विषय

• कदम
• टिप्स

ax + bx + c या a (x - h) + k के रूप के द्विघात समीकरण का आलेख एक परवलय (U-आकार का वक्र) है। इस तरह के समीकरण को प्लॉट करने के लिए, आपको परवलय के शीर्ष, उसकी दिशा और एक्स और वाई अक्षों के साथ चौराहे के बिंदुओं को खोजने की जरूरत है। यदि आपको अपेक्षाकृत सरल द्विघात समीकरण दिया जाता है, तो आप "x" के विभिन्न मूल्यों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं " इसमें, "y" के संबंधित मान खोजें और एक ग्राफ़ बनाएं ...

कदम

1. 1 द्विघात समीकरण को मानक रूप में और गैर-मानक रूप में लिखा जा सकता है। आप द्विघात समीकरण को प्लॉट करने के लिए किसी भी प्रकार के समीकरण का उपयोग कर सकते हैं (प्लॉटिंग विधि थोड़ी अलग है)। एक नियम के रूप में, समस्याओं में, द्विघात समीकरण एक मानक रूप में दिए जाते हैं, लेकिन यह लेख आपको द्विघात समीकरण लिखने के दोनों प्रकार के बारे में बताएगा।
   • मानक रूप: f (x) = ax + bx + c, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a 0।
     • उदाहरण के लिए, मानक रूप के दो समीकरण: f (x) = x + 2x + 1 और f (x) = 9x + 10x -8।
   • गैर-मानक रूप: f (x) = a (x - h) + k, जहाँ a, h, k वास्तविक संख्याएँ हैं और a 0।
     • उदाहरण के लिए, एक गैर-मानक रूप के दो समीकरण: f (x) = 9 (x - 4) + 18 और -3 (x - 5) + 1.
   • किसी भी प्रकार का द्विघात समीकरण बनाने के लिए, आपको सबसे पहले परवलय का शीर्ष ज्ञात करना होगा, जिसमें निर्देशांक (h, k) हों। मानक रूप के समीकरणों में परवलय के शीर्ष के निर्देशांक की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है: h = -b / 2a और k = f (h); एक गैर-मानक रूप के समीकरणों में परवलय के शीर्ष के निर्देशांक सीधे समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं।
2. 2 ग्राफ को प्लॉट करने के लिए, आपको गुणांक a, b, c (या a, h, k) के संख्यात्मक मान ज्ञात करने होंगे। अधिकांश समस्याओं में गुणांकों के संख्यात्मक मान के साथ द्विघात समीकरण दिए जाते हैं।
   • उदाहरण के लिए, मानक समीकरण f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39 में।
   • उदाहरण के लिए, एक गैर-मानक समीकरण में f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12।
3. 3 सूत्र का उपयोग करके मानक समीकरण में h की गणना करें (गैर-मानक में यह पहले से ही दिया गया है): एच = -बी / 2 ए।
   • हमारे मानक समीकरण उदाहरण में, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4।
   • एक गैर-मानक समीकरण के हमारे उदाहरण में, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5।
4. 4 मानक समीकरण में k की गणना करें (गैर-मानक में यह पहले से ही दिया गया है)। याद रखें कि k = f (h), यानी आप मूल समीकरण में "x" के बजाय h के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करके k पा सकते हैं।
   • आपने पाया कि h = -4 (मानक समीकरण के लिए)। K की गणना करने के लिए, इस मान को "x" से बदलें:
     • के = 2 (-4) + 16 (-4) + 39।
     • के = 2 (16) - 64 + 39।
     • कश्मीर = 32 - 64 + 39 = 7
   • एक गैर-मानक समीकरण में, k = 12.
5. 5 निर्देशांक तल पर निर्देशांक (h, k) के साथ एक शीर्ष खींचिए। h को X-अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है और k को Y-अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है। एक परवलय का शीर्ष या तो सबसे निचला बिंदु है (यदि परवलय ऊपर की ओर इशारा कर रहा है) या उच्चतम बिंदु (यदि परवलय नीचे की ओर इशारा कर रहा है)।
   • हमारे मानक समीकरण उदाहरण में, शीर्ष के निर्देशांक (-4, 7) हैं। इस बिंदु को निर्देशांक तल पर खींचिए।
