विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• भाग 1 का 4: मैट्रिक्स को ऊपर खींचना
• भाग 2 का 4: एक मैट्रिक्स के साथ एक सिस्टम को हल करने के लिए संचालन सीखना
• भाग 3 का 4: आकाशगंगा को हल करने के लिए कदम मिलाएं
• भाग 4 की 4: अपने समाधान की जाँच
• टिप्स

एक मैट्रिक्स एक ब्लॉक प्रारूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक बहुत ही उपयोगी तरीका है, जिसे आप फिर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए उपयोग कर सकते हैं। यदि आपके पास केवल दो चर हैं, तो आप संभवतः एक अलग विधि का उपयोग करेंगे। इन अन्य तरीकों के उदाहरणों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली को सुलझाने में इसके बारे में पढ़ें। लेकिन अगर आपके पास तीन या अधिक चर हैं, तो एक सरणी आदर्श है। गुणा और जोड़ के दोहराया संयोजनों का उपयोग करके, आप व्यवस्थित रूप से एक समाधान पर पहुंच सकते हैं।

कदम बढ़ाने के लिए

भाग 1 का 4: मैट्रिक्स को ऊपर खींचना

1. सत्यापित करें कि आपके पास पर्याप्त डेटा है। मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए रैखिक प्रणाली में प्रत्येक चर के लिए एक अनूठा समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको कई समीकरणों की आवश्यकता होती है, क्योंकि आप जितने चर हल करने की कोशिश कर रहे हैं। उदाहरण के लिए: चर x, y और z के साथ आपको तीन समीकरणों की आवश्यकता होती है। यदि आपके पास चार चर हैं, तो आपको चार समीकरण चाहिए।
   • यदि आपके पास चर की संख्या से कम समीकरण हैं, तो आप चर की कुछ सीमाओं (जैसे x = 3y और y = 2z) का पता लगाएंगे, लेकिन आपको एक सटीक समाधान नहीं मिल सकता है। इस लेख के लिए हम केवल एक अद्वितीय समाधान की दिशा में काम करेंगे।
2. अपने समीकरणों को मानक रूप में लिखें। इससे पहले कि आप मैट्रिक्स रूप में समीकरणों से डेटा डाल सकें, आप पहले प्रत्येक समीकरण को मानक रूप में लिखते हैं। रैखिक समीकरण के लिए मानक रूप Ax + By + Cz = D है, जहां अपरकेस अक्षर गुणांक (संख्याएं) हैं, और अंतिम संख्या (इस उदाहरण में D) बराबर चिह्न के दाईं ओर है।
   • यदि आपके पास अधिक चर हैं, तो बस उतने समय के लिए लाइन जारी रखें जितनी आपको आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप छह चर वाले सिस्टम को हल करने की कोशिश कर रहे थे, तो आपकी डिफ़ॉल्ट आकृति Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. की तरह दिखाई देगी। इस लेख में हम केवल तीन चर वाले सिस्टम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। एक बड़ी आकाशगंगा को हल करना बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन इसमें अधिक समय और अधिक कदम लगते हैं।
   • ध्यान दें कि मानक रूप में, शर्तों के बीच संचालन हमेशा एक अतिरिक्त होता है। यदि आपके समीकरण में एक घटाव है, तो इसके अलावा, आपको अपने गुणांक को नकारात्मक बनाकर बाद में इसके साथ काम करना होगा। यह याद रखना आसान बनाने के लिए, आप समीकरण को फिर से लिख सकते हैं और ऑपरेशन को जोड़ सकते हैं और गुणांक को नकारात्मक बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप समीकरण 3x-2y + 4z = 1 को 3x + (- 2y) + 4z = 1 के रूप में पुनः लिख सकते हैं।
