विषय

• कदम
• 3 का भाग 1 : संबंधों का निर्धारण
• 3 का भाग 2: अनुपात का उपयोग करना
• भाग ३ का ३: सामान्य गलतियाँ

अनुपात (गणित में) एक ही प्रकार की दो या दो से अधिक संख्याओं के बीच का संबंध है। अनुपात निरपेक्ष मूल्यों या संपूर्ण के कुछ हिस्सों की तुलना करते हैं। अनुपातों की गणना और लेखन अलग-अलग तरीकों से किया जाता है, लेकिन मूल सिद्धांत सभी अनुपातों के लिए समान होते हैं।

कदम

3 का भाग 1 : संबंधों का निर्धारण

1. 1 अनुपात का उपयोग करना। मूल्यों की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग विज्ञान और दैनिक जीवन दोनों में किया जाता है। सरलतम अनुपात केवल दो संख्याओं से संबंधित हैं, लेकिन ऐसे अनुपात हैं जो तीन या अधिक मानों की तुलना करते हैं। किसी भी स्थिति में जिसमें एक से अधिक मात्राएँ मौजूद हों, एक अनुपात लिखा जा सकता है। कुछ मूल्यों को जोड़कर, अनुपात, उदाहरण के लिए, सुझाव दे सकते हैं कि किसी नुस्खा या रासायनिक प्रतिक्रिया में पदार्थों की मात्रा को कैसे बढ़ाया जाए।
2. 2 अनुपात का निर्धारण। अनुपात एक ही प्रकार के दो (या अधिक) मूल्यों के बीच का संबंध है। उदाहरण के लिए, यदि आपको केक बनाने के लिए 2 कप मैदा और 1 कप चीनी की आवश्यकता है, तो आटे और चीनी का अनुपात 2 से 1 है।
   • अनुपात का उपयोग उन मामलों में भी किया जा सकता है जहां दो मात्राएं एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं (उदाहरण के लिए केक के साथ)। उदाहरण के लिए, यदि एक कक्षा में 5 लड़कियां और 10 लड़के हैं, तो लड़कियों का लड़कों से अनुपात 5 से 10 है। ये मान (लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या) एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, अर्थात , यदि कोई कक्षा छोड़ता है या कोई नया छात्र कक्षा में आएगा तो उनके मूल्य बदल जाएंगे। अनुपात केवल मात्राओं के मूल्यों की तुलना करते हैं।
3. 3 अनुपातों को निरूपित करने के विभिन्न तरीकों पर ध्यान दें। संबंधों को शब्दों में या गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
   • बहुत बार अनुपात शब्दों में व्यक्त किए जाते हैं (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है)। विशेष रूप से अनुपातों के प्रतिनिधित्व के इस रूप का उपयोग विज्ञान से दूर, रोजमर्रा की जिंदगी में किया जाता है।
   • इसके अलावा, अनुपात कोलन के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। अनुपात में दो संख्याओं की तुलना करते समय, आप एक कोलन का उपयोग करेंगे (उदाहरण के लिए, 7:13); तीन या अधिक मानों की तुलना करते समय, प्रत्येक जोड़ी संख्याओं के बीच एक कोलन रखें (उदाहरण के लिए, 10: 2: 23)। हमारी कक्षा के उदाहरण में, आप लड़कियों और लड़कों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 5 लड़कियां: 10 लड़के। या इस तरह: 5:10।
   • कम सामान्यतः, अनुपात को स्लैश का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। कक्षा के उदाहरण में, इसे इस तरह लिखा जा सकता है: 5/10। फिर भी, यह एक भिन्न नहीं है और ऐसे अनुपात को भिन्न के रूप में नहीं पढ़ा जाता है; इसके अलावा, याद रखें कि अनुपात में, संख्याएं पूरे के हिस्से का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं।

