विषय

• कदम
• विधि 1 का 3: एक रेखा के समीकरण के ढलान की गणना करना
• विधि 2 का 3: दो बिंदुओं का उपयोग करके ढलान की गणना करें
• विधि 3 का 3: ढलान की गणना करने के लिए डिफरेंशियल कैलकुलस का उपयोग करना

ढलान एब्सिस्सा अक्ष के लिए सीधी रेखा के झुकाव के कोण की विशेषता है (ढलान संख्यात्मक रूप से इस कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है)। ढलान एक सीधी रेखा के समीकरण में मौजूद होता है और इसका उपयोग वक्रों के गणितीय विश्लेषण में किया जाता है, जहां यह हमेशा किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होता है। ढलान को समझना आसान बनाने के लिए, कल्पना करें कि यह फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को प्रभावित करता है, अर्थात, ढलान का मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन का मान उतना ही बड़ा होगा (स्वतंत्र चर के समान मान के लिए)।

कदम

विधि 1 का 3: एक रेखा के समीकरण के ढलान की गणना करना

1. 1 ढलान का उपयोग करके भुज की रेखा का कोण और उस रेखा की दिशा ज्ञात करें। यदि आपको एक सीधी रेखा का समीकरण दिया जाए तो ढलान की गणना करना काफी आसान है। याद रखें कि किसी भी सीधी रेखा समीकरण में:
   • कोई घातांक नहीं
   • केवल दो चर हैं, जिनमें से कोई भी भिन्न नहीं है (उदाहरण के लिए, जैसे ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {1} {x}}}$)
   • सीधी रेखा के समीकरण का रूप है ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = केएक्स + बी}$, जहां k और b संख्यात्मक गुणांक हैं (उदाहरण के लिए, 3, 10, -12, ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {4} {3}}}$).
2. 2 ढलान को खोजने के लिए, आपको k (गुणांक "x" पर) का मान ज्ञात करना होगा। यदि आपको दिए गए समीकरण का रूप है ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = केएक्स + बी}$, फिर ढलान को खोजने के लिए आपको बस "x" के सामने की संख्या को देखना होगा। ध्यान दें कि k (ढलान) हमेशा स्वतंत्र चर पर होता है (इस मामले में, "x")। यदि आप भ्रमित हैं, तो निम्नलिखित उदाहरण देखें:
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 2x + 6}$
     • ढलान = 2
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 2-x}$
     • ढलान = -1
   • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = { फ़्रेक {3} {8}} x-10}$
     • ढलान = ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {3} {8}}}$
3. 3 यदि आपको दिए गए समीकरण में . के अलावा कोई अन्य रूप है आप=कएक्स+बी{ डिस्प्लेस्टाइल वाई = केएक्स + बी}, आश्रित चर को अलग करें। ज्यादातर मामलों में, आश्रित चर को "y" के रूप में दर्शाया जाता है, और इसे अलग करने के लिए, आप जोड़, घटाव, गुणा और अन्य के संचालन कर सकते हैं। याद रखें कि कोई भी गणितीय संक्रिया समीकरण के दोनों ओर की जानी चाहिए (ताकि इसका मूल मान न बदले)। आपको दिए गए किसी भी समीकरण को फॉर्म में लाने की जरूरत है ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = केएक्स + बी}$... आइए एक उदाहरण पर विचार करें:
   • समीकरण का ढलान ज्ञात कीजिए ${ डिस्प्लेस्टाइल 2y-3 = 8x + 7}$
   • इस समीकरण को रूप में लाना आवश्यक है ${ डिस्प्लेस्टाइल वाई = केएक्स + बी}$:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2y-3 (+3) = 8x + 7 (+3)}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल 2y = 8x + 10}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ़्रेक {2y} {2}} = { फ़्रैक {8x + 10} {2}}}$
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल y = 4x + 5}$
   • ढलान ढूँढना:
     • ढलान = कश्मीर = 4

विधि 2 का 3: दो बिंदुओं का उपयोग करके ढलान की गणना करें

1. 1 ढलान की गणना के लिए ग्राफ और दो बिंदुओं का प्रयोग करें। यदि आपको केवल एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिया गया है (कोई समीकरण नहीं), तो भी आप ढलान का पता लगा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको इस ग्राफ पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता है; निर्देशांक सूत्र में प्रतिस्थापित किए जाते हैं: ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... ढलान की गणना करते समय गलतियों से बचने के लिए, निम्नलिखित बातों का ध्यान रखें:
   • यदि ग्राफ बढ़ रहा है, तो ढलान सकारात्मक है।
   • यदि ग्राफ घट रहा है, तो ढाल ऋणात्मक है।
   • ढलान मूल्य जितना अधिक होगा, ग्राफ उतना ही तेज होगा (और इसके विपरीत)।
   • भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का ढलान 0 है।
   • कोटि के समानांतर एक सीधी रेखा का ढलान मौजूद नहीं है (यह अनंत है)।
2. 2 दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजें। ग्राफ पर किन्हीं दो बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके निर्देशांक (x, y) ज्ञात करें। उदाहरण के लिए, ग्राफ़ पर बिंदु A (2.4) और B (6.6) हैं।
   • निर्देशांक की एक जोड़ी में, पहली संख्या "x" से मेल खाती है और दूसरी "y" से मेल खाती है।
   • प्रत्येक मान "x" एक निश्चित मान "y" से मेल खाता है।
3. 3 बराबर x₁, आप₁, एक्स₂, आप₂ संबंधित मूल्यों के लिए। अंक ए (2,4) और बी (6,6) के साथ हमारे उदाहरण में:
   • एक्स₁: 2
   • आप₁: 4
   • एक्स₂: 6
   • आप₂: 6
4. 4 पाए गए मानों को ढलान सूत्र में प्लग करें। ढलान को खोजने के लिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक का उपयोग किया जाता है और निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है: ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... दो बिंदुओं के निर्देशांक में प्लग करें।
   • दो बिंदु: ए (2.4) और बी (6.6)।
   • बिंदुओं के निर्देशांक को सूत्र में बदलें:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल { फ्रैक {6-4} {6-2}}}$
   • एक निश्चित उत्तर के लिए सरलीकृत करें:
     • ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {2} {4}} = { फ़्रेक {1} {2}}}$ = ढलान
5. 5 सूत्र के सार की व्याख्या। ढलान "y" निर्देशांक (दो अंक) में "x" निर्देशांक (दो अंक) में परिवर्तन के अनुपात के बराबर है। निर्देशांक परिवर्तन पहले और दूसरे बिंदुओं के संगत निर्देशांक के मूल्यों के बीच का अंतर है।
6. 6 ढलान की गणना के लिए एक अन्य प्रकार का सूत्र। ढलान की गणना के लिए मानक सूत्र है: k = ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... लेकिन यह निम्न रूप का हो सकता है: k = y / Δx, जहाँ Δ ग्रीक अक्षर "डेल्टा" है जो गणित में अंतर को दर्शाता है। यानी x = x_2 - x_1, और Δy = y_2 - y_1।