3. एक मैट्रिक्स में समीकरणों की प्रणाली से संख्याओं को रखें। मैट्रिक्स संख्याओं का एक समूह है, जिसे एक प्रकार की तालिका में व्यवस्थित किया गया है, जिसके साथ हम सिस्टम को हल करने के लिए काम करेंगे। इसमें मूल रूप से समान डेटा होते हैं जो स्वयं समीकरण होते हैं, लेकिन सरल प्रारूप में। अपने समीकरणों के मैट्रिक्स को मानक रूप में बनाने के लिए, बस गुणांक और प्रत्येक समीकरण के परिणाम को एक पंक्ति में कॉपी करें, और उन पंक्तियों को एक दूसरे के ऊपर रखें।
   • मान लीजिए कि आपके पास तीन समीकरणों 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 और x + y + z = 7 से मिलकर एक प्रणाली है। आपके मैट्रिक्स की शीर्ष पंक्ति में 3, 1, -1, 9 नंबर होंगे, क्योंकि ये गुणांक और पहले समीकरण का हल हैं। ध्यान दें कि किसी भी चर का गुणांक नहीं है, जिसे 1 का गुणांक माना जाता है। मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति 2, -2, 1, -3 और तीसरी पंक्ति 1, 1, 1, 7 हो जाती है।
   • पहले कॉलम में x गुणांक, दूसरे में y गुणांक, तीसरे में z गुणांक और चौथे में समाधान की शर्तों को संरेखित करना सुनिश्चित करें। जब आपको मैट्रिक्स के साथ काम किया जाता है, तो ये कॉलम आपके समाधान लिखते समय महत्वपूर्ण होंगे।
4. अपने पूरे मैट्रिक्स के चारों ओर एक बड़ा वर्ग ब्रैकेट बनाएं। सम्मेलन द्वारा, एक मैट्रिक्स को वर्ग कोष्ठक की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जाता है, [], संख्याओं के पूरे ब्लॉक के आसपास। कोष्ठक किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करते हैं, लेकिन वे इंगित करते हैं कि आप मैट्रिस के साथ काम कर रहे हैं। एक मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ शामिल हो सकते हैं। इस लेख में, हम एक पंक्ति में शब्दों के चारों ओर कोष्ठक का उपयोग करके यह इंगित करेंगे कि वे एक साथ हैं।
5. सामान्य प्रतीकों का उपयोग। मैट्रिसेस के साथ काम करते समय, संक्षिप्त नाम आर के साथ पंक्तियों और संक्षिप्त नाम सी के साथ कॉलम को संदर्भित करना आम है। आप एक विशिष्ट पंक्ति या स्तंभ को इंगित करने के लिए इन अक्षरों के साथ संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स की पंक्ति 1 को इंगित करने के लिए, आप R1 लिख सकते हैं। रो 2 फिर R2 बन जाता है।
   • आप R और C. के संयोजन का उपयोग करके मैट्रिक्स में किसी भी विशिष्ट स्थिति का संकेत कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति, तीसरे कॉलम में एक शब्द को इंगित करने के लिए, आप इसे R2C3 कह सकते हैं।

भाग 2 का 4: एक मैट्रिक्स के साथ एक सिस्टम को हल करने के लिए संचालन सीखना

1. समाधान मैट्रिक्स के आकार को समझें। इससे पहले कि आप समीकरणों की अपनी प्रणाली को हल करना शुरू करें, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप मैट्रिक्स के साथ क्या करने जा रहे हैं। इस बिंदु पर आपके पास एक मैट्रिक्स है जो इस तरह दिखता है:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • आप "समाधान मैट्रिक्स" बनाने के लिए कई बुनियादी कार्यों के साथ काम करते हैं। समाधान मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 वाई
   • 0 0 1 जेड
   • ध्यान दें कि मैट्रिक्स में चतुर्थ स्तंभ को छोड़कर अन्य सभी स्थानों में 0 के साथ एक विकर्ण रेखा में 1 है। चौथे स्तंभ में संख्याएँ चर x, y और z का हल हैं।