3 का भाग 2: अनुपात का उपयोग करना

1. 1 अनुपात को सरल कीजिए। अनुपात के प्रत्येक पद (संख्या) को सबसे बड़े सामान्य कारक से विभाजित करके अनुपात को सरल (अंश के समान) किया जा सकता है। हालांकि, ऐसा करते समय मूल अनुपात मूल्यों की दृष्टि न खोएं।
   • हमारे उदाहरण में, कक्षा में 5 लड़कियां और 10 लड़के हैं; अनुपात 5:10 है। अनुपात की शर्तों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 5 है (क्योंकि 5 और 10 दोनों 5 से विभाज्य हैं)। 1 लड़की से 2 लड़कों (या 1: 2) का अनुपात प्राप्त करने के लिए प्रत्येक अनुपात संख्या को 5 से विभाजित करें। हालांकि, अनुपात को सरल करते समय मूल मूल्यों को ध्यान में रखें। हमारे उदाहरण में, कक्षा में 3 छात्र नहीं हैं, लेकिन 15. सरलीकृत अनुपात लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या की तुलना करता है। यानी हर लड़की के लिए 2 लड़के हैं, लेकिन कक्षा में 2 लड़के और 1 लड़की नहीं हैं।
   • कुछ रिश्ते आसान नहीं होते। उदाहरण के लिए, अनुपात 3:56 सरल नहीं है क्योंकि इन संख्याओं में कोई सामान्य भाजक नहीं है (3 एक अभाज्य संख्या है, और 56 3 से विभाज्य नहीं है)।
2. 2 अनुपात बढ़ाने या घटाने के लिए गुणा या भाग का प्रयोग करें। सामान्य कार्य जिनमें दो मानों को एक-दूसरे के समानुपाती बढ़ाना या घटाना आवश्यक होता है। यदि आपको एक अनुपात दिया गया है और आपको उसके अनुरूप एक बड़ा या छोटा अनुपात खोजने की आवश्यकता है, तो मूल अनुपात को किसी दी गई संख्या से गुणा या विभाजित करें।
   • उदाहरण के लिए, एक बेकर को नुस्खा में दी गई सामग्री की मात्रा को तीन गुना करने की आवश्यकता होती है। यदि नुस्खा में 2 से 1 (2: 1) के अनुपात में चीनी का आटा है, तो बेकर 6: 3 अनुपात (6 कप आटा से 3 कप चीनी) प्राप्त करने के लिए प्रत्येक शब्द को 3 से गुणा करेगा।
   • दूसरी ओर, यदि बेकर को नुस्खा में दी गई सामग्री की मात्रा को आधा करना है, तो बेकर प्रत्येक पद को 2 के अनुपात में विभाजित करेगा और 1: ½ (1 कप मैदा से 1/2 कप चीनी) का अनुपात प्राप्त करेगा। )
3. 3 जब दो समकक्ष संबंध दिए जाते हैं तो अज्ञात मान ज्ञात करना। यह एक समस्या है जिसमें आपको दूसरे संबंध का उपयोग करके एक संबंध में एक अज्ञात चर खोजने की आवश्यकता होती है, जो पहले के बराबर होता है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए क्रिस-क्रॉस गुणन का प्रयोग करें। प्रत्येक अनुपात को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखें, उनके बीच एक समान चिन्ह लगाएं और उनके पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें।
   • उदाहरण के लिए, छात्रों का एक समूह दिया गया है, जिसमें 2 लड़के और 5 लड़कियां हैं। यदि लड़कियों की संख्या 20 कर दी जाए (अनुपात वही रहता है) तो लड़कों की संख्या क्या होगी? सबसे पहले, दो अनुपात लिखिए - 2 लड़के: 5 लड़कियां और एन एस लड़के: 20 लड़कियां। अब इन अनुपातों को भिन्नों के रूप में लिखिए: 2/5 और x/20। 5x = 40 प्राप्त करने के लिए भिन्नों के पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें; इसलिए, x = 40/5 = 8.

