3x3 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए - युक्तियाँ

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अन्य तरीकों से समस्याग्रस्त समस्याओं को सरल बनाने के लिए अक्सर पथरी में व्युत्क्रम का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अंश के व्युत्क्रम के साथ गुणा करना आसान है, जितना कि सीधे उस संख्या से विभाजित करना। यह उलटा है। इसी तरह, चूंकि मैट्रिक्स के लिए कोई भिन्न संकेत नहीं हैं, इसलिए आपको इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करना होगा। 3x3 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करना बहुत थकाऊ हो सकता है, लेकिन यह विचार करने लायक समस्या है। ऐसा करने के लिए आप एक उन्नत रेखांकन कैलकुलेटर का भी उपयोग कर सकते हैं।

कदम

विधि 1 की 3: व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक अतिरिक्त मैट्रिक्स बनाएँ

मैट्रिक्स के निर्धारक की जाँच करें। पहला चरण: मैट्रिक्स का निर्धारक खोजें। यदि निर्धारक 0 है, तो यह किया गया है: यह मैट्रिक्स प्रतिवर्ती नहीं है। मैट्रिक्स M के निर्धारक को det (M) के रूप में दर्शाया जा सकता है।
- 3x3 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आपको सबसे पहले इसके निर्धारक की गणना करनी चाहिए।
- मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने के लिए समीक्षा करने के लिए, आलेख को देखें 3x3 मैट्रिक्स निर्धारक का पता लगाना।
मूल मैट्रिक्स ट्रांसपोज़न। ट्रांसपोज़िशन का अर्थ है मुख्य विकर्ण के पार मैट्रिक्स को प्रतिबिंबित करना, या दूसरे शब्दों में, वें तत्व (i, j) और तत्व (j, i) को स्वैप करना। जब एक मैट्रिक्स के तत्वों को स्थानांतरित करते हैं, तो मुख्य विकर्ण (ऊपरी बाएं कोने से निचले दाएं कोने तक) स्थिर रहता है।
- ट्रांसपोज़िशन को समझने का एक और तरीका यह है कि आप मैट्रिक्स को फिर से लिखेंगे ताकि पहली पंक्ति पहले कॉलम बन जाए, मध्य पंक्ति मध्य कॉलम बन जाए, और तीसरी पंक्ति तीसरी कॉलम बन जाए। ऊपर दिए गए चित्रण में रंग तत्वों को नोटिस करें और संख्याओं की नई स्थिति पर ध्यान दें।
प्रत्येक 2x2 उप-मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। नए 3x3 विस्थापन मैट्रिक्स के सभी तत्व एक संबंधित 2x2 'सब' मैट्रिक्स से जुड़े होते हैं। प्रत्येक तत्व के उप-मैट्रिक्स को खोजने के लिए, पहले पहले तत्व की पंक्ति और स्तंभ पर प्रकाश डालें। सभी 5 तत्वों पर प्रकाश डाला जाएगा। शेष चार तत्व उप-मैट्रिक्स बनाते हैं।
- उपरोक्त उदाहरण में, यदि आप पंक्ति दो, कॉलम एक में तत्व के एक उप-मैट्रिक्स को खोजना चाहते हैं, तो आप दूसरी पंक्ति और पहले कॉलम में पांच शब्द भागों को उजागर करते हैं। शेष चार तत्व इसी उप-मैट्रिक्स हैं।
- प्रत्येक उप-मैट्रिक्स के निर्धारक को तिरछे से गुणा करके और दो उत्पादों को एक-दूसरे से घटाकर खोजें, जैसा कि ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।
- सब-मैट्रिसेस और उनके उपयोगों के बारे में अधिक जानने के लिए और पढ़ें।
बीजीय उप-वर्गों का एक मैट्रिक्स बनाएं। मूल मैट्रिक्स में संबंधित स्थिति में प्रत्येक उप-मैट्रिक्स निर्धारक को रखकर बीजीय उप-वर्गों से बने एक नए मैट्रिक्स में पिछले चरण से प्राप्त परिणाम को रखें। इस प्रकार, मूल मैट्रिक्स के तत्व (1,1) से गणना किए गए निर्धारक को स्थिति (1,1) पर रखा जाएगा। इसके बाद, आपको ऊपर दिए गए चित्रण में दिखाए गए संदर्भ तालिका के अनुसार इस नए मैट्रिक्स के प्रतिस्थापन चिन्ह को बदलना होगा।
- संकेत निर्धारित करते समय, अग्रणी के पहले अणु का चिह्न रखा जाता है। दूसरे तत्व का चिन्ह उल्टा है। तीसरे तत्व का संकेत संरक्षित है। बाकी मैट्रिक्स के लिए इसे ऐसे ही जारी रखें। ध्यान दें कि संदर्भ चार्ट में संकेत (+) या (-) यह इंगित नहीं करता है कि अंत तक, तत्व एक सकारात्मक या नकारात्मक संकेत ले जाएगा। वे केवल यह दिखाते हैं कि तत्वों को बरकरार रखा जाएगा (+) या (-) के साथ बदल दिया गया है।
- बीजीय उपांगों पर अधिक के लिए मैट्रिक्स मूल बातें देखें।
- इस चरण में हमें प्राप्त होने वाला अंतिम परिणाम मूल मैट्रिक्स का पूरक मैट्रिक्स है। इसे कभी-कभी संयुग्म मैट्रिक्स भी कहा जाता है और इसे Adj (M) कहा जाता है।
पूरक मैट्रिक्स के सभी तत्वों को निर्धारक द्वारा विभाजित करें। पहले चरण में गणना की गई मैट्रिक्स M के निर्धारक का उपयोग करें (यह जांचने के लिए कि क्या मैट्रिक्स प्रतिवर्ती है)। अब मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को इस मान से विभाजित करें। प्रत्येक विभाजन के भाग को मूल तत्व की स्थिति में रखें, और हमें मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स मिलता है।
- चित्रण में प्रस्तुत नमूना मैट्रिक्स में 1 का निर्धारक है। इसलिए, जब निर्धारक द्वारा पूरक मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को विभाजित किया जाता है, तो हम खुद को प्राप्त करते हैं (आप हमेशा इतने भाग्यशाली नहीं होंगे)। ।
- विभाजित करने के बजाय, कुछ प्रलेखन इस कदम को M के प्रत्येक तत्व को 1 / det (M) से गुणा करने के रूप में प्रदर्शित करता है। गणितीय रूप से, वे समान हैं।
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विधि 2 की 3: व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए रैखिक पंक्ति को घटाएं