2. स्केलर गुणा का उपयोग करें। मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करने के लिए आपके निपटान में पहला उपकरण स्केलर गुणा है। यह केवल एक शब्द है जिसका अर्थ है कि आप मैट्रिक्स की एक पंक्ति में तत्वों को एक स्थिर संख्या (एक चर नहीं) से गुणा करते हैं। स्केलर गुणा का उपयोग करते समय, ध्यान रखें कि आप जो भी संख्या चुनते हैं, उसके द्वारा पूरी पंक्ति के प्रत्येक शब्द को गुणा करना होगा। यदि आप पहले कार्यकाल को भूल जाते हैं और सिर्फ गुणा करते हैं, तो आपको गलत समाधान मिलेगा। हालाँकि, आपको एक ही समय में पूरे मैट्रिक्स को गुणा नहीं करना है। स्केलर गुणा में, आप एक समय में केवल एक पंक्ति पर काम करते हैं।
   • स्केलर गुणा में अंशों का उपयोग करना आम है क्योंकि आप अक्सर 1 की विकर्ण पंक्ति प्राप्त करना चाहते हैं। भिन्नों के साथ काम करने की आदत डालें। यह भी आसान होगा (मैट्रिक्स को हल करने के अधिकांश चरणों के लिए) अपने भिन्नों को अनुचित रूप में लिखने में सक्षम होने के लिए, फिर उन्हें अंतिम समाधान के लिए मिश्रित संख्याओं में परिवर्तित करें। इसलिए, यदि आप इसे 5/3 के रूप में लिखते हैं, तो संख्या 1 2/3 काम करना आसान है।
   • उदाहरण के लिए, हमारी उदाहरण समस्या की पहली पंक्ति (R1) शर्तों [3,1, -1,9] से शुरू होती है। समाधान मैट्रिक्स में पहली पंक्ति की पहली स्थिति में 1 होना चाहिए। 3 को 1 में बदलने के लिए, हम पूरी पंक्ति को 1/3 से गुणा कर सकते हैं। इससे [1,1 / 3, -1 / 3,3] का नया R1 बनता है।
   • किसी भी नकारात्मक संकेत को छोड़ना सुनिश्चित करें जहां वे हैं।
3. पंक्ति जोड़ या पंक्ति घटाव का उपयोग करें। दूसरा उपकरण जिसका आप उपयोग कर सकते हैं वह है मैट्रिक्स की दो पंक्तियों को जोड़ना या घटाना। अपने समाधान मैट्रिक्स में 0 शब्द बनाने के लिए, आपको 0 पर जाने के लिए संख्याओं को जोड़ना या घटाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि R1 एक मैट्रिक्स [1,4,3,2] और R2 [1,3,5,8] का है, तो आप दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटा सकते हैं और एक नई पंक्ति बना सकते हैं [0] -1, 2.6], क्योंकि 1-1 = 0 (पहला कॉलम), 3-4 = -1 (दूसरा कॉलम), 5-3 = 2 (तीसरा कॉलम), और 8-2 = 6 (चौथा कॉलम)। पंक्ति जोड़ या पंक्ति घटाव का प्रदर्शन करते समय, आपके द्वारा शुरू की गई पंक्ति के बजाय अपने नए परिणाम को फिर से लिखें। इस स्थिति में हम पंक्ति 2 को निकालेंगे और नई पंक्ति [0, -1,2,6] डालेंगे।
   • आप एक शॉर्टहैंड नोटेशन का उपयोग कर सकते हैं और इस क्रिया को R2-R1 = [0, -1,2,6] घोषित कर सकते हैं।
   • याद रखें कि जोड़ और घटाव एक ही ऑपरेशन के विपरीत रूप हैं। इसे दो संख्याओं को जोड़ने या विपरीत घटाना के रूप में सोचें। उदाहरण के लिए, यदि आप साधारण समीकरण 3-3 = 0 से शुरू करते हैं, तो आप इसे 3 + (- 3) = 0 की अतिरिक्त समस्या के रूप में सोच सकते हैं। नतीजा वही है। यह सरल लगता है, लेकिन कभी-कभी किसी समस्या को एक या दूसरे रूप में समझना आसान होता है। बस अपने नकारात्मक संकेतों पर नजर रखें।
4. एक ही चरण में पंक्ति जोड़ और स्केलर गुणन मिलाएं। आप हमेशा मिलान करने के लिए शर्तों की अपेक्षा नहीं कर सकते, इसलिए आप अपने मैट्रिक्स में 0 बनाने के लिए एक साधारण जोड़ या घटाव का उपयोग कर सकते हैं। अधिक बार आपको दूसरी पंक्ति से एक को जोड़ना (घटाना) करना होगा। ऐसा करने के लिए, आप पहले स्केलर गुणा करते हैं, फिर उस परिणाम को लक्ष्य पंक्ति में जोड़ें जिसे आप बदलने की कोशिश कर रहे हैं।
