विषय

• कदम
• सलाह

जब दो रेखाएं दो-आयामी समन्वय प्रणाली पर अंतर करती हैं, तो वे केवल x और y समन्वित युग्म द्वारा दर्शाए गए एक बिंदु पर मिलती हैं। चूँकि दोनों रेखाएँ उस बिंदु से होकर गुजरती हैं, x और y समन्वय युग्मों को दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए। कुछ अतिरिक्त तकनीकों के साथ, आप एक ही तर्क करके परबोला और अन्य द्विघात वक्रों का प्रतिच्छेदन पा सकते हैं।

कदम

2 की विधि 1: दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए

1. 

   बाईं ओर y के साथ प्रत्येक पंक्ति के लिए समीकरण लिखिए। यदि आवश्यक हो, तो समीकरण को स्विच करें ताकि केवल y बराबर चिह्न के एक तरफ हो। यदि समीकरण y के बजाय f (x) या g (x) का उपयोग करता है, तो इस शब्द को अलग करें। याद रखें कि आप दोनों तरफ एक ही गणित करके शर्तों को रद्द कर सकते हैं।
   • यदि समस्या समीकरणों को नहीं दिखाती है, तो उपलब्ध जानकारी से उन्हें देखें।
   • उदाहरण के लिए: दो पंक्तियों के समीकरण हैं और। दूसरे समीकरण में, ताकि बाईं ओर केवल y हो, दोनों पक्षों में 12 जोड़ें:

2. 

   
   
   दो समीकरणों के दाईं भुजाओं को बराबर करें। हम एक ऐसे बिंदु की तलाश में हैं जहां दो रेखाओं में एक ही x, y समन्वय हो; यह वह जगह है जहाँ दो लाइनें प्रतिच्छेद करती हैं। दोनों समीकरणों में केवल बाईं ओर y है, इसलिए उनका दायां भाग समान होगा। इसे प्रदर्शित करने के लिए एक नया समीकरण लिखिए।
   • उदाहरण के लिए: हम जानते हैं और इसलिए।

3. 

   
   
   X के लिए हल करें। नए समीकरण में केवल एक चर x है। बीजगणितीय विधि का उपयोग कर समीकरणों को हल करने का अर्थ है कि दोनों तरफ समान गणित करना। समीकरण के एक तरफ x के साथ सभी शब्दों को परिवर्तित करें, फिर x = __ में कनवर्ट करें। (यदि आप नहीं कर सकते हैं, तो इस खंड के अंत तक स्क्रॉल करें)।
   • उदाहरण के लिए:
   • दो पक्षों में जोड़ें:
   • दो तरफ से 3 घटाएँ:
   • दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:
   • .

4. 

   
   
   Y को खोजने के लिए x मान का उपयोग करें। दो लाइनों में से एक के समीकरण का चयन करें। इस समीकरण में प्राप्त x का मान प्लग करें। अंकगणित विधि द्वारा y के लिए हल करें।
   • उदाहरण के लिए: तथा

5. 

   परिणाम की जाँच करें। यदि आपको समान परिणाम मिले, तो आपको दूसरे समीकरण में x मान को बदलना चाहिए। यदि आपको एक अलग y मान मिलता है, तो आपको अपने काम की जांच करनी चाहिए।
   • उदाहरण के लिए: तथा
   • तो हमें y का समान मान मिलता है। समाधान में कोई त्रुटि नहीं है।

6. 

   निर्देशांक x, y की प्रतिच्छेदन की एक जोड़ी लिखें। अब आपको x और y निर्देशांक की एक जोड़ी मिली है, जहाँ दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। इस बिंदु को समन्वयित युग्मों में लिखें, x मान पूर्ववर्ती के साथ।
   • उदाहरण के लिए: तथा
   • दो लाइनें (3,6) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

7. 

