विषय

• कदम
• 5 में से विधि 1 : एक बहुफलक में शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए
• 5 की विधि 2 : रैखिक असमानताओं के एक निकाय के प्रांत का शीर्ष ज्ञात करना
• विधि 3 का 5: सममिति के अक्ष के माध्यम से एक परवलय के शीर्ष का पता लगाना
• विधि 4 का 5 : पूर्ण वर्ग के पूरक का उपयोग करके परवलय का शीर्ष ज्ञात करना
• विधि 5 का 5: एक साधारण सूत्र का उपयोग करके परवलय का शीर्ष ज्ञात करें
• आपको किस चीज़ की जरूरत है

गणित में, कई समस्याएं हैं जिनमें आपको शीर्ष खोजने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, एक पॉलीहेड्रॉन का एक शीर्ष, एक शीर्ष या असमानताओं की एक प्रणाली के एक डोमेन के कई कोने, एक परवलय का एक शीर्ष या एक द्विघात समीकरण। यह लेख आपको दिखाएगा कि विभिन्न समस्याओं में शीर्ष कैसे खोजें।

कदम

5 में से विधि 1 : एक बहुफलक में शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए

1. 1 यूलर का प्रमेय। प्रमेय कहता है कि किसी भी पॉलीटोप में, उसके शीर्षों की संख्या और उसके फलकों की संख्या घटाकर उसके किनारों की संख्या हमेशा दो होती है।
   • यूलर के प्रमेय का वर्णन करने वाला सूत्र: F + V - E = 2
     • एफ चेहरों की संख्या है।
     • V शीर्षों की संख्या है।
     • ई पसलियों की संख्या है।
2. 2 शीर्षों की संख्या ज्ञात करने के लिए सूत्र को फिर से लिखिए। एक बहुफलक के फलकों की संख्या और किनारों की संख्या को देखते हुए, आप यूलर सूत्र का उपयोग करके शीर्षों की संख्या शीघ्रता से ज्ञात कर सकते हैं।
   • वी = 2 - एफ + ई
3. 3 आपके द्वारा दिए गए मानों को इस सूत्र में प्लग करें। यह आपको बहुफलक में शीर्षों की संख्या देता है।
   • उदाहरण: एक बहुफलक के शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 6 फलक और 12 किनारे हों।
     • वी = 2 - एफ + ई
     • वी = 2 - 6 + 12
     • वी = -4 + 12
     • वी = 8

5 की विधि 2 : रैखिक असमानताओं के एक निकाय के प्रांत का शीर्ष ज्ञात करना

1. 1 रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के समाधान (क्षेत्रफल) को प्लॉट करें। कुछ मामलों में, आप ग्राफ पर रैखिक असमानताओं की प्रणाली के क्षेत्र के कुछ या सभी कोने देख सकते हैं। अन्यथा, आपको शीर्ष को बीजगणितीय रूप से खोजना होगा।
   • ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, आप संपूर्ण ग्राफ़ देख सकते हैं और शीर्षों के निर्देशांक ढूँढ़ सकते हैं।
2. 2 असमानताओं को समीकरणों में बदलें। असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए (अर्थात, "x" और "y" खोजें), आपको असमानता के संकेतों के बजाय "बराबर" चिह्न लगाने की आवश्यकता है।
   • उदाहरण: असमानताओं की एक प्रणाली दी गई:
     • वाई एक्स
     • वाई> - एक्स + 4
   • असमानताओं को समीकरणों में बदलें:
     • वाई = एक्स
     • वाई = - एक्स + 4
3. 3 अब किसी भी चर को एक समीकरण में व्यक्त करें और उसे दूसरे समीकरण में जोड़ें। हमारे उदाहरण में, पहले समीकरण से y मान को दूसरे समीकरण में प्लग करें।
   • उदाहरण:
     • वाई = एक्स
     • वाई = - एक्स + 4
   • y = x को y = - x + 4 में प्रतिस्थापित कीजिए:
     • एक्स = - एक्स + 4
4. 4 चर में से एक खोजें। अब आपके पास केवल एक चर x के साथ एक समीकरण है, जिसे खोजना आसान है।
   • उदाहरण: एक्स = - एक्स + 4
     • एक्स + एक्स = 4
     • 2x = 4
     • 2x / 2 = 4/2
     • एक्स = 2
5. 5 एक और चर खोजें। किसी भी समीकरण में पाए गए मान "x" को प्रतिस्थापित करें और "y" मान ज्ञात करें।
   • उदाहरण: वाई = एक्स
     • वाई = 2
6. 6 शीर्ष खोजें। शीर्ष में निर्देशांक "x" और "y" पाए गए मानों के बराबर हैं।
   • उदाहरण: असमानताओं की दी गई प्रणाली के क्षेत्र का शीर्ष बिंदु O (2,2) है।