   • मान लीजिए; [१,३,२,६] की एक पंक्ति और [२,३,१,१] की एक पंक्ति २ है। आप R2 के पहले कॉलम में 0 टर्म चाहते हैं। यही है, आप 2 को 0. में बदलना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको 2 को घटाना होगा। आप स्केलर गुणा 2 द्वारा पहली पंक्ति को 1 गुणा करके दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति घटाकर 2 प्राप्त कर सकते हैं। संक्षिप्त रूप में इसे नीचे R2-2 * R1 के रूप में लिखा जा सकता है। पहले, 2,1,4,12 प्राप्त करने के लिए R1 को 2 से गुणा करें। फिर इसे R2 से घटाएं ताकि [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)] प्राप्त किया जा सके। इसे सरल बनाएं और आपका नया R2 [0,1, -3, -11] होगा।
5. उन पंक्तियों को कॉपी करें जो आपके काम करते समय अपरिवर्तित रहें। जैसा कि आप मैट्रिक्स पर काम करते हैं, आप एक बार में एक पंक्ति को बदल देंगे, या तो स्केलर गुणा, पंक्ति जोड़ या पंक्ति घटाव, या चरणों का एक संयोजन। जब आप एक पंक्ति बदलते हैं, तो अपने मैट्रिक्स की अन्य पंक्तियों को उनके मूल रूप में कॉपी करना सुनिश्चित करें।
   • एक संयुक्त गुणन और एक कदम में जोड़ कदम का प्रदर्शन करते समय एक सामान्य त्रुटि होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आपको R1 को R2 से दो बार घटाना है। जब आप इस चरण को करने के लिए R1 को 2 से गुणा करते हैं, तो याद रखें कि R1 मैट्रिक्स में नहीं बदलता है। आप केवल R2 को बदलने के लिए गुणा करें। पहले R1 को उसके मूल रूप में कॉपी करें, फिर R2 में परिवर्तन करें।
6. पहले ऊपर से नीचे तक काम करें। सिस्टम को हल करने के लिए, आप एक बहुत व्यवस्थित पैटर्न में काम करते हैं, अनिवार्य रूप से एक बार में मैट्रिक्स के एक शब्द को "हल" करते हैं। तीन-चर सरणी के लिए अनुक्रम इस तरह दिखेगा:
   • 1. पहली पंक्ति में 1 बनाओ, पहला कॉलम (R1C1)।
   • 2. दूसरी पंक्ति में 0 बनाओ, पहला कॉलम (R2C1)।
   • 3. दूसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम (R2C2) में 1 बनाएं।
   • 4. तीसरी पंक्ति में 0 बनाओ, पहला कॉलम (R3C1)।
   • 5. तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम (R3C2) में 0 बनाओ।
   • 6. तीसरी पंक्ति, तीसरे कॉलम (R3C3) में 1 बनाएं।
7. नीचे से ऊपर की ओर काम करें। इस बिंदु पर, यदि आपने चरणों को सही ढंग से किया है, तो आप समाधान के माध्यम से आधे रास्ते पर हैं। आपके पास 1 की विकर्ण रेखा होनी चाहिए, इसके नीचे 0 है। चौथे कॉलम में संख्या इस बिंदु पर मायने नहीं रखती है। अब आप शीर्ष पर वापस काम करते हैं:
   • दूसरी पंक्ति में तीसरा स्तंभ (R2C3) बनाएं।
   • पहली पंक्ति में 0, तीसरा कॉलम (R1C3) बनाएँ।
   • पहली पंक्ति में 0, दूसरा कॉलम (R1C2) बनाएँ।
8. जाँच करें कि क्या आपने समाधान मैट्रिक्स बनाया है। यदि आपका काम सही है, तो आपने पहले तीन कॉलम के अन्य पदों में R1C1, R2C2, R3C3 और 0 के एक विकर्ण लाइन में 1 के साथ समाधान मैट्रिक्स बनाया है। चौथे कॉलम में नंबर आपके रैखिक सिस्टम के लिए समाधान हैं।

भाग 3 का 4: आकाशगंगा को हल करने के लिए कदम मिलाएं

1. रैखिक समीकरणों के एक उदाहरण प्रणाली के साथ शुरू करें। इन चरणों का अभ्यास करने के लिए, हम पहले इस्तेमाल किए गए सिस्टम से शुरू करते हैं: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3, और x + y + z = 7। यदि आप इसे एक मैट्रिक्स में लिखते हैं, तो आपके पास R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] और R3 = [1,1,1,7] है।