मूल मैट्रिक्स में यूनिट मैट्रिक्स जोड़ें। बेस मैट्रिक्स एम लिखें, उस मैट्रिक्स के दाईं ओर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें, और फिर इस लाइन के दाईं ओर इकाई मैट्रिक्स लिखें। इस बिंदु पर, हमारे पास तीन पंक्तियों और छह स्तंभों के साथ एक मैट्रिक्स है।
- याद रखें कि पहचान मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण पर सभी तत्वों के साथ एक विशेष मैट्रिक्स है, जो ऊपरी बाएं कोने से निचले दाएं कोने तक चलता है, 1 के बराबर और शेष पदों में सभी तत्व शून्य के बराबर है।
रैखिक पंक्ति में कमी करें। यहां लक्ष्य नए विस्तारित मैट्रिक्स के बाएं हिस्से में इकाई मैट्रिक्स का निर्माण करना है। बाईं ओर पंक्ति कटौती चरणों का प्रदर्शन करते समय, आपको दाएं पर संगत भाग करना चाहिए - वह हिस्सा जो आपकी इकाई मैट्रिक्स है।
- याद रखें कि मैट्रिक्स के अलग-अलग तत्वों को अलग करने के लिए, स्केलर गुणन और पंक्ति जोड़ या घटाव के संयोजन के रूप में पंक्ति में कमी की जाती है।
यूनिट मैट्रिक्स बनने तक जारी रखें। विस्तारित मैट्रिक्स के बाएं भाग पर पहचान मैट्रिक्स प्रकट होने तक (जब विकर्ण पर तत्व 1 के बराबर होते हैं, अन्य तत्व 0 के बराबर होते हैं) रैखिक कमी जारी रखें। एक बार जब यह चरण पूरा हो जाता है, तो ऊर्ध्वाधर विभक्त का दाहिना भाग मूल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स होता है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स को फिर से लिखें। वर्टिकल डिवाइडर के दाहिने हिस्से पर वर्तमान में डुप्लिकेट करें और वह आपका उलटा मैट्रिक्स है। विज्ञापन