   असामान्य मामलों को संभालना। कुछ समीकरण x को खोजने के लिए हल नहीं किए जा सकते। यह जरूरी नहीं है क्योंकि आपने गलती की है। निम्नलिखित दो मामलों में लाइन जोड़े के समीकरणों का एक असामान्य हल हो सकता है:
   • यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। शर्तें x को दबा दिया जाएगा और समीकरण को एक गलत कथन (उदाहरण के लिए) के लिए सरल कर दिया जाएगा। उत्तर इस प्रकार लिखें "दो पंक्तियों को काटना नहीं है"या"कोई वास्तविक समाधान नहीं है’.
   • यदि दो समीकरण एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो वे सभी बिंदुओं पर "अंतर" करते हैं। शब्द x को समाप्त कर दिया जाएगा और समीकरण एक सच्चे (उदाहरण के लिए) कथन के लिए सरल हो जाएगा। उत्तर को इस प्रकार लिखें "दो लाइनें ओवरलैप होती हैं’.
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विधि 2 के 2: गणित के समीकरणों के साथ गणित की समस्याएं

1. 

   द्विघात समीकरणों को पहचानें। द्विघात समीकरण में, एक या अधिक चर में शक्तियां (या) होंगी, और किसी भी चर में उच्च शक्तियां नहीं होंगी। इन समीकरणों के भूखंड वक्र हैं, इसलिए वे 0, 1, या 2 बिंदुओं पर रेखा को काट सकते हैं। यह खंड आपको समस्या में उन चौराहों को खोजने के माध्यम से मार्गदर्शन करता है।
   • लघुकोष्ठक से समीकरणों का विस्तार यह जांचने के लिए कि क्या वे द्विघात हैं। उदाहरण के लिए, एक द्विघात रूप है क्योंकि इसका विस्तार है
   • हलकों और ellipses के समीकरण हैं दोनों पद और। यदि आप इन विशेष मामलों से परेशान हैं, तो नीचे दिए गए सुझाव देखें।

2. 

   Y के अनुसार समीकरण लिखिए। यदि आवश्यक हो, तो प्रत्येक समीकरण को स्विच करें ताकि केवल y बराबर चिह्न के एक तरफ हो।
   • उदाहरण के लिए: का चौराहा खोजें।
   • Y पर द्विघात समीकरण को फिर से लिखें:
   • तथा।
   • इस उदाहरण में द्विघात समीकरण और एक रेखीय समीकरण है। दो द्विघात समीकरणों के साथ समस्याएँ समान रूप से हल होती हैं।

3. 

   Y को रद्द करने के लिए दो समीकरणों को मिलाएं। आपके द्वारा दो समीकरणों को y में परिवर्तित करने के बाद, y के बिना पक्ष समान होंगे।
   • उदाहरण के लिए: तथा

4. 

   नए समीकरण को परिवर्तित करें ताकि एक पक्ष शून्य हो। सभी शब्दों को एक पक्ष में बदलने के लिए बीजगणितीय विधि का उपयोग करें। तो समस्या अगले चरण में हल करने के लिए तैयार है।
   • उदाहरण के लिए:
   • एक्स को दो तरफ से घटाएं:
   • दो पक्षों से 7 घटाएँ:

5. 

   द्विघात समीकरणों को हल करें. शून्य समीकरण पर स्विच करने के बाद, आपके पास तीन समाधान हैं, और यह आपके ऊपर होगा कि किसे चुनना है। आप द्विघात सूत्र या "चुकता पूरक" विधि का उपयोग करना सीख सकते हैं, या कारक के निम्नलिखित उदाहरण देख सकते हैं:
   • उदाहरण के लिए:
   • गुणन का उद्देश्य दो कारकों को खोजना है, जब गुणा किया जाता है, तो एक समीकरण बनाएं। पहले शब्द से शुरू, हम जानते हैं कि इसे एक्स और एक्स में विघटित किया जा सकता है। (X) (x) = 0 के रूप में लिखें।
   • अंतिम पद -6 है। समान -6: ,,, और गुणा होने पर प्रत्येक जोड़ी की सूची बनाएँ।
   • मध्य में पद x है (1x के रूप में लिखा जा सकता है)। प्रत्येक कारक को एक साथ जोड़ें जब तक कि आपको 1. परिणाम न मिले। कारकों की जोड़ी सही है, क्योंकि।
   • इस कारक जोड़ी को अपने उत्तर में रिक्त स्थान में दर्ज करें:।

6. 