2. पहली स्थिति R1C1 में 1 बनाएँ। ध्यान दें कि आर 1 इस बिंदु पर 3 से शुरू होता है। आपको इसे 1 में बदलना होगा। आप इसे स्केलर गुणा से कर सकते हैं, आर 1 के सभी चार शब्दों को 1/3 से गुणा कर सकते हैं। आशुलिपि में आप R1 * 1/3 के रूप में लिख सकते हैं। यह R1 के लिए एक नया परिणाम देता है यदि R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]। R2 और R2 की प्रतिलिपि बनाएँ, अपरिवर्तित, जब R2 = [2, -2,1, -3] और R3 = [1,1,1,7]।
   • ध्यान दें कि गुणा और भाग केवल एक दूसरे के व्युत्क्रम कार्य हैं। हम कह सकते हैं कि हम परिणाम को बदले बिना 1/3 से गुणा करते हैं या 3 से विभाजित करते हैं।
3. दूसरी पंक्ति में 0 बनाएँ, पहला कॉलम (R2C1)। इस बिंदु पर, R2 = [2, -2,1, -3]। समाधान मैट्रिक्स के करीब पहुंचने के लिए, आपको पहले शब्द को 2 से 0. में बदलना होगा। आप इसे R1 के दो बार मूल्य घटाकर कर सकते हैं, क्योंकि R1 1 से शुरू होता है। शॉर्टहैंड में, ऑपरेशन R2- 2 * आर 1। याद रखें, आप R1 को नहीं बदलते हैं, बस इसके साथ काम करें। तो पहले R1 की प्रतिलिपि करें यदि R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]। फिर यदि आप R1 के प्रत्येक पद को दोगुना करते हैं, तो आपको 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6] मिलता है। अंत में, अपने नए R2 को प्राप्त करने के लिए मूल R2 से इस परिणाम को घटाएं। कार्य अवधि, यह घटाव (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6) हो जाता है। हम इन्हें नए R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9] में सरल करते हैं। ध्यान दें कि पहला शब्द 0 है (जो भी आपका लक्ष्य था)।
   • पंक्ति 3 (जो परिवर्तित नहीं हुई है) को R3 = [1,1,1,7] लिखें।
   • यह सुनिश्चित करने के लिए कि नकारात्मक संख्या घटाना सुनिश्चित करें कि संकेत सही रहें।
   • अब पहले हम उनके अनुचित रूप में अंशों को छोड़ते हैं। यह समाधान के बाद के चरणों को आसान बनाता है। आप समस्या के अंतिम चरण में भिन्नों को सरल बना सकते हैं।
4. दूसरी पंक्ति, 1 कॉलम (R2C2) में 1 बनाएं। 1 की विकर्ण रेखा बनाते रहने के लिए, आपको दूसरा शब्द -8/3 को 1 में बदलना होगा। इसे पूरी संख्या को उस संख्या (-3/8) के पारस्परिक द्वारा गुणा करें। प्रतीकात्मक रूप से, यह चरण R2 * (- 3/8) है। परिणामी दूसरी पंक्ति R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8] है।
   • ध्यान दें कि यदि पंक्ति का बायां आधा भाग 0 और 1 के साथ समाधान से मिलता-जुलता है, तो दायां आधा अनुचित अंशों के साथ, बदसूरत दिखना शुरू हो सकता है। बस उन्हें छोड़ दो कि वे अभी के लिए क्या हैं।
   • अछूता पंक्तियों की प्रतिलिपि बनाना जारी रखना न भूलें, इसलिए R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] और R3 = [1,1,1,7]।
5. तीसरी पंक्ति में 0 बनाएँ, पहला कॉलम (R3C1)। आपका ध्यान अब तीसरी पंक्ति, R3 = [1,1,1,7] पर जाता है। पहली स्थिति में 0 बनाने के लिए, आपको उस स्थिति में वर्तमान में 1 से 1 घटा देना चाहिए। यदि आप देखते हैं, तो आर 1 की पहली स्थिति पर 1 है। इसलिए आपको केवल उस परिणाम को प्राप्त करने के लिए R3 को R3 से घटाना होगा। पद के लिए कार्य अवधि, यह (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3) हो जाता है। इन चार मिनी समस्याओं को तब नए R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4] तक सरल किया जा सकता है।
