विषय

• कदम बढ़ाने के लिए
• विधि 1 की 2: एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई
• विधि 2 के 2: विमान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें
• टिप्स

पायथागॉरियन प्रमेय एक सही त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का वर्णन इस तरह से करता है जो इतना सुरुचिपूर्ण और व्यावहारिक है कि इसका अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह बताता है कि किसी भी सही त्रिकोण के लिए, सीधी भुजाओं के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है। दूसरे शब्दों में, एक समकोण त्रिभुज के लिए (एक त्रिभुज एक दूसरे से लंबवत होता है), लंबाई क और ख की भुजाओं और लंबाई का कर्ण के साथ: a + b = c पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति के स्तंभों में से एक है और इसके कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं - इस प्रमेय का उपयोग करते हुए, उदाहरण के लिए, एक समतल विमान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाना बहुत आसान है।

कदम बढ़ाने के लिए

विधि 1 की 2: एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई

1. जांचें कि क्या आप एक सही त्रिकोण के साथ काम कर रहे हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग केवल सही त्रिकोण के साथ किया जा सकता है, इसलिए आगे बढ़ने से पहले यह सत्यापित करना महत्वपूर्ण है कि आपका त्रिकोण एक सही त्रिकोण की परिभाषा को पूरा करता है। सौभाग्य से, केवल एक कारक है जो इस संबंध में निर्णायक है - त्रिकोण के कोणों में से एक 90 डिग्री का कोण होना चाहिए।
   • एक संकेत के रूप में, समकोण को अक्सर इंगित करने के लिए एक छोटे वर्ग कोष्ठक के साथ चिह्नित किया जाता है ताकि यह 90 डिग्री कोण हो। जांचें कि क्या आपके त्रिकोण के एक कोने में इस तरह का एक कोष्ठक है।
2. अपने त्रिकोण के किनारों पर चर, बी और सी असाइन करें। पाइथागोरस प्रमेय में, चर a और b आपके त्रिकोण के दाईं ओर, और कर्ण c से कर्ण को संदर्भित करते हैं - दाएं कोण के विपरीत लंबी भुजा। तो शुरू करने के लिए, आप चर a और b (क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता) को सीधी तरफ और c को आप कर्ण को असाइन करते हैं।
3. निर्धारित करें कि आप किस त्रिभुज को जानना चाहते हैं। पाइथागोरस प्रमेय आपको एक त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई का पता लगाने की अनुमति देता है, बशर्ते दो पक्ष ज्ञात हों। निर्धारित करें कि किन किन पक्षों की अज्ञात लंबाई है - ए, ख, और / या सी। यदि केवल एक अज्ञात है, तो आप आगे बढ़ सकते हैं।
   • मान लीजिए कि हम जानते हैं कि कर्ण की लंबाई 5 है और अन्य पक्षों में से एक की लंबाई 3 है। शेष पक्ष की लंबाई अज्ञात है। चूंकि दो पक्ष ज्ञात हैं, हम अज्ञात पक्ष की लंबाई की गणना करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं! हम बाद में फिर से इस उदाहरण का उपयोग करेंगे।
   • यदि की लंबाई दो पक्ष अज्ञात हैं, आपको पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए कम से कम एक और पक्ष की लंबाई निर्धारित करनी चाहिए। मूल त्रिकोणमितीय कार्य इसमें आपकी सहायता कर सकते हैं, बशर्ते आप त्रिकोण के दूसरे, गैर-समकोण कोणों में से एक को जानते हों।
4. समीकरण और उन लोगों का उपयोग करके गणना करें जिन्हें आप जानते हैं। अपने त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के मान को समीकरण a + b = c में दर्ज करें। याद रखें कि ए और बी सीधे पक्ष हैं और सी कर्ण है।
   • हमारे उदाहरण में, हम एक पक्ष की लंबाई और कर्ण को जानते हैं (3 और 5), इसलिए हम अपना समीकरण इस तरह लिखते हैं: 3 + b² = 5²
5. वर्गों की गणना करें। अपने समीकरण को हल करने के लिए, ज्ञात पक्षों में से प्रत्येक को चुकता करके शुरू करें। यदि आपको यह आसान लगता है, तो आप पावर को छोड़ सकते हैं और बाद में इसे वर्गाकार कर सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, हम सम्मान पाने के लिए 3 और 5 का वर्ग करते हैं। 9 तथा 25 पाने के लिए। अब हम समीकरण को 9 + b 25 = 25 के रूप में फिर से लिख सकते हैं।
6. बराबर चिह्न के एक तरफ अज्ञात चर को अलग करें। यदि आवश्यक हो, तो अज्ञात साइन के एक तरफ और दूसरे को वर्गों को अज्ञात करने के लिए मानक बीजीय संचालन का उपयोग करें। यदि आप कर्ण को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, तो प्रमेय में ग पहले से ही एक तरफ है, इसलिए आप उस चरण को छोड़ सकते हैं।
   • हमारे उदाहरण में, समीकरण अब 9 + b example = 25 है। b & sup2 को अलग करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों से 9 घटाते हैं। यह हमें b leaves = 16 के साथ छोड़ देता है।
7. समीकरण के दोनों किनारों का वर्गमूल लें। अब आपके पास समीकरण के एक तरफ एक वर्ग (चर) और दूसरे पर एक संख्या होनी चाहिए। अब अज्ञात की लंबाई का पता लगाने के लिए दोनों पक्षों के वर्गमूल को खींचें।
   • हमारे उदाहरण में, b our = 16, वर्गमूल के बाद समीकरण b = 4. है, इसलिए हम कह सकते हैं कि हमारे त्रिभुज के अज्ञात पक्ष की लंबाई बराबर है 4.
8. व्यवहार में पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि यह कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए लागू होता है। अपने आसपास की दुनिया में सही त्रिकोण पहचानना सीखें - जहाँ भी आप एक या एक से अधिक वस्तुओं पर एक सही त्रिकोण को पहचान सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय एक पक्ष की लंबाई खोजने के लिए लागू होता है, बशर्ते दो पक्ष या कोण प्रसिद्ध हों।
   • आइए वास्तविक दुनिया से एक उदाहरण लेते हैं। एक दीवार के खिलाफ एक सीढ़ी झुक जाती है। सीढ़ी का तल दीवार से 5 मीटर की दूरी पर है। सीढ़ी दीवार के नीचे से 20 मीटर तक पहुंचती है। सीढ़ी कब तक है?
     • "5 मीटर दीवार की दूरी है" और "सीढ़ी 20 मीटर ऊंची है"। यह त्रिभुज के पक्षों की लंबाई का एक संकेत देता है। चूंकि हम मान सकते हैं कि दीवार और जमीन एक समकोण बनाते हैं और सीढ़ी एक कोण पर दीवार के खिलाफ तिरछे होती है, हम इस व्यवस्था को एक समकोण त्रिभुज के रूप में मान सकते हैं, जिसकी भुजाओं की लंबाई = 5 और b = 20 है। सीढ़ी की लंबाई कर्ण है, अज्ञात चर सी। आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें:
       • a² + b² = c²
       • (5) 5 + (20)) = c²
       • 25 + 400 = c +
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • सी = 20.6। सीढ़ी की लंबाई (लगभग) है 20.6 मीटर.