   ध्यान दें कि हमारे पास दो समाधान x हैं। यदि आप बहुत जल्दी हल कर लेते हैं, तो आपको केवल एक समाधान मिल सकता है और यह एहसास नहीं होता है कि दूसरा समाधान है। यहां बताया गया है कि दो बिंदुओं को प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लिए दो समाधान x कैसे प्राप्त करें:
   • उदाहरण के लिए (कारक विश्लेषण): अंत में हमारे पास समीकरण है। यदि कोई कारक 0 है तो समीकरण संतुष्ट है। एक उपाय है → अन्य समाधान → है।
   • उदाहरण के लिए (वर्गमूल सूत्र या वर्ग पूरक): यदि आप समीकरण को हल करने के लिए इनमें से किसी भी तरीके का उपयोग करते हैं, तो वर्गमूल चिह्न दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, समीकरण बन जाता है। याद रखें कि वर्गमूल संख्या को दो अलग-अलग समाधानों में बदला जा सकता है :, तथा । प्रत्येक मामले के लिए दो समीकरण लिखें और संबंधित एक्स के लिए हल करें।

7. 

   एक समाधान या कोई समाधान नहीं के साथ समस्याओं का समाधान। एक समय में मिलने वाली दो लाइनों में केवल एक चौराहा होता है, और दो लाइनें जो कभी नहीं छूती हैं उनका कोई चौराहा नहीं होगा। यहां बताया गया है:
   • एक समाधान: समस्या को दो समान कारकों ((x-1) (x-1) = 0) में विघटित किया जा सकता है। द्विघात सूत्र को प्रतिस्थापित करते समय, शब्द की जड़ होती है। आपको केवल एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।
   • कोई वास्तविक समाधान नहीं: कोई भी कारक आवश्यकता को पूरा नहीं कर सकता है (बीच में शब्द द्वारा योग)। द्विघात सूत्र को प्रतिस्थापित करते समय, आपके पास वर्गमूल (उदाहरण के लिए) के नीचे एक ऋणात्मक संख्या होती है। उत्तर को "कोई समाधान नहीं" के रूप में लिखें।

8. 

   मूल समीकरण में स्थान मान x। चौराहे के बिंदु का x मान होने के बाद, इसे मूल समीकरणों में से एक से बदलें। Y का मान ज्ञात करने के लिए हल करें। यदि आपके पास दो x मान हैं, तो दो y मानों के लिए हल करें।
   • उदाहरण के लिए: हम दो समाधान पाते हैं, और। किसी भी तरह से एक समीकरण है। बदलें और, फिर खोजने के लिए प्रत्येक समीकरण को हल करें और।

9. 

   बिंदु निर्देशांक लिखें। अब अपने उत्तरों को चौराहे के x और y मानों के अनुसार निर्देशांक के रूप में लिखें। यदि आपके पास दो उत्तर हैं, तो याद रखें कि जोड़े में x और y मान लिखें।
   • उदाहरण के लिए: जब इसके बजाय हमारे पास है, तो चौराहे का समन्वय है (2, 9)। दूसरे समाधान के लिए वही करें जो दूसरे चौराहे के निर्देशांक देगा (-3, 4).
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सलाह

• मंडलियों और दीर्घवृत्त के समीकरणों में एक शब्द होता है तथा कुछ वर्ग। सर्कल और लाइन के चौराहे को खोजने के लिए, रैखिक समीकरण में x के लिए हल करें। सर्कल समीकरण में x के साथ समाधान को बदलें और आपके पास एक द्विघात होगा जिसे हल करना आसान है। इन समस्याओं में 0, 1 या 2 समाधान हो सकते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित विधि में है।
• एक सर्कल और एक परबोला (या अन्य द्विघात) में 0, 1, 2, 3 या 4 समाधान हो सकते हैं। दोनों समीकरणों में 2 की शक्ति के साथ चर का पता लगाएं - x कहें। अपने हल को दूसरे समीकरण में हल करें और बदलें। 0, 1 या 2 समाधान प्राप्त करने के लिए y के लिए हल करें। एक्स के लिए हल करने के लिए प्रत्येक समाधान को मूल द्विघात समीकरण में बदलें। इनमें से प्रत्येक समीकरण में 0, 1 या 2 समाधान हो सकते हैं।