   • R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] और R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8] के साथ कॉपी करना जारी रखें। याद रखें आप एक समय में केवल एक पंक्ति बदलते हैं।
6. तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम (R3C2) में 0 बनाएं। यह मान वर्तमान में 2/3 है, लेकिन इसे 0. में परिवर्तित किया जाना चाहिए। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि आप R1 मान को डबल से घटा सकते हैं, क्योंकि R1 के संबंधित कॉलम में 1/3 है। हालाँकि, यदि आप R1 के सभी कॉलमों में R1 के सभी मानों को दोगुना और घटाते हैं, तो आप उन्हें नहीं चाहते। यह आपके समाधान में एक कदम पीछे होगा। इसलिए आपको R2 के कुछ संयोजन के साथ काम करना होगा। R2 से 2/3 घटाना दूसरे कॉलम में 0 बनाता है, पहला कॉलम बदले बिना। संक्षिप्त रूप में यह R3-2 / 3 * R2 है। व्यक्तिगत शब्द बन जाते हैं (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) । सरलीकरण तब R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24] देता है।
7. तीसरी पंक्ति, तीसरे कॉलम (R3C3) में 1 बनाएं। यह संख्या के पारस्परिक द्वारा एक सरल गुणन है जो इसे कहता है। वर्तमान मूल्य 42/24 है, इसलिए आप उस मान को प्राप्त करने के लिए 24/42 से गुणा कर सकते हैं जो आप चाहते हैं। ध्यान दें कि पहले दो शब्द 0 हैं, इसलिए कोई भी गुणन 0. रहता है। R3 का नया मान = [0,0,1,1]।
   • ध्यान दें कि पिछले चरण में काफी जटिल लगने वाले अंश पहले से ही हल होने लगे हैं।
   • R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] और R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8] के साथ जारी रखें।
   • ध्यान दें कि इस बिंदु पर आपके पास अपने समाधान मैट्रिक्स के लिए 1 का विकर्ण है। आपको केवल अपना समाधान खोजने के लिए मैट्रिक्स के तीन तत्वों को 0s में बदलना होगा।
8. दूसरी पंक्ति, तीसरे कॉलम में 0 बनाएं। R2 वर्तमान में [0.1, -5 / 8.27 / 8] है, तीसरे कॉलम में -5/8 का मान है। आपको इसे 0. में बदलना है। इसका मतलब है कि आपको आर 3 के साथ कुछ ऑपरेशन करना होगा जिसमें 5/8 जोड़ना होगा। चूंकि R3 का संगत तीसरा कॉलम 1 है, इसलिए आपको R3 के सभी मानों को 5/8 से गुणा करना होगा और परिणाम को R2 में जोड़ना होगा। संक्षेप में यह R2 + 5/8 * R3 है। टर्म फॉर टर्म यह R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8) है। इसे R2 = [0,1,0,4] तक सरलीकृत किया जा सकता है।
   • फिर R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] और R3 = [0,0,1,1] की प्रतिलिपि बनाएँ।
9. पहली पंक्ति में 0, तीसरा कॉलम (R1C3) बनाएँ। पहली पंक्ति वर्तमान में R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] है। आपको R3 के कुछ संयोजन का उपयोग करके, तीसरे कॉलम में -1/3 को 0 में बदलना है। आप R2 का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, क्योंकि R2 के दूसरे कॉलम में 1 R1 को गलत तरीके से बदल देगा। तो आप R3 * 1/3 को गुणा करें और परिणाम को R1 में जोड़ें। इसके लिए अंकन R1 + 1/3 * R3 है। R1 = (१ + ०), (१/३ + ०), (-१ / ३ + १/३), (३ + १/३) में शब्द विस्तार के परिणाम मिलते हैं। आप इसे एक नए R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3] तक सरल कर सकते हैं।