विधि 2 के 2: विमान में दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें

1. विमान में दो बिंदुओं को परिभाषित करें। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग विमान में दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी को खोजने के लिए बहुत आसानी से किया जा सकता है। आपको बस किसी भी दो बिंदुओं का x और y निर्देशांक चाहिए। आमतौर पर ये निर्देशांक (x, y) के रूप में लिखे जाते हैं।
   • इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक बिंदु को एक समकोण त्रिभुज के कोने में से एक मानते हैं, जो समकोण से संबंधित नहीं है। इससे a और b की लंबाई ज्ञात करना बहुत आसान हो जाता है, जिसके बाद c (कर्ण और दो बिंदुओं के बीच की दूरी) की गणना की जा सकती है।
2. एक ग्राफ़ पर दो बिंदुओं को ड्रा करें। प्रत्येक बिंदु (x, y) के लिए X-Y समतल में, x क्षैतिज x- अक्ष पर एक बिंदु है और y ऊर्ध्वाधर y- अक्ष पर एक बिंदु है। आप उन दोनों के बीच की दूरी को रेखांकन के बिना पा सकते हैं, लेकिन ऐसा करने से आपको एक दृश्य संदर्भ मिलेगा जिसका उपयोग आप यह जांचने के लिए कर सकते हैं कि क्या आपका उत्तर सही है।
3. अपने त्रिकोण के सीधे पक्षों की लंबाई निर्धारित करें। कर्ण के समीप त्रिभुज के कोण के रूप में अपने दो बिंदुओं पर विचार करके, आप पक्षों की लंबाई ए और बी पा सकते हैं। आप ग्राफ़ का उपयोग करके या फ़ार्मुलों का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं। x₁ - एक्स₂| क्षैतिज पक्ष और | y के लिए₁ - y₂| ऊर्ध्वाधर पक्ष के लिए, जहां (एक्स₁, वाई₁) पहला बिंदु है और (x)₂, वाई₂) दूसरा बिंदु।
   • मान लीजिए हमारे पास अंक (6,1) और (3,5) हैं। हमारे त्रिभुज के क्षैतिज पक्ष की लंबाई है:
     • | एक्स₁ - एक्स₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • ऊर्ध्वाधर पक्ष की लंबाई है:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • तो हम कह सकते हैं कि हमारे दाहिने त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई = 3 और b = 4 के बराबर है।
4. कर्ण को खोजने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें। दो बिंदुओं के बीच की दूरी त्रिकोण की कर्ण की लंबाई है। पक्षों, ए, बी और सी के साथ त्रिकोण के कर्ण को खोजने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें।
   • हमारे उदाहरण में, हम बिंदुओं (3,5) और (6,1) को जानते हैं, और पक्षों की लंबाई a = 3 और b = 4 है, इसलिए हम निम्नानुसार निर्धारण करते हैं:

     • (3) 3 + (4)) = c²

       c = sqrt (9 + 16)

       c = sqrt (25)

       c = 5. (3,5) और (6,1) के बीच की दूरी है 5.

टिप्स

• यदि त्रिभुज एक सही त्रिभुज नहीं है, तो आप केवल पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग नहीं कर सकते।
• कर्ण हमेशा है:
  • समकोण के विपरीत रेखा
  • दायें त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है
  • परिवर्तनशील सी पाइथागोरस प्रमेय में
• sqrt (x) का अर्थ है "x का वर्गमूल"।
• हमेशा अपने उत्तरों की जांच करना न भूलें। यदि कोई उत्तर गलत प्रतीत होता है, तो अपनी गणना जांचें या प्रारंभ करें।
• यदि आप केवल त्रिभुज के एक किनारे को जानते हैं, लेकिन दूसरे कोणों में से एक (तब समकोण) भी है, तो पहले त्रिकोणमिति (पाप, कोस, तन) या 30-60-90 / के अनुपात के बारे में जो कुछ जानते हैं उसके साथ दूसरे पक्ष की गणना करें। 45-45-90।
• एक और जाँच - सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के विपरीत है और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण के विपरीत है।