विषय

• कदम
• विधि 1 का 3: भिन्नों को कम करना
• विधि 2 का 3: बीजीय भिन्नों को कम करना
• विधि 3 का 3: विशेष तकनीक
• टिप्स
• चेतावनी

पहली नज़र में, बीजीय अंश बहुत जटिल लगते हैं, और एक अप्रशिक्षित छात्र सोच सकता है कि उनके साथ कुछ भी नहीं किया जा सकता है। चरों, संख्याओं और यहां तक ​​कि डिग्री की गड़गड़ाहट भय को प्रेरित करती है। हालांकि, समान नियमों का उपयोग सामान्य (जैसे 15/25) और बीजीय भिन्नों को कम करने के लिए किया जाता है।

कदम

विधि 1 का 3: भिन्नों को कम करना

1. 1 बीजीय भिन्नों का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त शब्दों को जानें। बीजीय भिन्नों पर विचार करते समय नीचे दिए गए शब्द सामान्य हैं, और उदाहरणों पर विचार करते समय उनका आगे उपयोग किया जाएगा:
   • मीटर... भिन्न का ऊपरी भाग (उदाहरण के लिए, (एक्स + 5)/ (2x + 3))।
   • भाजक... भिन्न का निचला भाग (उदाहरण के लिए, (x + 5) /(2x + 3)).
   • सामान्य भाजक... यह उस संख्या का नाम है जिससे भिन्न के ऊपरी और निचले हिस्से विभाजित होते हैं। उदाहरण के लिए, 3/9 में 3 का एक सामान्य गुणनखंड है, क्योंकि दोनों 3 से विभाज्य हैं।
   • फ़ैक्टर... ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, १५ को १, ३, ५, और १५ के गुणनखंडों में विस्तारित किया जा सकता है। ४ के गुणनखंड १, २, और ४ हैं।
   • सरलीकृत रूप... बीजीय भिन्न का सरलीकृत रूप प्राप्त करने के लिए, सभी सामान्य कारकों को रद्द करें और समान चरों को समूहित करें (उदाहरण के लिए, 5x + x = 6x)। अगर कुछ और रद्द नहीं किया जाता है, तो अंश का सरलीकृत रूप होता है।
2. 2 सरल भिन्नों के लिए चरणों की जाँच करें। साधारण और बीजीय भिन्नों के साथ संक्रियाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए, आइए अंश 15/35 लें। इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, सामान्य भाजक खोजें... दोनों संख्याएँ पाँच से विभाज्य हैं, इसलिए हम अंश और हर दोनों में 5 को हाइलाइट कर सकते हैं: 15 → 5 * 335 → 5 * 7 अब आप कर सकते हैं सामान्य कारकों को कम करें, अर्थात् अंश और हर में ५ को काट दें। नतीजतन, हमें एक सरलीकृत अंश मिलता है 3/7.
3. 3 बीजीय व्यंजकों में, सामान्य गुणनखंडों को उसी तरह पहचाना जाता है जैसे सामान्य गुणनखंडों में। पिछले उदाहरण में, हम आसानी से 15 में से 5 को अलग करने में सक्षम थे - यही सिद्धांत अधिक जटिल अभिव्यक्तियों जैसे कि 15x - 5 पर लागू होता है। सामान्य कारक खोजें। इस मामले में, यह 5 होगा, क्योंकि दोनों पद (15x और -5) 5 से विभाज्य हैं। पहले की तरह, सामान्य कारक का चयन करें और इसे आगे ले जाएं बांई ओर.15x - 5 = 5 * (3x - 1) यह जांचने के लिए कि क्या सब कुछ सही है, यह कोष्ठक में अभिव्यक्ति को 5 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है - परिणाम वही होगा जो शुरुआत में था।
4. 4 जटिल सदस्यों को उसी तरह चुना जा सकता है जैसे साधारण सदस्य। बीजीय भिन्नों के लिए, वही सिद्धांत लागू होते हैं जो सामान्य अंशों पर लागू होते हैं। अंश को कम करने का यह सबसे आसान तरीका है। निम्नलिखित अंश पर विचार करें: (एक्स + 2) (एक्स -3)(x + 2) (x + 10) ध्यान दें कि अंश (ऊपर) और हर (नीचे) दोनों में पद (x + 2) है, इसलिए इसे उसी तरह रद्द किया जा सकता है जैसे भिन्न में सामान्य कारक 5 15/35 : (एक्स + 2)(एक्स-3) → (एक्स-3)(एक्स + 2)(x + 10) → (x + 10) परिणामस्वरूप, हमें एक सरलीकृत व्यंजक प्राप्त होता है: (x-3) / (x + 10)