   • अपरिवर्तित R2 = [0,1,0,4] और R3 = [0,0,1,1] की प्रतिलिपि बनाएँ।
10. पहली पंक्ति में 0, दूसरे कॉलम (R1C2) पर बनाएं। यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो यह अंतिम चरण होना चाहिए। आपको दूसरे कॉलम में 1/3 को 0. में बदलना है। आप इसे R2 * 1/3 को गुणा और घटाकर प्राप्त कर सकते हैं। संक्षेप में, यह R1-1 / 3 * R2 है। परिणाम आर 1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3) है। सरलीकरण तब R1 = [1,0,0,2] देता है।
11. समाधान मैट्रिक्स के लिए खोजें। इस बिंदु पर, यदि सब कुछ ठीक रहा, तो आपके पास तीन पंक्तियाँ होंगी R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] और R3 = [0,0,1,1] चाहिये ही चाहिये। ध्यान दें कि यदि आप इसे ब्लॉक मैट्रिक्स में पंक्तियों के साथ एक के ऊपर एक लिखते हैं, तो आपके पास 1 के 0 के साथ विकर्ण 1 है, और आपके समाधान चौथे कॉलम में हैं। समाधान मैट्रिक्स इस तरह दिखना चाहिए:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. अपने समाधान को समझना। मैट्रिक्स में रैखिक समीकरणों को परिवर्तित करने के बाद, आप पहले कॉलम में x गुणांक डालते हैं, दूसरे कॉलम में y गुणांक, तीसरे कॉलम में z गुणांक। यदि आप मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों के लिए फिर से लिखना चाहते हैं, तो मैट्रिक्स की इन तीन पंक्तियों का वास्तव में तीन समीकरणों 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4, और 0x + 0y + 1y = 1 का अर्थ है। चूंकि हम 0 शर्तों को पार कर सकते हैं और 1 गुणांक नहीं लिखना है, इसलिए ये तीन समीकरण समाधान के लिए सरल करते हैं, x = 2, y = 4, और z = 1। यह रैखिक समीकरणों के आपके सिस्टम का समाधान है।

भाग 4 की 4: अपने समाधान की जाँच

1. प्रत्येक समीकरण में प्रत्येक चर में समाधान शामिल करें। यह जांचना हमेशा अच्छा होता है कि आपका समाधान वास्तव में सही है। आप मूल परिणामों में अपने परिणामों का परीक्षण करके ऐसा करते हैं।
   • इस समस्या के मूल समीकरण थे: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3, और x + y + z = 7। जब आप अपने पाए गए मानों के साथ चर को बदलते हैं, तो आपको 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3, और 2 + 4 + 1 = 7 मिलते हैं।
2. किसी भी तुलना को सरल कीजिए। संचालन के मूल नियमों के अनुसार प्रत्येक समीकरण में संचालन करें। पहला समीकरण 6 + 4-1 = 9, या 9 = 9 को सरल करता है। दूसरे समीकरण को 4-8 + 1 = -3, या -3 = -3 से सरल किया जा सकता है। अंतिम समीकरण केवल 7 = 7 है।
   • चूंकि कोई भी समीकरण एक सच्चे गणित कथन को सरल बनाता है, आपके समाधान सही हैं। यदि कोई भी समाधान गलत है, तो अपने काम को फिर से जांचें और किसी भी त्रुटि की तलाश करें। रास्ते में माइनस संकेतों से छुटकारा पाने या भिन्नों के गुणा और जोड़ को भ्रमित करने पर कुछ सामान्य गलतियां होती हैं।
3. अपने अंतिम समाधान लिखें। इस दी गई समस्या के लिए, अंतिम समाधान x = 2, y = 4 और z = 1 है।

टिप्स

• यदि आपकी समीकरण प्रणाली बहुत जटिल है, तो कई चर के साथ, आप हाथ से काम करने के बजाय एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करने में सक्षम हो सकते हैं। इसके बारे में जानकारी के लिए आप wikiHow से भी सलाह ले सकते हैं।