   • कस्टम समीकरण के हमारे उदाहरण में, शीर्ष के निर्देशांक (5, 12) हैं। निर्देशांक तल पर इस बिंदु को खींचिए।
6. 6 परवलय की सममिति की धुरी बनाएं (वैकल्पिक)। समरूपता की धुरी Y अक्ष के समानांतर परवलय के शीर्ष से होकर गुजरती है (अर्थात, सख्ती से लंबवत)। समरूपता की धुरी परवलय को आधे में विभाजित करती है (अर्थात, परवलय इस अक्ष के बारे में दर्पण-सममित है)।
   • हमारे उदाहरण मानक समीकरण में, सममिति की धुरी Y अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है और बिंदु (-4, 7) से गुजरती है। यद्यपि यह रेखा स्वयं परवलय का भाग नहीं है, यह परवलय की समरूपता का एक विचार देती है।
7. 7 परवलय की दिशा निर्धारित करें - ऊपर या नीचे। यह करने में बहुत आसान है।यदि गुणांक "ए" सकारात्मक है, तो परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, और यदि गुणांक "ए" ऋणात्मक है, तो परवलय को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।
   • मानक समीकरण के हमारे उदाहरण में, f (x) = 2x + 16x + 39, परवलय ऊपर की ओर इशारा कर रहा है, क्योंकि a = 2 (धनात्मक गुणांक)।
   • एक गैर-मानक समीकरण f (x) = 4 (x - 5) + 12 के हमारे उदाहरण में, परवलय भी ऊपर की ओर निर्देशित होता है, क्योंकि a = 4 (धनात्मक गुणांक)।
8. 8 यदि आवश्यक हो, तो x-अवरोधन का पता लगाएँ और आलेखित करें। परवलय बनाते समय ये बिंदु आपकी बहुत मदद करेंगे। दो, एक या कोई नहीं हो सकता है (यदि परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है और इसका शीर्ष X-अक्ष के ऊपर है, या यदि परवलय नीचे की ओर निर्देशित है और इसका शीर्ष X-अक्ष के नीचे है)। एक्स-अक्ष के साथ चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक की गणना करने के लिए, निम्न कार्य करें:
   • समीकरण को शून्य पर सेट करें: f (x) = 0 और इसे हल करें। यह विधि सरल द्विघात समीकरणों (विशेष रूप से गैर-मानक वाले) के साथ काम करती है, लेकिन जटिल समीकरणों के लिए बेहद कठिन हो सकती है। हमारे उदाहरण में:
     • एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (एक्स - 12)
     • 1 = (एक्स - 12)
     • 1 = (एक्स - 12)
     • +/- 1 = एक्स -12। X-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में निर्देशांक (11,0) और (13,0) होते हैं।
   • मानक-रूप द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), जहां dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = सी। फिर प्रत्येक द्विपद को 0 पर सेट करें और "x" के लिए मान ज्ञात करें। उदाहरण के लिए:
     • एक्स + 2x + 1
     • = (एक्स + 1) (एक्स + 1)
     • इस मामले में, निर्देशांक (-1,0) के साथ x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन का एक बिंदु है, क्योंकि x + 1 = 0 x = -1 पर।
   • यदि आप समीकरण का गुणनखंडन नहीं कर सकते हैं, तो इसे द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करें: x = (-b +/- (b - 4ac)) / 2a।
     • उदाहरण के लिए: -5x + 1x + 10।
     • एक्स = (-1 +/- (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • एक्स = (-1 +/- (1 + 200)) / - 10
     • एक्स = (-1 +/- (२०१)) / - १०
     • एक्स = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • एक्स = (13.18 / -10) और (-15.18 / -10)। X अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में निर्देशांक (-1,318,0) और (1,518,0) होते हैं।
     • हमारे उदाहरण में, मानक रूप के समीकरण 2x + 16x + 39:
     • एक्स = (-16 +/- (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • एक्स = (-16 +/- (256 - 312)) / 4