विधि 3 का 3: ढलान की गणना करने के लिए डिफरेंशियल कैलकुलस का उपयोग करना

1. 1 कार्यों से डेरिवेटिव लेना सीखें। व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के ग्राफ पर स्थित एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इस मामले में, ग्राफ या तो सीधी या घुमावदार रेखा हो सकती है। यही है, व्युत्पन्न समय में किसी विशेष क्षण में फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। उन सामान्य नियमों को याद रखें जिनके द्वारा डेरिवेटिव लिया जाता है, और उसके बाद ही अगले चरण पर आगे बढ़ें।
   • लेख पढ़ें कि व्युत्पन्न कैसे लें।
   • सरलतम डेरिवेटिव कैसे लें, उदाहरण के लिए, घातीय समीकरण का व्युत्पन्न, इस आलेख में वर्णित है। निम्नलिखित चरणों में प्रस्तुत गणना इसमें वर्णित विधियों पर आधारित होगी।
2. 2 उन समस्याओं के बीच अंतर करना सीखें जिनमें किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संदर्भ में ढलान की गणना करने की आवश्यकता होती है। समस्याओं में हमेशा ढलान या किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का प्रस्ताव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आपको बिंदु A (x, y) पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए कहा जा सकता है। आपको बिंदु A (x, y) पर स्पर्शरेखा का ढलान खोजने के लिए भी कहा जा सकता है। दोनों ही मामलों में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना आवश्यक है।
   • उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ढलान ज्ञात करें ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ बिंदु ए (4.2) पर।
   • व्युत्पन्न को अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ '(एक्स), वाई',}$ या ${ प्रदर्शन शैली { फ़्रेक {dy} {dx}}}$
3. 3 आपको दिए गए फलन का अवकलज लीजिए। आपको यहां ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता नहीं है - आपको केवल फ़ंक्शन के समीकरण की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... ऊपर वर्णित लेख में उल्लिखित विधियों के अनुसार व्युत्पन्न लें:
   • व्युत्पन्न: ${ डिस्प्लेस्टाइल f '(x) = 4x + 6}$
4. 4 ढलान की गणना करने के लिए दिए गए बिंदु के निर्देशांक को व्युत्पन्न व्युत्पन्न में रखें। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर ढलान के बराबर है। दूसरे शब्दों में, f '(x) किसी भी बिंदु (x, f (x)) पर फलन की प्रवणता है। हमारे उदाहरण में:
   • फ़ंक्शन का ढलान खोजें ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ बिंदु ए (4.2) पर।
   • फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल f '(x) = 4x + 6}$
   • इस बिंदु के x-निर्देशांक के लिए मान रखिए:
     • ${ डिस्प्लेस्टाइल एफ '(एक्स) = 4 (4) +6}$
   • ढलान का पता लगाएं:
   • समारोह की ढलान ${ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ बिंदु A (4.2) पर 22 है।
5. 5 यदि संभव हो तो ग्राफ़ पर अपने उत्तर की जाँच करें। याद रखें कि ढलान की गणना हर बिंदु पर नहीं की जा सकती है। डिफरेंशियल कैलकुलस जटिल कार्यों और जटिल ग्राफ़ पर विचार करता है, जहाँ ढलान की गणना हर बिंदु पर नहीं की जा सकती है, और कुछ मामलों में बिंदु ग्राफ़ पर बिल्कुल भी नहीं होते हैं। यदि संभव हो, तो यह जांचने के लिए कि आपको दिए गए फ़ंक्शन के लिए ढलान की गणना सही ढंग से की जा रही है, एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करें।अन्यथा, दिए गए बिंदु पर ग्राफ के लिए एक स्पर्शरेखा बनाएं और विचार करें कि क्या आपको मिला ढलान मान ग्राफ़ पर दिखाई देने वाले से मेल खाता है।
   • स्पर्शरेखा का ढलान एक विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के समान होगा। किसी दिए गए बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचने के लिए, एक्स-अक्ष के साथ दाएं / बाएं जाएं (हमारे उदाहरण में, 22 मान दाईं ओर), और फिर वाई-अक्ष के साथ एक इकाई ऊपर। बिंदु को चिह्नित करें , और फिर इसे आपको दिए गए बिंदु से जोड़ दें। हमारे उदाहरण में, निर्देशांक (4,2) और (26,3) पर बिंदुओं को कनेक्ट करें।