और (-15.18 / -10)। एक्स अक्ष के साथ परबोला के चौराहे के बिंदु लगभग x = हैं -1,318 तथा 1,518
     • उदाहरण 1 में समीकरण 2x + 16x + 39 के साथ, यह इस तरह दिखेगा:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39)) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • चूंकि एक नकारात्मक संख्या के वर्गमूल को खोजना संभव नहीं है, हम जानते हैं कि इस विशेष परवलय के लिए एक्स अक्ष के साथ कोई चौराहे बिंदु नहीं हैं।
9. यदि आवश्यक हो, तो parabola के चौराहे को y- अक्ष के साथ निर्धारित करें। यह अक्सर आवश्यक नहीं है, लेकिन कभी-कभी इस चौराहे को खोजने के लिए आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए एक गणित समस्या के लिए। यह काफी आसान है - x का मान 0 सेट करें और f (x) या y के समीकरण को हल करें, जो आपको उस बिंदु का y मान देता है जहां parabola y अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है। एक्स-अक्ष के माध्यम से प्रतिच्छेदन बिंदुओं के साथ अंतर यह है कि y- अक्ष पर हमेशा एक ही चौराहा बिंदु होता है। नोट - मानक समीकरणों के साथ, y- अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन y = c पर है।
   • उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि हमारे द्विघात समीकरण 2x + 16x + 39 का प्रतिच्छेदन y = 39 है, लेकिन हम इस प्रकार भी पा सकते हैं:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. y- अक्ष के साथ परबोला का चौराहा: y = 39। जैसा कि ऊपर बताया गया है, हम आसानी से प्रतिच्छेदन बिंदु पढ़ सकते हैं क्योंकि y = c।
   • समीकरण 4 (x - 5) + 12 में y- अक्ष के साथ एक प्रतिच्छेदन होता है जिसे निम्नानुसार पाया जा सकता है:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. y- अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: य = ११२।
10. यदि आपको लगता है कि यह आवश्यक है, तो पहले अतिरिक्त बिंदु और फिर पूरा ग्राफ बनाएं। अब आपके पास एक शीर्ष या एक घाटी होनी चाहिए, एक दिशा, एक्स-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु और संभवतः आपके समीकरण के y- अक्ष के साथ। इस बिंदु से आप इन बिंदुओं का उपयोग करके परवलय को खींचने का प्रयास कर सकते हैं या आप ग्राफ़ को अधिक सटीक बनाने के लिए अधिक अंक खोजने का प्रयास कर सकते हैं। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका बस कई x मान दर्ज करना है, जो कई y मान लौटाएगा। परबोला खींचने शुरू करने से पहले आपको अक्सर (शिक्षक द्वारा) कई बिंदुओं की गणना करने के लिए कहा जाएगा।
    • आइए समीकरण x + 2x + 1. पर एक और नज़र डालते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि एक्स अक्ष के साथ एकमात्र चौराहा (-1,0) है। चूंकि यह केवल इस बिंदु पर एक्स अक्ष को छूता है, इसलिए हम यह मान सकते हैं कि ग्राफ का शीर्ष इस बिंदु के बराबर है। अब तक हमारे पास इस परबोला का केवल एक ही बिंदु है - ग्राफ खींचने के लिए लगभग पर्याप्त नहीं। आइए यह सुनिश्चित करने के लिए कुछ और बिंदु खोजें कि हमारे पास अधिक मूल्य हैं।
      • आइए निम्न मानों के अनुरूप y मानों को खोजने का प्रयास करें: 0, 1, -2 और -3।
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. तब बिंदु (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. तब बिंदु (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. तब बिंदु (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. तब बिंदु (-3,4).
      • इन बिंदुओं को ग्राफ़ में रखें और अपना परवलय ड्रा करें। ध्यान दें कि पेराबोला पूरी तरह से सममित है - यदि आप ग्राफ के एक तरफ अंक जानते हैं, तो आप आमतौर पर सममिति अक्ष के दूसरी तरफ बिंदुओं को खोजने के लिए इन बिंदुओं का उपयोग करके अपने आप को बहुत काम बचा सकते हैं।

टिप्स

• यदि आवश्यक हो, गोल संख्या या अंशों का उपयोग करें। यह एक चार्ट को सही ढंग से प्रदर्शित करने में मदद कर सकता है।
• ध्यान दें कि यदि, फ़ंक्शन के लिए f (x) = ax + bx + c, b या c शून्य के बराबर हैं, तो वे शब्द गायब हो जाएंगे। उदाहरण के लिए, 12x + 0x + 6 12x + 6 के बराबर हो जाता है क्योंकि 0x 0 के बराबर है।