     • एक्स = (-16 +/- (-56) / - 10
     • चूँकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालना असंभव है, इस स्थिति में परवलय X-अक्ष को नहीं काटता है।
9. 9 आवश्यकतानुसार y-अवरोधन का पता लगाएँ और आलेखित करें। यह बहुत आसान है - x = 0 को मूल समीकरण में प्लग करें और "y" का मान ज्ञात करें। वाई-अवरोधन हमेशा समान होता है। नोट: मानक रूप के समीकरणों में, प्रतिच्छेदन बिंदु में निर्देशांक (0, s) होते हैं।
   • उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 2x + 16x + 39 का परवलय, निर्देशांक (0, 39) के साथ बिंदु पर Y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है, क्योंकि c = 39 है। लेकिन इसकी गणना की जा सकती है:
     • एफ (एक्स) = 2x + 16x + 39
     • एफ (एक्स) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, अर्थात्, इस द्विघात समीकरण का परवलय Y-अक्ष को निर्देशांक (0, 39) के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
   • एक गैर-मानक समीकरण 4 (x - 5) + 12 के हमारे उदाहरण में, y-प्रतिच्छेद की गणना निम्नानुसार की जाती है:
     • एफ (एक्स) = 4 (एक्स - 5) + 12
     • एफ (एक्स) = 4 (0 - 5) + 12
     • एफ (एक्स) = 4 (-5) + 12
     • एफ (एक्स) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, यानी इस द्विघात समीकरण का परवलय Y-अक्ष को निर्देशांक (0, 112) के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
10. 10 आपने परवलय का शीर्ष, उसकी दिशा और X और Y अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु (और आलेखित) पाए हैं। आप इन बिंदुओं से परवलय बना सकते हैं या अतिरिक्त बिंदुओं को ढूंढ सकते हैं और प्लॉट कर सकते हैं और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, संबंधित y मानों की गणना करने के लिए मूल समीकरण में कई x मानों (शीर्ष के दोनों ओर) को प्लग इन करें।
    • आइए समीकरण x + 2x + 1 पर लौटते हैं। आप पहले से ही जानते हैं कि X-अक्ष के साथ इस समीकरण के ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु निर्देशांक (-1,0) वाला बिंदु है। यदि परवलय का X-अक्ष के साथ केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो यह X-अक्ष पर स्थित परवलय का शीर्ष है। इस मामले में, एक नियमित परवलय बनाने के लिए एक बिंदु पर्याप्त नहीं है। तो कुछ अतिरिक्त अंक खोजें।
      • मान लीजिए x = 0, x = 1, x = -2, x = -3।
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. बिंदु निर्देशांक: (0,1).
      • x = १: f (x) = (१) + २ (१) + १ = ४। बिंदु निर्देशांक: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. बिंदु निर्देशांक: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. बिंदु निर्देशांक: (-3,4).
      • निर्देशांक तल पर इन बिंदुओं को खींचिए और एक परवलय खींचिए (बिंदुओं को U-वक्र से जोड़िए)। कृपया ध्यान दें कि परवलय बिल्कुल सममित है - परवलय की एक शाखा के किसी भी बिंदु को परवलय की दूसरी शाखा पर (समरूपता के अक्ष के सापेक्ष) प्रतिबिंबित किया जा सकता है। यह आपका समय बचाएगा, क्योंकि आपको परवलय की दोनों शाखाओं पर बिंदुओं के निर्देशांक की गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

टिप्स

• भिन्नात्मक संख्याओं को पूर्णांकित करें (यदि यह एक शिक्षक की आवश्यकता है) - इस प्रकार आप एक सही परवलय का निर्माण करते हैं।
• यदि f (x) = ax + bx + c में गुणांक b या c शून्य के बराबर हैं, तो समीकरण में इन गुणांकों वाले कोई पद नहीं हैं।उदाहरण के लिए, 12x + 0x + 6 12x + 6 हो जाता है क्योंकि 0x 0 है।