विधि 2 का 3: बीजीय भिन्नों को कम करना

1. 1 अंश के शीर्ष पर, अंश में सामान्य कारक खोजें। बीजीय भिन्न को रद्द करते समय, पहला कदम इसके दोनों भागों को सरल बनाना है। अंश से शुरू करें और इसे अधिक से अधिक कारकों में विस्तारित करने का प्रयास करें। इस खंड में निम्नलिखित भिन्न पर विचार करें: 9x-315x + 6 आइए अंश से शुरू करते हैं: 9x - 3. 9x और -3 के लिए, सामान्य कारक 3 है। कोष्ठकों में से 3 को हटा दें, जैसा कि सामान्य संख्याओं के साथ किया जाता है: 3 * (3x-1)। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित अंश प्राप्त होंगे: 3 (3x-1)15x + 6
2. 2 अंश में उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए। आइए उपरोक्त उदाहरण के साथ जारी रखें और हर को लिखें: १५x + ६। पहले की तरह, वह संख्या ज्ञात कीजिए जिससे दोनों भाग विभाज्य हैं। और इस मामले में, सामान्य कारक 3 है, इसलिए आप लिख सकते हैं: 3 * (5x +2)। आइए भिन्न को इस प्रकार फिर से लिखें: 3 (3x-1)3 (5x + 2)
3. 3 समान सदस्यों को कम करें। इस चरण में, आप भिन्न को सरल बना सकते हैं। अंश और हर में समान पदों को रद्द करें। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 3 है।
   3(3x-1) → (3x-1)
   3(5x + 2) → (5x + 2)
4. 4 निर्धारित करें कि भिन्न सबसे सरल रूप का है। अंश पूरी तरह से सरल हो जाता है जब अंश और हर में कोई सामान्य कारक नहीं रहता है। ध्यान दें कि आप उन शब्दों को रद्द नहीं कर सकते जो कोष्ठक के अंदर हैं - उपरोक्त उदाहरण में, x को 3x और 5x से अलग करने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि पूर्ण शब्द (3x -1) और (5x + 2) हैं। इस प्रकार, भिन्न और सरलीकरण की अवहेलना करता है, और अंतिम उत्तर इस तरह दिखता है:
   (3x-1)
   (5x + 2)
5. 5 भिन्नों को स्वयं काटने का अभ्यास करें। विधि सीखने का सबसे अच्छा तरीका है कि आप स्वयं समस्याओं का समाधान करें। उदाहरणों के नीचे सही उत्तर दिए गए हैं। 4 (एक्स + 2) (एक्स-13)(4x + 8) उत्तर: (एक्स = 13) 2x-x5x उत्तर:(2x-1) / 5

विधि 3 का 3: विशेष तकनीक

1. 1 ऋणात्मक चिन्ह को भिन्न के बाहर ले जाएँ। मान लीजिए कि निम्नलिखित भिन्न दिया गया है: 3 (एक्स -4)5 (4-x) ध्यान दें कि (x-4) और (4-x) "लगभग" समान हैं, लेकिन उन्हें तुरंत छोटा नहीं किया जा सकता क्योंकि वे "उल्टा" हैं। हालाँकि, (x - 4) को -1 * (4 - x) के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे (4 + 2x) को 2 * (2 + x) के रूप में लिखा जा सकता है। इसे "संकेत का उलटना" कहा जाता है। -1 * 3 (4-एक्स)5 (4-x) अब आप उन्हीं शर्तों को रद्द कर सकते हैं (4-x): -1 * 3(4-एक्स)5(4-एक्स) तो, हमें अंतिम उत्तर मिलता है: -3/5.
2. 2 वर्गों में अंतर को पहचानना सीखें। वर्गों का अंतर तब होता है जब एक संख्या का वर्ग दूसरी संख्या के वर्ग से घटाया जाता है, जैसा कि व्यंजक (a - b) में है। पूर्ण वर्गों के अंतर को हमेशा दो भागों में विभाजित किया जा सकता है - योग और संबंधित वर्गमूल का अंतर। तब व्यंजक निम्नलिखित रूप लेगा: a - b = (a + b) (a-b) बीजीय भिन्नों में सामान्य शब्दों की तलाश में यह तकनीक बहुत उपयोगी है।
   • उदाहरण: एक्स - 25 = (एक्स + 5) (एक्स -5)
3. 3 बहुपद व्यंजकों को सरल कीजिए. बहुपद दो से अधिक पदों वाले जटिल बीजीय व्यंजक हैं, जैसे x + 4x + 3. सौभाग्य से, कई बहुपदों को गुणनखंडित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त व्यंजक को (x + 3) (x + 1) के रूप में लिखा जा सकता है।
4. 4 याद रखें कि चरों को भी गुणनखंडित किया जा सकता है। यह एक्स + एक्स जैसे घातीय अभिव्यक्तियों के मामले में विशेष रूप से उपयोगी है। यहां आप वेरिएबल को कोष्ठक के बाहर कुछ हद तक रख सकते हैं। इस मामले में, हमारे पास है: x + x = x (x + 1)।

टिप्स

• जाँच करें कि क्या आपने इस या उस व्यंजक को सही ढंग से गुणनखंडित किया है। ऐसा करने के लिए, कारकों को गुणा करें - परिणाम समान अभिव्यक्ति होना चाहिए।
• किसी भिन्न को पूरी तरह से सरल बनाने के लिए, हमेशा सबसे बड़े गुणनखंडों का चयन करें।

चेतावनी

• घातांक के गुणों के बारे में कभी न भूलें! इन गुणों को दृढ़ता से याद रखने का प्रयास करें।