भाग ३ का ३: सामान्य गलतियाँ

1. 1 अनुपात शब्द समस्याओं में जोड़ और घटाव से बचें। कई शब्द समस्याएँ कुछ इस तरह दिखती हैं: “नुस्खा में, आपको 4 आलू कंद और 5 गाजर की जड़ों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि आप 8 आलू कंद जोड़ना चाहते हैं, तो अनुपात को अपरिवर्तित रखने के लिए आपको कितनी गाजर चाहिए?" ऐसी समस्याओं को हल करते समय, छात्र अक्सर मूल संख्या में समान मात्रा में सामग्री जोड़ने की गलती करते हैं। हालांकि, अनुपात बनाए रखने के लिए, आपको गुणन का उपयोग करने की आवश्यकता है।यहाँ सही और गलत निर्णयों के उदाहरण दिए गए हैं:
   • असत्य: "8 - 4 = 4 - इसलिए हमने 4 आलू कंद जोड़े। तो, आपको 5 गाजर की जड़ वाली फसलें लेने और उनमें 4 और जोड़ने की जरूरत है ... रुको! रिश्तों की गणना इस तरह नहीं की जाती है। यह फिर से कोशिश करने लायक है।"
   • यह सच है: "8 4 = 2 - इसलिए हमने आलू की मात्रा को 2 से गुणा किया। तदनुसार, 5 गाजर को 2 से गुणा किया जाना चाहिए। 5 x 2 = 10 - 10 गाजर को नुस्खा में जोड़ा जाना चाहिए।"
2. 2 शब्दों को समान इकाइयों में बदलें। माप की विभिन्न इकाइयों को जोड़कर कुछ शब्द समस्याओं को और अधिक कठिन बना दिया जाता है। अनुपात की गणना करने से पहले उन्हें परिवर्तित करें। यहाँ एक समस्या और समाधान का उदाहरण दिया गया है:
   • ड्रैगन के पास 500 ग्राम सोना और 10 किलोग्राम चांदी है। ड्रैगन के खजाने में सोने से चांदी का अनुपात क्या है?
   • ग्राम और किलोग्राम माप की विभिन्न इकाइयाँ हैं, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है। 1 किलोग्राम = 1000 ग्राम, क्रमशः 10 किलोग्राम = 10 किलोग्राम x 1000 ग्राम / 1 किलोग्राम = 10 x 1000 ग्राम = 10,000 ग्राम।
   • ड्रैगन के खजाने में 500 ग्राम सोना और 10,000 ग्राम चांदी है।
   • सोने से चांदी का अनुपात है: 500 ग्राम सोना / 10,000 ग्राम चांदी = 5/100 = 1/20।
3. 3 प्रत्येक मान के बाद माप की इकाइयाँ लिखिए। शब्द समस्याओं में, यदि आप प्रत्येक मान के बाद इकाइयाँ लिखते हैं, तो त्रुटि को पहचानना बहुत आसान है। याद रखें कि अंश और हर दोनों में समान इकाई वाली राशियाँ रद्द कर दी जाती हैं। अभिव्यक्ति को छोटा करने से आपको सही उत्तर मिलता है।
   • उदाहरण: 6 डिब्बे दिए गए हैं, प्रत्येक तीसरे डिब्बे में 9 गेंदें हैं। कितनी गेंदें हैं?
   • गलत: 6 बॉक्स x 3 बॉक्स / 9 बॉल = ... रुकिए, कुछ भी नहीं काटा जा सकता है। उत्तर होगा "बॉक्स x बॉक्स/गेंद"। इसका कोई मतलब नहीं है।
   • सही: 6 बॉक्स x 9 बॉल / 3 बॉक्स = 6 बॉक्स * 3 बॉल / 1 बॉक्स = 6 बॉक्स * 3 बॉल / 1 बॉक्स = 6 * 3 बॉल / 1 = 18 बॉल।