विधि 3 की 3: पॉकेट कैलकुलेटर के साथ उलटा मैट्रिक्स का पता लगाएं

एक कैलकुलेटर चुनें जो मैट्रेस को हल कर सकता है। एक साधारण चार-फ़ंक्शन कैलकुलेटर सीधे आपके लिए उलटा मैट्रिक्स खोजने में सक्षम नहीं होगा। हालाँकि, गणितीय पुनरावृत्ति के कारण, एक उन्नत रेखांकन कैलकुलेटर, जैसे कि टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स TI-83 या TI-86, आपके काम करने के लिए बहुत कम कर सकता है।
कैलकुलेटर में मैट्रिक्स दर्ज करें। सबसे पहले, मैट्रिक्स कुंजी दबाकर अपने कैलकुलेटर के मैट्रिक्स फ़ंक्शन को दर्ज करें, अगर यह आपके डिवाइस पर उपलब्ध है। टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स मशीन के साथ, आपको 2 मैट्रिक्स दबाना होगा।
सबमेनू संपादित करें का चयन करें। इस सबमेनू तक पहुंचने के लिए, आपको इसके डिज़ाइन के आधार पर, तीर बटन का उपयोग करने या कंप्यूटर कीबोर्ड की ऊपरी पंक्ति में स्थित उपयुक्त फ़ंक्शन कुंजियों का चयन करने की आवश्यकता हो सकती है।
अपने मैट्रिक्स के लिए एक नाम चुनें। अधिकांश पॉकेट कैलकुलेटर 3 से 10 मैट्रिसेस के साथ काम करने के लिए सुसज्जित हैं, नाम अक्षर, ए के माध्यम से जे। सामान्य रूप से, चलो शुरू करते हैं। नाम चयन की पुष्टि करने के लिए Enter कुंजी दबाएँ।
मैट्रिक्स आकार दर्ज करें। यह लेख 3x3 मैट्रिसेस पर केंद्रित है। हालांकि, पॉकेट कैलकुलेटर बड़े मैट्रिक्स को संभाल सकते हैं। पंक्तियों की संख्या दर्ज करें, Enter दबाएँ, फिर कॉलम संख्या टाइप करें और Enter दबाएँ।
मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को दर्ज करें। एक मैट्रिक्स कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित किया जाएगा। यदि आपने पहले मैट्रिक्स फ़ंक्शन के साथ काम किया है, तो आपने पहले जो मैट्रिक्स के साथ काम किया था, वह स्क्रीन पर दिखाई देगा। कर्सर मैट्रिक्स के पहले तत्व को चिह्नित करेगा। उस मैट्रिक्स मान को दर्ज करें जिसे आप हल करना चाहते हैं और Enter दबाएं। कर्सर स्वचालित रूप से किसी भी पिछले मूल्यों को अधिलेखित करते हुए, अगले तत्व पर चला जाएगा।
- यदि आप नकारात्मक संख्या दर्ज करना चाहते हैं, तो अपने कैलकुलेटर के नकारात्मक (-) बटन का उपयोग करें, ना कि माइनस कुंजी का। मैट्रिक्स फ़ंक्शन सही ढंग से नहीं पढ़ेगा।
- यदि आवश्यक हो, तो आप मैट्रिक्स के माध्यम से स्थानांतरित करने के लिए अपने कैलकुलेटर पर तीर कुंजियों का उपयोग कर सकते हैं।
मैट्रिक्स फ़ंक्शन से बाहर निकलें। आपके द्वारा संपूर्ण मैट्रिक्स मान दर्ज किए जाने के बाद, छोड़ें - बाहर निकलें कुंजी (या यदि आवश्यक हो तो 2 छोड़ें) दबाएं। इसके लिए धन्यवाद, आप मैट्रिक्स फ़ंक्शन से बाहर निकलते हैं और कैलकुलेटर की मुख्य डिस्प्ले स्क्रीन पर लौटते हैं।
उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए उलटा कुंजी का उपयोग करें। सबसे पहले, मैट्रिक्स फ़ंक्शन को फिर से खोलें और अपने मैट्रिक्स को देने के लिए उपयोग किए गए मैट्रिक्स नाम का चयन करने के लिए नाम बटन का उपयोग करें (यह हो सकता है)। अगला, कैलकुलेटर के व्युत्क्रम कुंजी को दबाएं,। आपके डिवाइस के आधार पर, आपको बटन का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है। डिस्प्ले स्क्रीन दिखाई देती है। Enter दबाएं, और उलटा मैट्रिक्स आपकी स्क्रीन पर दिखाई देगा।
- व्यक्तिगत क्लिक के साथ A ^ -1 दर्ज करने का प्रयास करते समय अपने कंप्यूटर पर ^ बटन का उपयोग न करें। कंप्यूटर इस गणित को समझ नहीं पाएंगे।
- यदि आपको उलटा कुंजी दबाते समय एक त्रुटि संदेश मिलता है, तो यह अधिक संभावना है कि आपका मूल मैट्रिक्स प्रतिवर्ती नहीं है। शायद आपको वापस जाना चाहिए और यह निर्धारित करने के लिए गुणात्मक होना चाहिए कि क्या त्रुटि का कारण है।
उल्टे मैट्रिक्स को सही उत्तर में बदलें। कंप्यूटर द्वारा लौटाया गया पहला परिणाम दशमलव में दर्शाया गया है। जरूरी नहीं कि अधिकांश उद्देश्यों के लिए "सही" उत्तर हो। यदि आवश्यक हो तो आपको इस दशमलव उत्तर को एक अंश में बदलना चाहिए (यदि बहुत भाग्यशाली है, तो आपके सभी परिणाम पूर्णांक हैं। हालाँकि, यह बहुत दुर्लभ है)।
- हो सकता है कि आपके कैलकुलेटर में एक फ़ंक्शन है जो स्वचालित रूप से दशमलव को भिन्न में परिवर्तित करता है। उदाहरण के लिए, TI-86 का उपयोग करते समय, आप Math फ़ंक्शन पर जा सकते हैं, Misc का चयन कर सकते हैं फिर Frac और एंटर दबाएं। दशमलव को स्वचालित रूप से भिन्न के रूप में दर्शाया जाएगा।
अधिकांश रेखांकन कैलकुलेटर में वर्ग ब्रैकेट होते हैं (TI-84 के लिए, जो कि 2nd + x और 2nd + -) है जो आपको मैट्रिक्स फ़ंक्शन का उपयोग किए बिना मैट्रिक्स में प्रवेश करने की अनुमति देता है। नोट: एक कैलकुलेटर एक मैट्रिक्स को तब तक प्रारूपित नहीं कर सकता है जब तक कि दर्ज / बराबर कुंजी का उपयोग नहीं किया जाता है (मतलब सब कुछ एक ही पंक्ति में होगा और बहुत अच्छा नहीं होगा)। विज्ञापन

सलाह

आप एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए इन चरणों का पालन कर सकते हैं जिसमें न केवल संख्याएं होती हैं, बल्कि चर, अज्ञात, या बीजीय अभिव्यक्तियां भी होती हैं।
सभी चरणों को लिख लें क्योंकि गणित करके सिर्फ 3x3 मैट्रिक्स का विलोम खोजना अत्यंत कठिन है।
ऐसे कैलकुलेटर प्रोग्राम हैं जो आपको 30x30 मैट्रिसेस तक और उलटा मैट्रिस ढूंढने में मदद करते हैं।
उपयोग की गई विधि के बावजूद, एम द्वारा गुणा करके परिणाम की सटीकता की जांच करें। आप पुष्टि करेंगे कि M * M = M * M = I. कहां, मैं इकाई मैट्रिक्स हूं , तत्वों से बना है जो मुख्य विकर्ण और शून्य के साथ कहीं और स्थित है। यदि आपको ऐसे परिणाम नहीं मिलते हैं, तो आप कहीं न कहीं गलत हो गए होंगे।