विधि 3 का 5: सममिति के अक्ष के माध्यम से एक परवलय के शीर्ष का पता लगाना

1. 1 समीकरण का गुणनखंड करें। द्विघात समीकरण को गुणन करने के कई तरीके हैं। विस्तार के परिणामस्वरूप, आपको दो द्विपद मिलते हैं, जिन्हें गुणा करने पर मूल समीकरण प्राप्त होता है।
   • उदाहरण: द्विघात समीकरण दिया गया है
     • 3x2 - 6x - 45
     • सबसे पहले, सामान्य गुणनखंड को ब्रैकेट करें: 3 (x2 - 2x - 15)
     • गुणांक "ए" और "सी" गुणा करें: 1 * (-15) = -15।
     • दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणन -15 है, और उनका योग गुणांक "b" (b = -2) के बराबर है: 3 * (-5) = -15; 3 - 5 = -2।
     • पाए गए मानों को समीकरण ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15) में प्लग करें।
     • मूल समीकरण का विस्तार करें: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
2. 2 उस बिंदु (ओं) को खोजें जिस पर फ़ंक्शन का ग्राफ (इस मामले में, परवलय) भुज को पार करता है। ग्राफ X-अक्ष को f (x) = 0 पर काटता है।
   • उदाहरण: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
     • एक्स +3 = 0
     • एक्स - 5 = 0
     • एक्स = -3; एक्स = 5
     • इस प्रकार, समीकरण की जड़ें (या एक्स-अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु): ए (-3, 0) और बी (5, 0)
3. 3 समरूपता की धुरी का पता लगाएं। फलन की सममिति की धुरी उस बिंदु से होकर गुजरती है जो दो जड़ों के बीच में स्थित है। इस मामले में, शीर्ष समरूपता के अक्ष पर स्थित है।
   • उदाहरण: एक्स = 1; यह मान -3 और +5 के बीच में स्थित है।
4. 4 मूल समीकरण में x मान डालें और y मान ज्ञात करें। ये "x" और "y" मान परवलय के शीर्ष के निर्देशांक हैं।
   • उदाहरण: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
5. 5 अपना उत्तर लिखिए।
   • उदाहरण: इस द्विघात समीकरण का शीर्ष बिंदु O (1, -48) है

विधि 4 का 5 : पूर्ण वर्ग के पूरक का उपयोग करके परवलय का शीर्ष ज्ञात करना

1. 1 मूल समीकरण को इस प्रकार लिखें: y = a (x - h) ^ 2 + k, जबकि शीर्ष निर्देशांक (h, k) वाले बिंदु पर स्थित है। ऐसा करने के लिए, आपको मूल द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग में पूरक करने की आवश्यकता है।
   • उदाहरण: द्विघात फलन y = - x ^ 2 - 8x - 15 दिया गया है।
2. 2 पहले दो शब्दों पर विचार करें। पहले पद के गुणांक का गुणनखंड करें (अवरोधन को अनदेखा किया जाता है)।
   • उदाहरण: -1 (x ^ 2 + 8x) - 15.
3. 3 मुक्त पद (-15) को दो संख्याओं में विस्तारित करें ताकि उनमें से एक कोष्ठक में व्यंजक को पूर्ण वर्ग में पूरा करे। संख्याओं में से एक दूसरे पद (कोष्ठक में व्यंजक से) के आधे गुणांक के वर्ग के बराबर होनी चाहिए।
   • उदाहरण: 8/2 = 4; 4 * 4 = 16; इसलिए
     • -1 (एक्स ^ 2 + 8x + 16)
     • -15 = -16 + 1
     • वाई = -1 (एक्स ^ 2 + 8x + 16) + 1
4. 4 समीकरण को सरल कीजिए। चूँकि कोष्ठकों में व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है, आप इस समीकरण को निम्नलिखित रूप में फिर से लिख सकते हैं (यदि आवश्यक हो, कोष्ठक के बाहर जोड़ या घटाव संक्रियाएँ करें):
   • उदाहरण: y = -1 (x + 4) ^ 2 + 1
5. 5 शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। याद कीजिए कि y = a (x - h) ^ 2 + k के रूप के किसी फलन के शीर्ष के निर्देशांक (h, k) हैं।
   • कश्मीर = 1
   • एच = -4
   • इस प्रकार, मूल फलन का शीर्ष बिंदु O (-4,1) है।

विधि 5 का 5: एक साधारण सूत्र का उपयोग करके परवलय का शीर्ष ज्ञात करें

1. 1 सूत्र का उपयोग करके "x" निर्देशांक खोजें: x = -b / 2a (फॉर्म y = ax ^ 2 + bx + c के एक फ़ंक्शन के लिए)। सूत्र में "ए" और "बी" मानों को प्लग करें और "एक्स" समन्वय खोजें।
   • उदाहरण: द्विघात फलन y = - x ^ 2 - 8x - 15 दिया गया है।
   • x = -b / 2a = - (- 8) / (2 * (- 1)) = 8 / (- 2) = -4
   • एक्स = -4
2. 2 मूल समीकरण में आपको जो x मान मिलता है, उसमें प्लग करें। इस प्रकार, आपको "y" मिलेगा। ये "x" और "y" मान परवलय के शीर्ष के निर्देशांक हैं।
   • उदाहरण: y = - x ^ 2 - 8x - 15 = - (- 4) ^ 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (- 32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
     • वाई = 1
3. 3 अपना उत्तर लिखिए।
   • उदाहरण: मूल फलन का शीर्ष बिंदु O (-4,1) है।

आपको किस चीज़ की जरूरत है

• कैलकुलेटर
• पेंसिल
• कागज़